החיתוך שמיטיב עם כולם

בסרטו של מל ברוקס "המפיקים", המוכר גם כמודל העסקי של אנרון, זוממים מקס ביאליסטוק וליאו בלום למכור 25,000 אחוזים מן המחזמר "האביב של היטלר" שהם מעלים בברודווי. ברגע של חשבון נפש שואל מקס: "כמה אחוזים בסך הכול יכולים להיות בכלל במחזה?" וליאו משיב לו ברכות: "אתה יכול למכור רק מאה אחוזים מכל דבר." עד לא מזמן קיבלתי את ההצהרה הזאת כעובדה.

מתמטיקאי, מומחה למדעי המדינה וכלכלן נכנסו לבר. רגע, זה לא הסיפור הנכון. מתמטיקאי, מומחה למדעי המדינה וכלכלן כתבו לא מזמן מאמר - למרבה הפלא, זה כן הסיפור הנכון - שבו הם טוענים שבנסיבות מיוחדות, שני אנשים יכולים לחלק ביניהם דבר כלשהו, ובכל זאת כל אחד מהם ירגיש כאילו קיבל יותר מחצי. לא, לא מדובר בקסם אפוף עשן.

המאמר התפרסם בדצמבר 2006 בכתב העת "הודעות החברה האמריקנית למתמטיקה" בכותרת "דרכים טובות יותר לחתוך עוגה". הדיווח אינו עוסק בטכנולוגיות להשחזת סכינים, אלא בתיאוריה ובשיטה לפריסת חפץ באופן שיגביר ככל האפשר את שביעות הרצון של המסובים, אולי במסיבה, שיקבלו אחר כך את הפרוסות. "אנו משתמשים בעוגה כמטפורה לחלוקה של דבר כלשהו לא אחיד אך ניתן לחלוקה, חפץ שלאנשים שונים יש העדפות שונות לגביו," מסביר המתמטיקאי שבחבורה, מייקל ג'ונס מאוניברסיטת המדינה מונטקלייר. כלומר העוגה יכולה לייצג גם שטח אדמה שחלקו יער וחלקו חוף ים, או דירה בעלת חדרים קטנים עם נוף וחדרים גדולים ללא חלונות, או תרנגולת צלויה הכוללת בשר חזה וכרעיים.

אבל יש דבר אחד שעוגה אינה יכולה לייצג, והוא עוגת-פאי. למעשה, למתמטיקאים יש היסטוריה עשירה (אך עדיין אוורירית ולא יבשה) של תיאוריות לפריסת עוגות, המחפשות דרכים לחלק את המרחב באמצעות חתך ישר אחד החוצה את כל המרחב. לעומת זאת, ספרוּת מדעית נפרדת עוסקת בפריסת עוגות-פאי, מפני ששם החתכים תמיד יוצאים מן המרכז החוצה. כדי לפרוס פאי צריך אפוא לבצע שני חיתוכים. אם כי, ג'ונס מוסיף שמבחינה מתמטית, "אפשר במובן מסוים לחשוב על עוגה כעל פאי שכבר הוציאו ממנו פרוסה אחת." זה נשמע כמו משהו שהיה אומר חכם היושב על פסגתו של הר לגברת בטי קרוקר*.

בכל מקרה, בואו נחזור למצעד השיבה הביתה של פאבר קולג'**. או במילים אחרות, בואו נחתוך את העוגה. באופן מסורתי, חלוקת עוגה היא עניין פשוט שהיה ידוע הרבה לפני שמארי אנטואנט יעצה להמונים בנושאי עוגות: אם שני אנשים מחלקים ביניהם עוגה אז האחד פורס והאחר בוחר. הפורס מעוניין אפוא לחתוך שווה בשווה מפני שהוא יודע שאם הוא "יפשל", הוא ייתקע עם הפרוסה הקטנה יותר.

אבל השיטה עשויה להתמוטט בעוגות מסוימות. "למשל," אומר ג'ונס, "אם מדובר בעוגה שחציה שוקולד וחציה וניל, ואחד האנשים אוהב מאוד שוקולד, ולאחר אין העדפה. במקרה כזה יש דרך שבה שניהם יקבלו חלק, שייתפס בתודעתם כיותר גדול ממחצית העוגה." ההליך, שמעורבות בו משוואות שאתם מוזמנים לבחון בבית על קפה ועוגה, נעשה מסובך למדי, בייחוד אם מעורבים בחלוקה יותר משני אנשים. אבל אפשר לראות, בדוגמה של עוגת השוקולד-וניל, שחובב השוקולד יהיה יותר מ-50% מרוצה אם יקבל, למשל, 80% מן המחצית העשויה שוקולד, אף על פי שמדובר רק ב-40% מן העוגה כולה. לעומתו, הברנש חסר-ההעדפה יהיה אף הוא יותר מ-50% מרוצה כי יקבל את 60 האחוזים הנותרים של העוגה. וייצרן העוגות ירוויח מניע כלכלי לסבך את העוגות שלו ולהעלות את מחירן.

תיאוריית חיתוך העוגה עשויה למצוא יישום במשא ומתן על חלוקת קרקע, למשל. היא גם מאתרת בדיוק את נקודת החולשה במזימתם של נערי אנרון. מתברר שבאמת יכולים להיות בידך יותר ממאה אחוזים מן העוגה, אבל אתה חייב שלפחות תהיה לך עוגה.

הערות

* בטי קרוקר היא דמות דמיונית, שהפכה לשם מותג ולסמל מסחרי של חברת המזון האמריקנית General Mills.

** פאבר קולג' הוא מכללה דמיונית בסרט "בית החיות" בכיכובו של ג'ון בלושי. בסרט מככבת עוגה ענקית על-גלגלים במצעד השנתי לכבודם של בני העיירה השבים הביתה. מצעדים כאלה מקובלים בערים אמריקניות.