סביבה ומדע  מדע  מדעים מדויקים
משפטי אי השלמות של גדל: הטוב, הרע והיפה
גדי אלכסנדרוביץ'
פורסם: 26.10.11, 10:50
תגובה לכתבה תגובה לכתבה
הדפיסו את התגובות הדפיסו את התגובות
חזרה לכתבה
לכתבה זו התפרסמו 92 תגובות ב-48 דיונים
1. מעניין כמה תגובות יהיו לכתבה הזו
כתוב יפה   (26.10.11)
2. מאמר יפה ומעניין
מישהו   (26.10.11)

המאמר יפה ומעניין ותודה ל ynet שמפרסם גם דברים המחדדים את המח.

אגב כדאי לציין שבתחומים המתמטיים שהמחבר הזכיר: תורת הקבוצות ולוגיקה מתמטית, ישראל היא מרכז חשוב ביותר. העסוק בהם מתחיל עם אברהם הלוי פרנקל שמגיע לאוניברסיטה העברית בשנת 1929 . (מערכת האקסיומות המקובלת לתורת הקבוצות ידועה כמערכת של צרמלו-פרנקל). המסורת של מצוינות בתחום ממשיכה עם הדור השני (עזריאל לוי,מיכאל רבין,אברהם רובינסון) הדור השלישי: שהרן שלח ,מנחם מגידור,אהוד הורושובסקי. וכך הלאה.

3. סוף-כל-סוף - כל הכבוד!
חיים חיים ,   י-ם   (26.10.11)
גדי היקר, אני לומד לת' שלישי בכימיה, והימים בהם למדתי מתמטיקה נראים רחוקים ביותר. גם כשלמדתי, כמובן שהיה מדובר במתמטיקה פרקטית ולא בהבנה מעמיקה של משפטים מתמטיים. לאחרונה, עניין זה של ההיסטוריה של המתמטיקה תופס כמות נכבדה משעות הפנאי שלי. פניתי לחברים, אנשי מדעי המחשב, שיסבירו לי במה מדובר, אבל רק אתה הצלחת להגיע לסוף דעתי. יישר-כוח ותודה רבה מקרב-לב!
4. מאד מעניין. תודה!
ש ,   בש   (26.10.11)
5. נהדר!
עידו ,   תל אביב   (26.10.11)
ועוד לא דיברנו על מקולים מתפוצצים...
6. כתוב יפה וממצה, מחכה לחלק הבא
עומר ,   קואלה-למפור   (26.10.11)
מי שחושב שכל מי שלמד את משפט גדל מסוגל להסביר אותו - טועה.
כתוב יפה ומעניין
7. עוקב? הכוונה להופכי לא?
(26.10.11)
8. ברגע שכתבת "מספרים ממשיים" + "מספרים רציונליים" +"טבעיים"
(26.10.11)
מחקת 90% מהאנשים שבאו לקרוא את זה.
9. ההסבר הכי טוב שקראתי למשפט
עומר   (26.10.11)
מקצועי מאוד!
10. איזה יופי של טור
א   (26.10.11)
YNET כל הכבוד
איזה כיף למצוא טורים כאלו!
מחכה להמשך...
11. איך יש לך תואר שלישי בלי תואר שני?!
(26.10.11)
רמאי.
12. "פרדוקס הספר" הוא לא פרדוקס בכלל. הסבר:
אם אני אינני אני ,   אז מי אני בכלל?   (26.10.11)
להגיד שיש ספר שמספר את כל מי שלא מספר את עצמו ורק את מי שלא מספר את עצמו, זה לא פרדוקס בכלל. זה כמו להגיד שיש ספר שגילו פחות מ-30 ויותר מ-40. "פרדוקס הספר" רק מוכיח שלא יכול להיות ספר כזה, כי הצבנו תנאים בלתי אפשריים לקיומו.

משהו יותר לענין ויותר קרוב באופיו למשפט אי-השלמות של גדל זה המשפט הבא:

"משפט זה הוא שקרי".

אם המשפט אמיתי, אז מה שהוא אומר זה נכון, כלומר, המשפט שקרי.
ואם המשפט שקרי, אז ההיפך מהמשפט הוא אמיתי, כלומר המשפט לא שקרי, ולכן הוא אמיתי.
זה באמת פרדוקס, שידוע בשם "פרדוקס השקרן".
המסקנה מפרדוקס זה היא שלא לכל משפט בעל משמעות אפשר להצמיד ערך "אמת" או "שקר".

גם בתורת הקבוצות ה"נאיבית" יש פרדוקסים, אבל זה נושא מורכב יותר.
מה שגדל הראה, במלים פשוטות, זה שבמערכות הוכחה מספיק עשירות, אי אפשר להוכיח את כל מה שאמיתי. הוא בנה משפט שאמר על עצמו שאי אפשר להוכיח אותו. זה דומה במובן מסוים לפרדוקס השקרן.
13. מספר תיקונים
(26.10.11)
ראשית ברור שהטענה לגבי המשולש והזויות היא לא נכונה, ראה כל משולש כהה זוית. אני משער שהכוונה היא לסכום הצלעות, ואז כל זוג צלעות תמיד גדול מהצלע השלישית.
שנית, נראה לי שקצת התבלבלת הין אקסיומות להגדרות. התורת הקבוצות, היה צריך הגדרות יותר ספציפיות למהי קבוצה, כדי למנוע סתירות. לא כל קבוצה שאוכל להגדיר במלים היא אכן קבוצה (ולפיכך קבוצה מתמטית). אקסיומות זה מה שעושים אחרי ההגדרות. אם מלך על גיאומטריה אוקלידית: ראשית מגדירים קו ישר (המרחק הקצר ביותר בין 2 נקודות - זו לא אקסיומה) ואז יש אקסיומה (בין 2 נקודות עובר קו ישר אחד ויחיד - טריויאלי לכולם, אבל לא ניתן להוכחה מההגדרה הקודמת)
לדעתי אפשר להכנס גם קצת יותר לעומק של הדברים.
14. מרתק.
מקס ,   ארגנטינה   (26.10.11)
מצפה בכליון עיניים למאמר הבא.
15. כתבה שמתאימה יותר לכלכליסט
אוילר ,   בוילר   (26.10.11)
אתר התוכן האליטיסטי של משפחת YNET
16. השערת הרצף!!!!!!!!!!!!!
לוגיקן לשעבר   (26.10.11)
הייתה רעידת אדמה גדולה יותר במתימטיקה המודרנית!
השערת הרצף באה לקבוע האם בין שתי עוצמות קיימת עוד עוצמה, ומבלי להכנס לפרטים, השערת הרצף היא גם נכונה וגם לא נכונה!

ישנו ענף במתימטיקה שכן מתייחס להשערת הרצף ומוביל למשפטים נכונים, וכן ענף מקביל שאינו מתחשב בהשערת הרצף ומוכיח סט נפרד של משפטים.

מרצים למתימטיקה שלוקחים את עצמם (יותר מדי) ברצינות כותבים בתחילת כל הוכחה בלוגיקה "ללא התחשבות בהשערת הרצף" אפילו בשנה א' כשלסטודנטים אין מושג מה זה אומר.

חפשו בויקיפדיה.
17. אי השלמות זה מקום מ-א-מם
במבה ,   אי השוויון   (26.10.11)
יש לומר האי-שלמות, אי השלמות כאמור זה אי שבו הכל פשוט סבבה, בדומה לאי השוויון שבו שורר ומוניזם מוחלט
18. "אנחנו חייבים לדעת הכל, ואנחנו נדע הכל" - אז זהו, שלא
קורט גדל   (26.10.11)
19. בהיר, ברור, מעניין, מצוין. נא להמשיך
אחד   (26.10.11)
20. ד"א כבר קיבלו הוכחות ששפתן היא תוכנת מחשב
ושאין דרך פשוטה יותר ,   לבטאן   (26.10.11)
21. מרתק!
dekelziv ,   כפר סבא   (26.10.11)
מחכה לכתבה הבאה בסדרה.
22. הערה על חשיבות המשפט
מתמטיקאי מתחיל   (26.10.11)
חשוב לציין, שהמשפט יוצר סוג חדש של תשובות לשאלות "האם קיים...". בנוסף לתשובות כמו "כן" ו-"לא" נוספה התשובה "לא ניתן לדעת את התשובה במערכת האקסיומתית הנוכחית". עד לבואו של המשפט היה קשה להוכיח תשובות בסגנון "לא ניתן לתת תשובה". דוגמה לזה היא השערת הרצף של קנטור, שאומרת שבין האינסוף של הטבעיים לבין האינסוף של הממשיים (שהוזכרו כאן) לא קיים אינסוף נוסף.
23. תורת הקבוצות
שונית   (26.10.11)
זה לא משהו בפייסבוק?
24. תענוג
ליאור   (26.10.11)
תודה
25. מעניין ובהיר, כל הכבוד לכותב (וגםל-Ynet שפרסמו)
אני   (26.10.11)

ממתין לחלק הבא.

 

26. אתה צודק
גדי   (26.10.11)
בנוגע לעניין המשולש והזוויות, כמה מביך. נתקן זאת.

בנוגע לאקסיומות והגדרות - אני חושש שאינך צודק, עובדתית. קרא למשל על מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF) - מדובר על אקסיומות, לא על הגדרות. בדרך כלל במערכות לוגיות פורמליות אין מושג של "הגדרה" - יש שפה שכוללת סימנים, יש פסוקים שכתובים בשפה על פי כללי יצירה מסויימים, ויש תת-קבוצה של פסוקים שמשמשת כאקסיומות.

(אגב, בגאומטריה בניסוחה הפורמלי המודרני לא מגדירים קו ישר בתור מרחק קצר ביותר בין שתי נקודות).
27. זה לא מדויק
גדי   (26.10.11)
עצם קיומן של תשובות כאלו היה ידוע למתמטיקאים עוד מאז שנתגלו הגאומטריות הלא אוקלידיות. בנוסף, משפט אי השלמות לא מסייע (למיטב ידיעתי) להוכיח שבעיות ספציפיות הן בלתי תלויות במערכת האקסיומות הנוכחית; השיטה הסטנדרטית היא באמצעות בניות של מודלים מתאימים למערכת האקסיומות עם הטענה, ומערכת האקסיומות עם שלילת הטענה (בפרט כך עשו במקרה של השערת הרצף).
28. הפרדוקס של ראסל
XX   (26.10.11)
הוא בעצם שיטת הלכסון שמשמשת להוכחת טענות רבות בלוגיקה ותורת החישוביות במדעי המחשב.

למעשה, כל התחום הזה של לוגיקה היה קדם למדעי המחשב, כי הוא עוסק בהוכחה מכנית של משפטים מתמטיים. זה לא מדויק מה שנאמר במאמר שזה מעיד משהו על מה שניתן להוכחה ע"י בני אדם, כי מתמטיקאים פותרים בעיות ע"י פיתוח מושגים חדשים שלא היו קיימים קודם לכן. אין שום מודל מכני שמתאר נכון או מכליל את הצורה שבה מתמטיקאים עובדים.
29. אכן כל הכבוד
חנן ,   חיפה   (26.10.11)

רק בשל מאמרים כאלה כדאי להיכנס ל- YNET. לפי הבנתי הצנועה הצימוק העקרי - ההוכחה - מחכה למאמר הבא.

 

מתי יתפרסם?

30. ישר כוח ל-ynet
יאיר   (26.10.11)
הבאתם כותב רציני וכתבה מעמיקה
תגובות נוספות
חזרה לכתבה