ברוכים הבאים לאינסוף

מי יודע כמה גרגירי חול יש בחוף הים של נתניה? ואולי מישהו הצליח לספור כמה ליטרים של מים קיימים באוקיינוס השקט? וכמה עצים גדלים באוסטרליה? בטח תחשבו שהתשובה היא "אינסוף", אבל זו טעות: מדובר במספרים עצומים, אבל אפשר לספור אותם. אבל מה עם הדברים שבאמת אין להם סוף?

המונח אינסוף הוא רעיון מדעי-פילוסופי שקשור לתחומים רבים וביניהם מתמטיקה, תאולוגיה (הפילוסופיה של הדת), פיסיקה ועוד. פרופסור לֵיאוֹ קוֹרי, מומחה להיסטוריה של המתמטיקה מהמכון להיסטוריה ולפילוסופיה של המדעים באוניברסיטת תל אביב, מנסה להסביר במה מדובר: "זה רעיון ישן מאוד, וכבר ביוון העתיקה החלו לעסוק בו. היוונים שאלו את עצמם אם קיים מספר שאפשר להגיד עליו שהוא המספר הכי גדול, והגיעו למסקנה שאין דבר כזה מפני שכל מספר שחושבים עליו, ולא משנה עד כמה הוא גדול – אפשר תמיד להוסיף לו 1. לכן למספרים אין סוף".

היוונים אומנם גילו את משמעותו של האינסוף, מוסיף פרופסור קוֹרי, אבל לא הקדישו לו מונח מיוחד מפני שהוא היה מוזר מאוד ולא התאים למה שחשבו על העולם – מקום עם גבולות ברורים, מה שהשפיע גם על המתמטיקה והגיאומטריה שהמציאו.

בתחום אחד דווקא כן התייחסו היוונים בעת העתיקה לאינסוף – בפילוסופיה. אחד הפילוסופים הראשונים שעסקו במושג הזה היה זנון, שחי בעיר אליאה במאה החמישית לפני הספירה. הוא הציג שלושה פרדוקסים, כלומר טענות שנראות לנו הגיוניות ובלתי הגיוניות באותו זמן.

שלוש הבעיות שלו עסקו בפרוק של גודל סופי לאינסוף חלקים קטנים יותר. אחד מהם, למשל, מספר על חץ שנורה למטרה. לנו נראה שהוא בתנועה לאורך קו ישר, אבל בעצם בכל נקודה על פני הקו הישר הזה הוא בכלל עומד! זוהי בדיוק הבעיה שעולה מעסוק באינסוף: מדובר במושג שקשה להבין באמצעות החושים והשכל ה"רגיל".

יוצאים לצוד

כולנו שמענו על ציד דובים או ציד לווייתנים, אבל הנה לכם ציד אחר לגמרי – ציד מספרים. ומכיוון שלפני רגע כבר למדנו שלמספרים אין סוף, חוקרי המתמטיקה עוסקים היום בחיפוש אחר המספר הראשוני הגדול ביותר שאפשר להגיע אליו. מספר ראשוני הוא מספר שמִתְחַלֵּק רק ב-1 ובעצמוֹ. 3, 5 ו-13 הם מספרים כאלה, 12 מתחלק ב-2, 3, 4 ו-6 ולכן הוא לא ראשוני.

החיפוש מתבצע באמצעות "חישוב מבזר קהילתי", וזה אומר שימוש במאות מחשבים שונים לקבלת עוצמה חישובית גדולה. המחשב המרכזי משתמש במחשביהם של המוני אנשים שתורמים את הזמן שבו הם לא משתמשים במחשבים שלהם לטובת קידום המדע. נכון לשנת 2009, המספר הראשוני הגדול ביותר שידוע לאדם הוא 243,112,609-1. למספר זה יש לא פחות מ- 12,978,189 ספרות עשרוניות!

כמו לכל דבר במתמטיקה, גם לאינסוף יש סמל משלו: ∞, שנראה כמו הספרה 8 בשכיבה. מי שהמציא את הסימן הזה היה המתמטיקאי ג'וֹן וַאלִיס, שעשה זאת בשנת 1655. מתמטיקאי ידוע אחר שעסק במשמעותו של האינסוף היה הגרמני גיאורג קנטור, שחי במאה ה-19. הוא בחר בסימן אחר לאינסוף – האות העברית אל"ף. מה הקשר בין חוקר גרמני לאלפבית העברי?

פרופסור קוֹרי מסביר: "קנטור הרגיש שהוא מתחיל משהו חדש לחלוטין במתמטיקה, ואף על פי שבמדע מקובל לסמן דברים באותיות יווניות הוא בחר באות העברית הראשונה כדי לציין התחלה חדשה. אפשרות אחרת היא שקנטור ידע שלאות אל"ף יש מעמד חשוב בקבלה – היא המיסטיקה היהודית". ובאמת, קנטור תרם תרומה משמעותית לחקר האינסוף במתמטיקה, חלק גדול מההבנות שלו התבררו כנכונות רק שנים לאחר מותו.

העולם הוא גדול ופתוח

בני האדם של ימי קדם האמינו שהעולם הוא שטוח, וכשמגיעים לקצהו - הופ! נופלים אל חלל ריק. הזמנים השתנו וכבר ביוון הקדומה אנשי מדע הבינו שהעולם עגול, או ליתר דיוק דמוי כדור. עם גילוי היבשות של כריסטופר קולומבוס, אמריגו וספוצ'י, פרדיננד מגלן ואחרים ניתנה לכך הוכחה בפועל. הגילויים של יורדי הים האמיצים האלו הביאו למסקנה שהעולם אכן גדול ורחב – אבל בסופו של דבר, אם ממשיכים לשוט עוד ועוד באותו הכיוון, פשוט מגיעים לנקודת ההתחלה.

אז כדור הארץ אינו אינסופי. אבל מה אנחנו יודעים על העולם שנמצא מחוץ לו? בשנת 1969 נחת האדם הראשון על הירח, ועדיין איננו יודעים דברים רבים על היקום שסובב אותנו. האם יש גבול ליקום? ואם אין לו, האם זה אומר שהוא אינסופי לכל הכיוונים, או שאולי יש לו צורה סגורה כמו כדור? זה קצת יותר מסובך.

היום מסכימים המדענים שתחילתו של היקום הייתה במפץ הגדול. היקום התרכז כולו בנקודה אחת, ולאחר הפיצוץ הראשוני החל החומר להתפשט וכך גדל היקום לצורתו כיום. על פי הפיסיקה בת זמננו, היקום ממשיך לגדול כל הזמן, אך האם הוא ימשיך לגדול ולתפוח לנצח? התשובה לשאלה המסקרנת הזו ניתנה רק בשנת 1998. אז הצליחו המדענים להבין שההתפשטות הזו רק מואצת עוד ועוד. המסקנה היא שהתפשטות היקום לא תיעצר לעולם, והמרחקים בין הגלקסיות המרכיבות אותו יגדלו כל הזמן.

פירור בתוך פירור

זה מה שידוע לנו על גדלים עצומים. ומה לגבי דברים קטנים יותר? הפילוסופים היוונים ניסו להבין ממה מורכב החומר וחשבו שניתן לחלק אותו לחלקים קטנים יותר, שאותם אפשר לחלק לחלקים קטנים עוד יותר. לדוגמה, גוש זהב: אפשר לחלק אותו לשתי חתיכות קטנות יותר, ואותן לחתיכות קטנות עוד יותר. אך האם אפשר להמשיך ולחלק את החומר עד אינסוף?

היוונים האמינו שכמות החומר היא סופית. הם חשבו שישנו חלק קטן שאותו אי אפשר לחלק עוד, וממנו מורכבים כל הדברים. לחלקיק הזה הם קראו "אטום", ופירושו ביוונית: "לא ניתן לחלוקה". אלא שהם טעו: אלפי שנים אחריהם חשף המדע שאפשר לחלק את האטום לשלושה חלקי יסוד קטנים יותר: האלקטרון, הפרוטון והניטרון. אולם גם תיאוריה זו לא החזיקה מעמד לאורך זמן, ומאוחר יותר התגלה שגם שניים משלושת החלקיקים הללו, הפרוטון והנייטרון, אפשר לחלק לחלקיקים זעירים יותר, למשל הקוורקים.

התפתחויות אלו הטילו ספק בניסיון להגיע לחלקיקים ה"סופיים" ביותר מהם בנוי היקום, ובאופן תיאורטי קיימת האפשרות שניתן לחלק את החומר עד אינסוף. עם זאת, לפי הדעה השולטת במדע כיום קיימים חלקיקי יסוד שבסופו של דבר נגיע אליהם ונגדיר אותם.

רעיון האינסופיות אינו פשוט והוא דורש יציאה מצורת המחשבה שאליה אנחנו רגילים. אלברט איינשטיין אמר פעם שהדמיון חשוב מהידע, משום שבעוד שהידע האנושי מוגבל, היכולת לדמיין היא אינסופית. ובאמת, משחר ההיסטוריה אהב האדם לדמיין, וניסה לתאר לעצמו את העולם שמעבר לדברים הידועים והמוכרים. הדמיון מאפשר לנו למתוח את הגבולות, ולחשוב מה נמצא מעבר לטווח ראייתנו ומעבר להכרתנו. כך המציא האדם את מושג האינסוף.

המאמר פורסם בגיליון דצמבר של המגזין "גליליאו צעיר "