חובת ההוכחה

סביר להניח שלא הרבה אנשים היו מסרבים לקבל פרס נובל. "איגוד המתמטיקאים הבינלאומי" הכריז לאחרונה שהוא מעניק את מדליית פילדס היוקרתית - פרס שרבים רואים כשווה ערך לנובל בתחום המתמטיקה - למתמטיקאי הרוסי גרגורי פרלמן. אולם לתדהמת רבים, פרלמן החליט לסרב לקבל את הפרס. הוא אמור היה לקבל אותו מידי מלך ספרד, חואן קרלוס, בכנס המתמטיקה הבינלאומי במדריד, אולם בשעה שה"ניו סיינטיסט" יורד לדפוס, נראה שפרלמן נחוש בדעתו לסרב לפרס.

פרלמן אמור היה לקבל את מדליית פילדס עבור עבודה שפירסם לפני ארבע שנים, שמוכיחה רעיון בן כמאה שנים, בנוגע לאופיו של גוף גיאומטרי בן ארבעה ממדים, הידוע בשם "השערת פוּאנקָרֶה". פרלמן סירב לקבל את הפרס לא רק בגלל שגאוותו נפגעה. במהלך מבלבל משהו, שני מתמטיקאים סינים - הואָי-דונג כּאו מאוניברסיטת ליי בפנסילבניה ושי-פינג זו מאוניברסיטת הארוורד - פירסמו ב"אסיין ג'ורנל אוף מתימטיקס" את מה שלטענת העיתון הוא "תיעוד כתוב ראשון של הוכחה מלאה" של השערת פואנקרה. אם נחבר יחד את גישתו ועבודתו של פרלמן, את טענותיהם של המתמטיקאים הסינים, ואת בעיית ייחוס הקרדיט הראוי, יתברר כי נושא מרכזי יותר טורד את שלוותם של מתמטיקאים היום: הקושי להחליט אם טענה כלשהי אכן הוכחה.

הוכחות הן בדיוק הדבר שמפריד בין המתמטיקה לשאר המדעים. בעיקרון, מעולם לא היה מדובר כאן בתהליך אבולוציוני, שבו התיאוריה החזקה שורדת. תובנות חדשות לא נוטות להפוך על פיהן לפתע תיאורמות של הדורות הקודמים. עבודת המתמטיקה בנויה כמו פירמידה, בה כל דור בונה נדבך נוסף על היסודות היציבים שהקימו קודמיו. טבע ההוכחה קובע שמתמטיקאים, כפי שניסח זאת ניוטון, אכן עומדים על כתפי ענקים.

בעבר, הכתפיים האלו היו יציבות ביותר. אחרי הכל, אין עוד מדע בעולם שבו תגליותיהם של חכמי יוון העתיקה תקפות היום בדיוק כשם שהיו אז. אוקלידס קבע כבר לפני 2,300 שנה שמספר המספרים הראשוניים הוא אינסופי. זו הדוגמה הראשונה להוכחה מתמטית שנותרה תקפה עד היום.

ההוכחה עובדת כך: נניח שמתמטיקאי כלשהו מציג רשימה סופית של מספרים ראשוניים וטוען שאין יותר מאלו. אוקלידס הוכיח שמספר ראשוני כלשהו נעדר מהרשימה. הכפילו את כל המספרים הראשוניים ברשימה אלו באלו והוסיפו 1 לתוצאה שתתקבל. המספר החדש שמופיע לא ניתן לחלוקה באף אחד מהמספרים ברשימה, משום שתמיד תישאר שארית אחד. לכן המספר החדש הוא אחד משניים: או שהוא מספר ראשוני בפני עצמו, או שניתן לחלק אותו ללא שארית במספר ראשוני שלא מופיע ברשימה. אם נוסיף את המספר הראשוני החדש לרשימה ונחזור על התעלול של אוקלידס, תמיד נוכל להוכיח שבכל רשימה סופית לכאורה חסר מספר ראשוני אחד.

ההוכחה של אוקלידס ברורה וחדה משום שהיא הורסת ללא פשרות כל טענה בדבר קיומו של מספר סופי של מספרים ראשוניים. ההוכחה גם פשוטה מאוד, כלומר - כל אחד יכול לאמת אותה.

הוכחות ארוכות ומפורטות

אולם נושא ההוכחה המתמטיקה הסתבך מעט מאז ימיו של אוקלידס. כיום, הוכחות לתיאורמות עשויות להשתרע על פני מאות ואלפי עמודים. ועדיין יש לבדוק אותן, כמובן, וזו הפכה למשימה מטרידה ביותר. לדוגמה, בשנת 1982, פורסמה הוכחה של מיון קבוצות פשוטות סופיות - מעין טבלה מחזורית של סימטריה מתמטית. ההוכחה, שמחזיקה למעלה מ-10,000 עמודים ונכתבה על ידי מאות מתמטיקאים, התבררה כחסרה. כאשר ניסו מתמטיקאים בשנות התישעים לברר את הטיעון בשלמותו, התברר להם שחסר חלק מההוכחה. החלק החסר הושלם בשנת 2004, אחרי שנים של מאבק קשה, אולם גם אז מדובר היה בהוכחה שנכתבה על פני 1,200 עמודים.

פערים לוגיים כאלו הם בעיה בפני עצמה, אולם בעת החדשה נאלצים מתמטיקאים להתמודד עם סוג חדש של בעיה: טעויות של תוכנות מחשב. בשנת 1977 התפרסם "משפט ארבעת הצבעים" - שטוען שניתן לצייר מפה מדינית של מדינות העולם, בה כל מדינה צבועה בצבע אחד, תוך שימוש בארבעה צבעים בלבד, ומבלי שיימצא גבול בין מדינות מאותו הצבע. היתה זו התיאורמה הגדולה הראשונה שהוכחה בעזרת מחשב. הוכחה זו מחזיקה מעמד כבר כ-30 שנה מבלי שאיש ימצא דרך לשרטט מחדש את גבולות מדינות אירופה ולגלות שהוא זקוק לחמישה צבעים, אולם האפשרות שטעות כלשהי עדיין קיימת אי-שם במוחו של המחשב עלולה לחסל את ההוכחה הזו.

בשנת 1988, התעוררה בעיה חדשה הקשורה להוכחות בעזרת מחשב כאשר תומס היילס מאוניברסיטת פיטסבורג בפנסילבניה הכריז שברשותו הוכחה של "השערת קמפלר," אליה הגיע בעזרת מחשב. הוא הוכיח באמצעים מתמטיים מה שכל בעל חנות ירקות יודע אינטואיטיבית: בניית פירמידה הֶקסגונאלית (משושה) היא הדרך היעילה ביותר ליצור ערימת תפוזים יציבה. היילס הוכיח שאין מבנה גיאומטרי אחר בו ניתן להכניס יותר תפוזים מאשר במבנה פירמידה שבסיסה משושה.

ההוכחה של היילס הראתה גם שניתן לצמצם בעיה למספר גדול אבל סופי של חישובים אשר ייאשרו את העובדה שבעל חנות הירקות אכן מסדר את התפוזים שלו בדרך היעילה ביותר. אולם הביטוי "מספר גדול" לא מתאר נכון את המצב. מספר החישובים היה כה גדול, שהיילס היה זקוק לעזרתו של מחשב כדי להשלים את ההוכחה. בסופו של דבר, ההוכחה תפסה 250 עמודים של טיעונים מתמטיים קונבנציונליים ולמעלה מ-3 ג'יגבייט של נתוני מחשב.

חבר המושבעים של עולם המתמטיקה

איך נוכל לדעת אם ההוכחה של היילס נכונה? אם נרצה להיות קטנוניים, אפשר לומר שלא נוכל לדעת. הפירסום המתמטי החשוב "אננאלס אוף מתימטיקס" מינה ועדה של 12 שופטים לבדוק את ההוכחה. רוב העיתונים ממנים שופט אחד. השופטים חזרו עם התשובה הבאה: לאור הקושי לבדוק את נתוני המחשב, הם יכולים לקבוע בדיוק של 99% בלבד שההוכחה נכונה. אולם מתמטיקאים רגילים להוכחות של 100%, ומשום כך מעורבותם של מחשבים בתהליכי ההוכחה ערערה את שלוות חברי קהילתם. ויכוחים התעוררו אפילו סביב השאלה, כיצד יש לפרסם הוכחה כזו. העיתון קיבל בסופו של דבר 250 עמודים של טיעונים תיאורטיים (Annals of Mathematics, V01162, p 1063) אולם הגלה את נתוני המחשב לעיתון אחר.

לאור המורכבות של רבות מההוכחות המודרניות, לא מפתיע במיוחד לגלות שגם היום, ארבע שנים אחרי שהכרזתו של פרלמן עורר התרגשות גדולה בקהילת המתמטיקאים, רבים עדיין מטילים ספק בכך שהוא אכן הוכיח את השערת פואנקרה. למעשה, הפרס ניתן לו עבור תרומתו של פרלמן לעולם הגיאומטריה ולתובנות מהפכניות אחרות שתרם, אבל לא קובע בוודאות שהוכחת השערתו של פואנקרה הושלמה. הטקסט שמלווה את המדליה קובע כי "הקהילה המתמטית עדיין בודקת את עבודתו כדי לוודא שהיא נכונה במלואה ושההשערה אכן הוכחה." יחד עם זאת, עצם ההחלטה להעניק לו את מדליית פילדס נראית בעיני רבים כאישור שהוכחתו תקפה.

ועדיין, כאמור, לא כולם מקבלים את הקביעה הזו. העבודה שפירסמו המתמטיקאים הסינים, שאורכה 318 עמודים, מתיימרת להשלים את מה שפרלמן התחיל. על פי העיתון הסיני "פיפל'ס דיילי," פירסומו של פרלמן מספק "הנחיות." יאנג לֶה, חבר האקדמיה הסינית למדעים, אמר לכתב העיתון כי "הנחיות שונות מאוד מהוכחות שלמות של תיאוריות." נדמה שהאדם היחיד שלא ממש מתרגש מכל המהומה הזו הוא פרלמן עצמו. ב-1966, הוא דחה את הצעתה של "האגודה המתמטית של אירופה" להעניק לו את הפרס ונראה שהוא עושה זאת שוב.

ג'ון בול, נשיא "איגוד המתמטיקה הבינלאומי," בילה יומיים בסנט פטרבורג בניסיון לשכנע את פרלמן לקבל את הפרס. הסיבות לסירובו של פרלמן מורכבות, אולם הן נובעות בעיקר מתחושת הנבדלות שלו מהקהילה המתמטית ורצונו שלא לשמש סמל שימשוך מתמטיקאים צעירים להתקרב למקצוע שהנחיל לו אכזבה.

נדמה שעד כה, שום דבר לא שיכנע את פרלמן לשתף פעולה - אפילו לא פרס בסך מיליון דולר שהוקצב לטובת האדם שיוכיח את השערת פואנקרה. כדי לקבל את הפרס, אותו מציע "מכון קליי למתמטיקה," יש לספק הוכחה שתיבחֵן על-ידי פירסום מתמטי נחשב ותעמוד בבדיקה של הקהילה כולה שנתיים לאחר פירסומה. פרלמן לא הציג לעיתון את ההוכחה שלו. היא קיימת רק בדפים אותם העלה לאינטרנט. נראה שההוכחה שלו מספיקה לו אישית והוא מציג אותה לכל דורש ללא תמורה. מבחינתו, די בכך.

אם הפרס של מכון קליי יינתן למישהו אי-פעם, מיליון הדולרים יחולקו לכל האנשים שעסקו בפיתרון התעלומה, על פי חלקם היחסי בפיתרון התעלומה, אולם כשיבוא המכון לחלק כך את הפרס, הוא ימצא את עצמו בבעיה לא פשוטה. מתמטיקאים מתחילים לעסוק כעת בשאלה המורכבת - מהי בדיוק הוכחה. ייתכן שהנושא עובר כעת לשלב "דארוויני" יותר, בו החזק יותר שורד. התקווה היא שמה שישרוד את כל ההתנגחויות הנוכחיות סביב ההשערה של פואנקרה הוא שחר חדש באופן בו אנחנו מבינים את גיאומטריית המרחב אותה הציג פרלמן. למרות חילוקי הדעות, עבודתו מדהימה ומעמיקה, ובהחלט ראויה להכרה ברמות הגבוהות ביותר.

מרכוס דה סוטוי הוא פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת אוקספורד, מחבר רב המכר "המוזיקה של המספרים הראשוניים" בהוצאת ספרי עליית הגג וידיעות ספרים.