אינטרנט  |  ynet  |  בעלי מקצוע  |  קניות  |  ספקים למשרד
|שלום אורח
התחבר
|הירשמו ל-ynet

   חדשות תוכן ועדכונים 24 שעות - Ynet


אווקלידס מאלכסנדריה
אווקלידס מאלכסנדריה 
 
 פורמט להדפסה  הדפס

ערכים קשורים
 שומר
 בבל
 הודו
 מאיה
 מצרים העתיקה
 יוון העתיקה
 אסטרונומיה
 לוח שנה
 אסטרולוגיה
 פילוסופיה
 אווקלידס
 גיאומטריה
 אקסיומה
 הסקה
 רומא העתיקה
 ימי הביניים
 בית עבאס
 ביזנטיון
 רנסנס
 סר אייזיק ניוטון
 פיסיקה
 חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
 אריתמטיקה
 מספר
 קבוצה
 אלגברה
 תורת המספרים
 סימטריה
 משוואה
 מטריצה
 מרחב
 גיאומטריה אנליטית
 מצולע
 טופולוגיה
 פונקציה
 נגזרת
 אינטגרל
 גיאומטריה פרקטלית
 טריגונומטריה
 סדרות וטורים
 הרמוניה
 כאוס
 תורת המשחקים
 הסתברות
 סטטיסטיקה
 אלגוריתם
 מחשב


תחומים קשורים
 מתמטיקה וסטטיסטיקה


 
 
 

מתמטיקה


Mathematics

קיצור תולדות המתמטיקה |  ענפי המתמטיקה |  ציטוטים |  מידע נוסף

מתמטיקה, המדע העוסק בחקר מספרים, גדלים, כמויות, צורות וישויות מופשטות אחרות; המתמטיקה בוחנת את היחסים ביניהם ואת תוצאותיהן של המניפולציות האפשריות בהם, מתוך התבססות דקדקנית על עקרונות הלוגיקה. המתמטיקה שונה ממדעים אחרים בכך שהיא חותרת לוודאויות מוחלטות ולאוניברסלים (עקרונות שתוקפם יפה בכל מקרה ומקרה), ותולדותיה עומדות בסימן עלייה הולכת וגוברת בהפשטה ובאידיאליזציה של תחומי עיסוקה.

 


קיצור תולדות המתמטיקה

ראשית המתמטיקה בהתעסקותם היומיומית של בני תרבויות עתיקות בגדלים ובכמויות, כפועל יוצא של פעילותם בחקלאות, במלאכה ובמסחר. בהדרגה התפתחו שיטות שונות לטיפול בהם, החל בארבע פעולות החשבון ובשיטות מדידה גולמיות וכלה בעקרונות מופשטים. אותן תרבויות שפיתחו שיטות כתב, כללו במסגרתן גם דרכים לכתיבת מספרים ולעשיית מניפולציות שונות בהם. כך השתמרו כתבים מתמטיים במספר תרבויות עתיקות, שבראשית הדרך לא היה קשר ביניהן: שומר שבמסופוטמיה, ואחריה בבל; הודו; סין העתיקה; ותרבות המאיה באמריקה המרכזית. התפתחות המתמטיקה במצרים העתיקה, הגם שהיתה עצמאית בראשיתה, עמדה בהמשך בסימן השפעה בבלית חזקה. דומה היה המצב גם ביוון העתיקה, שם הושפעו ראשוני החוקרים במידה רבה מאוד מהידע שכבר היה מצוי בבבל ובמצרים.

 

תעודה מצרית קדומה ועליה חישובים מתמטיים - The Rhind Mathematical Papyrus (צילום: Gettyimages Imagebank )

 

בכל התרבויות הללו, התפתחות המתמטיקה התנהלה בזיקה הדוקה מאוד להתקדמות האסטרונומיה. כולן ייחסו חשיבות מרובה לגרמי השמים ולתנועותיהם השונות, וביקשו לפתח שיטות לחיזוי מקומותיהם בעתיד – הן למען פיתוחם של לוחות שנה לצרכים דתיים, חקלאיים, מסחריים וכיוצא בהם, והן לצרכים אסטרולוגיים: כל אותן תרבויות האמינו בקיומה של זיקה מיסטית כלשהי בין מצבם של גרמי השמים לבין מעשי בני האדם וגורלותיהם. ביוון, במיוחד, הצורך בחיזוי אסטרונומי הביא לפיתוח נמרץ של הגיאומטריה, שהמשיכה והתפתחה גם מעבר לכך.

 

היוונים הם שהפכו את המתמטיקה מעיסוק מעשי לתורה מופשטת. אם בשאר התרבויות העתיקות נועדה המתמטיקה בראש ובראשונה לצרכים יומיומיים (ואסטרולוגיה בכלל זה), הנה היוונים התקדמו מעבר לזה והפכו את המתמטיקה לחלק מהפילוסופיה  שלהם. וכך, מלבד יישומיה המרובים של המתמטיקה לחיי השגרה ולאסטרונומיה, התעסקו בה רבים מגדולי המלומדים היוונים לשם עצמה, ופיתחו שיטות, מושגים ודרכים לחקירתה. במיוחד תצוין עבודתו של אווקלידס מאלכסנדריה, בן המאה ה-4 לפנה"ס, אשר העמיד את ענף הגיאומטריה על יסודות מוצקים, שהחלו להתערער רק במאה ה-19 לספירה.

 

במשך כל הזמן הזה, ולמעשה גם כמה עשורים אחרי תחילת המאה ה-20, נחשבה שיטת אווקלידס למופת שלפיו יש לבנות את שאר ענפי המתמטיקה, ואף את שאר המדעים בכלל, תוך שימוש בהגדרות, במושגים שכיחים, באקסיומות ובכללי הלוגיקה. ההגדרות מציגות את שמות העצמים והמושגים הבסיסיים של תחום העיסוק (גיאומטריה, במקרה שלפנינו), מאפיינות אותם ומבדילות ביניהם; המושגים השכיחים הם כללים מקובלים ברבים לחשיבה ולניסוח יחסים; האקסיומות הן פסוקים המתייחסים לעצמים הנידונים, שיש לקבלם כאמיתיים בלא הוכחה. ההגדרות, המושגים השכיחים והאקסיומות הם נקודות המוצא שמתוכן אפשר להוכיח פסוקים נוספים, הקרויים טענות, באמצעות כללי הלוגיקה המחמירים. (טענה בעלת חשיבות גדולה במיוחד נקראת משפט.) ההוכחה של טענה היא טיעון היסקי (דדוקטיבי) מסודר ומדויק, שבו כל פסוק הוא אחד משלושה: אקסיומה, או טענה שכבר הוּכחה, או טענה הנובעת מטענה שהוּכחה, לפי כללי הלוגיקה הפורמליים. בדרך זו מתאפשר פיתוחו ההדרגתי של מכלול המשפטים, עד שיהיה בכוחו לפתור כל בעיה בתחום העיסוק, כלומר, לקבוע האם טענה נתונה היא אמיתית או שקרית.

 

המתמטיקאים היוונים שבאו אחרי אווקלידס הוסיפו ושכללו את שיטותיו, ומצבור הידע שבנו היוונים עבר בשלמותו לידי הרומאים, כאשר כבשו את יוון ואת נחלאותיה. הרומאים לא הוסיפו דבר על הידע המתמטי שרכשו, אם כי יישמו אותו היטב במפעלי ההנדסה שלהם. עם נפילת האימפריה הרומית המערבית ותחילת ימי הביניים, פסקה כמעט כליל התפתחותה של המתמטיקה באירופה.

 

מוקד ההתעסקות במתמטיקה בעולם המערבי עבר, כעבור כמה מאות שנים של הפוגה, לידיים מוסלמיות. במיוחד, בבגדד של בית עבאס התנהל עיסוק נמרץ במתמטיקה מופשטת, אשר הסתייע רבות במידע שהגיע מהודו, מחד גיסא, ובכתבים יווניים שהגיעו מביזנטיון ותורגמו לערבית, מאידך גיסא. חוקרים ערבים פיתחו ושכללו את תחומי המתמטיקה השונים, ולקראת סוף ימי הביניים החלו להשפיע על חוקרי אירופה. התעוררות המדע האירופי בימי הרנסנס עמדה בסימן אימוצה של המתמטיקה הערבית-הודית, חזרה אל המקורות היווניים, וחתירה ליישום המתמטיקה למדעים ההולכים ומתהווים. תהליך זה הגיע לבשלותו אצל סר אייזיק ניוטון האנגלי, חלוץ השימוש דקדקני במתמטיקה לניסוח חוקים פיסיקליים. לצורך זה היה על ניוטון לפתח כלים מתמטיים חדשים לגמרי, ובראשם החשבון האינפיניטסימלי. בה בעת עסקו חוקרים אחרים בפיתוח כלים מתמטיים נוספים, ועתה הופיעה לראשונה ההבחנה בין מתמטיקה יישומית, שתכליתה לספק כלים מתמטיים למדע ולטכנולוגיה, לבין המתמטיקה הטהורה, החוקרת ישויות מתמטיות לשמן. הבחנה זו, הגם שאינה חדה וחלקה, עדיין קיימת כיום.

 

מהמחצית השנייה של המאה ה-17 ואילך, אם כן, הפכה המתמטיקה ל"שפת המדעים", והוסיפה והתפתחה בכיוונים רבים. על שני ענפיה המסורתיים, האריתמטיקה והגיאומטריה, נוספה האלגברה תחילה, ובהמשך הסתעפו מן השלושה ענפים רבים אחרים, כמתואר להלן. בה בעת התפתח בקצב מהיר השימוש בסמלים שונים לציון ישויות מתמטיות ולציון הפעולות המבוצעות בהם.

 


ענפי המתמטיקה

בפתח המאה ה-21 נחלקת המתמטיקה למספר רב של ענפים, שכל אחד מהם נחלק שוב לכמה וכמה ענפי משנה. להלן ייסקרו בקצרה העיקריים מביניהם; לרבים מהם יוחד גם ערך בפני עצמו, העוסק בין השאר גם בתיאור ענפי המשנה של כל אחד מהם. הסקירה מבוססת על השיטה הקרויה "מיון נושאי המתמטיקה" (Mathematics Subject Classification), ובקיצור MSC, כפי שפותחה על ידי אגודה המתמטית האמריקנית והוצגה לראשונה בשנת 2000.

 

ברמה הבסיסית ביותר, שיטת MSC מחלקת את המתמטיקה לארבעה תחומים: יסודות המתמטיקה, אלגברה, גיאומטריה ואנליזה. מעניין לציין כי השיטה אינה מתייחסת לאריתמטיקה (הקרויה לפעמים, שלא בצדק, "חשבון פשוט"), דהיינו העיסוק הבסיסי במספרים – מנייה, סידור, חיבור, חיסור, כפל וחילוק – כתחום בפני עצמו. הגם שהאריתמטיקה חיונית לביצוע חלק ניכר מפעולותיהם של תחומי המתמטיקה השונים המתוארים להלן, אין היא תחום מחקר עצמאי. נהוג לראות את עקרונותיה כחלק מתורת הקבוצות, המתוארת להלן.

 

1. יסודות המתמטיקה הם שניים: לוגיקה מתמטית ותורת הקבוצות.

 

  • הלוגיקה המתמטית, הגובלת בפילוסופיה של המתמטיקה, עוסקת בשאלות של הוכחה, כריעות (decidability, דהיינו האם אפשר לקבוע כי פסוק כלשהו אמיתי או שקרי) עקביות, שלמות וכדומה.
  • תורת הקבוצות, המסתמכת במידה רבה מאוד על עקרונות הלוגיקה, עוסקת בשיוכם של עצמים כלשהם לקבוצות שונות ובקשרים ביניהן. בתחילת המאה ה-20 שררה סברה שניתן להעמיד את כל המתמטיקה (ברוח המופת האווקלידי) על תורת הקבוצות, וגם אם היא הופרכה בינתיים, נודעת עדיין חשיבות מרובה לתורה זו, כפי שמלמד שיוכה לתחום יסודות המתמטיקה.

 

2. תחום האלגברה התפתח מתוך הפשטה של האריתמטיקה, שהיתה כרוכה במעבר משימוש במספרים קונקרטיים לשימוש בסמלים העשויים לייצג כל גודל שהוא. כיום הוא כולל את:

 

  • תורת המספרים רואה את המספר לא רק כאמצעי למנייה ולסידור, אלא כישות הראויה לחקר בפני עצמה. היא פותחת במספרים השלמים, תכונותיהם והיחסים ביניהם, וממשיכה אל הסוגים האחרים של מספרים – ממשיים, אי-רציונליים, מרוכבים וטרנסצנדנטליים.
  • תורת החבורות חוקרת סוג מסוים של קבוצות, שלגביהן מוגדרת פעולת "כפל" המאפשרת הגדרה של יחסים בין איבריהן, ובינן לבין חבורות אחרות. הואיל ותורה זו מאפשרת את הגישה הנוחה ביותר לחקר הסימטריה, המופיעה בתחומים רבים ושונים של המתמטיקה, נודעת לה חשיבות מרובה.
  • תורת החוגים עוסקת באותן קבוצות שלגביהן מוגדרות שתי פעולות אריתמטיות.
  • תורת השדות עוסקת בקבוצות בעלות מבנה אלגברי עשיר במיוחד, שעליהן חלות כל ארבע פעולות החשבון.
  • גיאומטריה אלגברית חוקרת את מושגי הגיאומטריה (להלן) בשיטות אלגבריות (וממחישה, לצורך הדיון הנוכחי, את המידה המרובה של חפיפה בין תחומים וענפים שונים של המתמטיקה).
  • אלגברה ליניארית עוסקת במשוואות ליניאריות, במטריצות, במרחבים וקטוריים ועוד.
  • תורת הקטגוריות עוסקת בחקר מודלים מופשטים של מבנים ובמיפויים שונים שלהם.
  • קומבינטוריקה עוסקת בחקר עצמים מתמטיים בדידים, או בלשון אחרת, בחקר קבוצות שיש בהן תת-קבוצות מובחנות היטב.
  • ולבסוף ישנו חקר המערכות האלגבריות הכלליות, העוסק מחד גיסא במבנים הפשוטים ביותר של האלגברה, ומאידך גיסא בנושאים שאינם משתייכים במובהק לאחד מן הנזכרים לעיל.

 

3. תחום הגיאומטריה עבר גלגולים רבים מאז ימי אווקלידס. כיום הוא כולל:

 

  • גיאומטריה אווקלידית וגיאומטריות סינתטיות (לא-אווקלידיות, שאינן כוללות את אקסיומת המקבילים של אווקלידס).
  • גיאומטריה אנליטית, הקרויה גם גיאומטריית הקואורדינטות, שבה מוצגות ישויות גיאומטריות בסמלים אלגבריים.
  • גיאומטריות קמורות ובדידות, הכוללות בין היתר חקר מצולעים ופאונים, בעיות ריצוף (תשבוץ), ועוד.
  • גיאומטריה דיפרנציאלית חוקרת את התכונות של עקומות, משטחים ויריעות אחרות, כפי שהן מוגדרות באמצעות חדו"א (להלן).
  • טופולוגיה עוסקת בתכונותיהם של מרחבים במספר כלשהו של ממדים, ובשאלות של רציפות, סגירות, גבולות וכדומה. במיוחד, הטופולוגיה האלגברית חוקרת את אותן תכונות של ישויות גיאומטריות, הנותרות ללא שינוי בתנאים של עיוותים מוגדרים.

 

4. תחום האנליזה בוחן את התוצאות המתקבלות מהחשבון האינפיניטסימלי (הקרוי גם חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, ובקיצור חדו"א), ומתמקד בשינויים רציפים ובתהליכים העולים מהם. זהו אולי התחום הפורה ביותר מבחינת המתמטיקה היישומית, כלומר פיתוח שיטות מתמטיות לטיפול בבעיותיהם של תחומי מדע אחרים. ענפיו כוללים:

 

  • פונקציות ממשיות – נגזרות, אינטגרלים ואי-שוויונות, דהיינו יסודות החדו"א.
  • תורת המידה חוקרת מידת גיאומטריות בשיטות חדו"א, וגם מספקת את המסגרת המושגית לתורת ההסתברות (להלן). חקר הפרקטלים שייך למסגרתה.
  • פונקציות מיוחדות, שאינן משתייכות לאלגברה הבסיסית. הפונקציות הטריגונומטריות מהוות חלק חשוב מתחום זה.
  • משוואות הפרשים, שבהן מוגדרים ההפרשים בין ערכי פונקציה.
  • סדרות וטורים – אוספי מספרים שכל איבריהם מתייחסים זה לזה לפי קריטריון מוגדר.
  • משתנים מרוכבים – חקר הפונקציות הכוללות משתנה מרוכב (שאחד מחלקיו הוא השורש הריבועי של 1-), או כמה משתנים כאלה.
  • תורת הפוטנציאל, העוסקת בפונקציות הרמוניות.
  • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות.
  • מערכות דינמיות, תחום הידוע בכינויו הפופולרי תורת הכאוס.
  • משוואות אינטגרליות.
  • חשבון הווריאציות בודק סוגיות כמו אופטימיזציה, מקסימום ומינימום בפונקציות ובעצמים גיאומטריים.
  • אנליזה גלובלית חוקרת את תכונותיהן של משוואות דיפרנציאליות ביריעות טופולוגיות.
  • אנליזה פונקציונלית מאגדת מספר תחומי אנליזה וחוקרת את התכונות המשותפות לכולם.
  • אנליזת פוריה חוקרת קירובים ופירוקים של פונקציות.
  • אנליזה נומרית חוקרת את שיטות הטיפול במשתנים מספריים.
  • חקר ביצועים עוסק בפיתוח שיטות אופטימליות להקצאת משאבים, וכולל את תורת המשחקים.

 

מעבר לארבעת התחומים שתוארו עד כה, ישנם תחומי המתמטיקה שפותחו לא לצורכי המחקר ה"טהור", אלא לצורכיהם של מדעים אחרים, והם:

 

  • תורת ההסתברות, אנליזה קומבינטורית של קבוצות סופיות ואינסופיות.
  • סטטיסטיקה, העוסקת בשיטות לאיסוף נתונים, לשילובם ולגזירת ניבויים ומסקנות מהם.
  • תורת המחשב חוקרת שאלות של חישוביות, רקורסיה, אלגוריתמים ועוד, ומצויה ביסוד פיתוחו של המחשב המודרני.
  • תורת המידע והתקשורת עוסקת בשאלות אלגבריות הנוגעות לקידוד ולפענוח, תהליכי רשת ועוד.

 

מעבר לכל אלה ישנם היישומים הרבים מספור של ענפים שונים של המתמטיקה למדעים המדויקים, למדעי הטבע ולמדעי החברה.

 


ציטוטים

 

  • "התוצאות נמצאות בידיי זה זמן רב, אך עדיין אינני יודע איך הגעתי אליהן". קרל פרידריך גאוס, מתמטיקאי ופיסיקאי גרמני, מגדולי המתמטיקאים בכל הדורות.

 

  • "זמן המתמטיקה אצל מתמטיקאים הוא קצר. עבודתם לעתים רחוקות משתפרת לאחר גיל 25- 30. אם מעט הושג לפני גיל זה, מעט יושלם לאחריו". אלפרד אדלר, פסיכיאטר ופסיכולוג אוסטרי.

 

  • "מאז שמתמטיקאים החלו לעסוק בתורת היחסות, אינני מבין את עצמי יותר". אלברט איינשטיין.

 

  • "ניתן להגדיר את המתמטיקה כנושא שאנו מדברים עליו בלי להבין דבר או מבלי לדעת אם דברינו נכונים". ברטרנד ארתור ויליאם רסל, פילוסוף, מתמטיקאי ולוגיקן בריטי.

 

  • "במתמטיקה אינך מבין דברים, אתה פשוט מתרגל אליהם". ג'ון פון ניומן, מתמטיקאי יהודי-אמריקאי.

 


מידע נוסף

 

המעבדה - תולדות המדע והטכנולוגיה על ציר הזמן, מתקופת האבן ועד ימינו. פרויקט מיוחד מבית היוצר של אנציקלופדיה ynet.

לציר הזמן - לחצו כאן

 


יש לכם הערה לערך ?


חזרה לעמוד הקודם
חזרה לעמוד הראשי של האנציקלופדיה

חדשות
דעות
כלכלה
ספורט
צרכנות
תרבות ובידור
רכילות Pplus
מחשבים
בריאות
ירוק
יהדות
תיירות
רכב
אוכל
יחסים
סרטים
הוט
כלכליסט
משחקים
מקומי
לימודים
מדע
לאישה
דרושים
ynet-shops
ynettours
winwin
בעלי מקצוע
ביגדיל
 

אודות ועזרה
כתבו אלינו
עזרה
מדיניות פרטיות
תנאי שימוש
מפת האתר
ארכיון
מרכזי המבקרים
Israel News
 
אודות האתר
RSS
הפוך לדף הבית
ynet בסלולר
ניוזלטרים
פרסמו אצלנו
אנציקלופדיה
באבלס
ערוצי תוכן
חדשות
כלכלה
ספורט
תרבות
בריאות
מחשבים
נופש
Xnet
Yschool
יהדות
דעות
צרכנות
תיירות
אוכל
רכב
בעלי חיים
שופינג לאשה
כיכר השבת
יחסים
אסטרולוגיה
מעורבות
ירוק
לאשה
דילים
ynetArt
kick
כלכליסט
בלייזר
רכילות Pplus
מנטה
משחקים
mynet
מפות
פרוגי
כלים ושירותים
קניות
מניות
דרושים
מחירון רכב
דירות להשכרה
קופונים
זיכרונט
ידיעות בתי ספר
ידיעות אחרונות
דירות למכירה
לוח רכב
יד שניה
בעלי מקצוע
משחקים Games
עברית
דירות חדשות


YIT  - פיתוח אינטרנט ואפליקציותApplication delivery by radwarePowered by Akamaiהאתר פועל ברישיון אקו"םהאתר פועל ברישיון תל"יאקטיב טרייל
-nc  כל הזכויות שמורות לידיעות אינטרנט ©