איך הפך משפט פרמה לכזה חשוב?

כפי שסינג מציין בספרו, אחד משערי הכניסה של סופי ז'רמיין לעולם של תורת המספרים היה יצירת המופת של גאוס, שראתה אור ב-1801, Disquisitiones Arithmeticae. מדובר בספר רב-השפעה שרבים משווים את חשיבותו בתולדות המתמטיקה לזו של האלמנטים של אווקלידס (Euclid) מהמאה השלישית לפנה"ס.

הספר הציג בפעם הראשונה בצורה מקיפה ושיטתית תוצאות רבות שנראו עד כה כאוסף אקראי של בעיות נפרדות ושל טכניקות עבודה הקשורות בדרכים שונות לתחום האריתמטיקה. ספרו של גאוס כונן למעשה את מה שמוכר מאז כתחום של "תורת המספרים", ובוודאי שאת "תורת המספרים האלגברית" כפי שהיא התפתחה בגרמניה, בצורה מרחיקת לכת, לאורך המאה הי"ט.

מעבר לכך תרומותיו של גאוס בתחומים רבים אחרים של המתמטיקה ושל הפיזיקה היו אף הם חשובות ביותר ורבות-השפעה לא פחות, ולכן אין פלא שסינג מנסה לבחון בספרו את האופן שבו נהג גאוס אל מול מה שמהווה, לטענת סינג, "החשובה מבין כל הבעיות של המתמטיקה".

אלא שהעובדות ההיסטוריות מציבות אתגר קשה עבור סינג. "באופן תמוה", כותב סינג, גאוס לא פירסם מאומה בקשר למשפט האחרון של פרמה. יתרה מזאת: במכתב לחברו אולברס (Heinrich Olbers 1758-1840) – אסטרונום גרמני חשוב (וראו: "פלנטות בפלונטר", גליליאו 73) בן תקופתו, אשר עודד את גאוס להתמודד על הפרס של האקדמיה – כותב גאוס: "אני מודה ומתוודה שהמשפט האחרון של פרמה, כמשפט מבודד, מעורר אצלי עניין מועט בלבד, שכן הייתי יכול בקלות להציע משפטים רבים מהסוג הזה, משפטים שאי-אפשר להוכיח או לסתור".

מה אומר סינג על כך? "ייתכן שבעברו..." (ובמקור באנגלית: ... historians suspect that) ניסה גאוס להתמודד עם הבעיה ונכשל, ותגובתו לאולברס היתה תגובה של תסכול אינטלקטואלי ואכזבה. אלא שעמדתו של גאוס היא "תמוהה" רק עבור מי שמניח מראש שמדובר בבעיה החשובה במתמטיקה בכל הזמנים.

ללא הנחה מוקדמת כזו, אפשר להתייחס לדבריו של גאוס כפשוטם: הוא לא חשב שזו בעיה חשובה כלל וכלל! אחד הצירים המרכזיים של Disquisitiones נסוב סביב משפט ההדדיות הריבועית, המהווה דוגמה קלאסית לבעיה חשובה בעיניי מתמטיקאי כמו גאוס (אבל לא רק גאוס: כבר ראינו שהילברט כולל את הבעיה ברשימתו, ובהמשך עוד נראה אחרים העוסקים בה באינטנסיביות).

גאוס פרסם בחייו לא פחות משבע הוכחות שונות למשפט ההדדיות הריבועית. בכל אחת מן ההוכחות הללו הוא קיווה למצוא דרך שתאפשר את הכללת המשפט לחזקות גבוהות יותר, ואמנם, הוא עצמו התמודד בהצלחה עם המקרים n = 3 ו- n = 4.

חשיבות עמוקה בהתמודדותו עם בעית ההדדיות היתה לשימוש של גאוס במערכת מספרים מסוג חדש, המכונה בימינו "השלמים הגאוסיאניים", דהיינו מספרים מהצורה: a + ib כאשר i מייצג, כמקובל, את השורש הריבועי של 1-, ואילו a ו-b מייצגים שני מספרים שלמים.

מדובר, אם כן, במערכת מספרים המהווה חלק מהמספרים המרוכבים, וגאוס חקר את התכונות המיוחדות שלהם. כבר הזכרנו בהקשר של בעיית רימן את העובדה המפתיעה שעל מנת לקבל מידע חשוב על המספרים השלמים אנחנו יכולים לפנות לתחום הרחב יותר של המספרים המרוכבים.

הראשון שהעלה את הרעיון המפתיע הזה היה אוילר (בדיוק בחקרו את התוצאות שהזכרנו לעיל,) אבל הוא הפך לנחלת הכלל ולדרך מקובלת בתחום בעקבות הפיתוח השיטתי של השלמים של גאוס ב- Disquisitiones. השימוש במספרים המרוכבים בעקבות גאוס גם ישחק תפקיד מכריע כחלק מהניסיונות להוכיח את משפט פרמה אחרי 1800, אבל אין כל זה משנה את העובדה הביסיסית שגאוס לא ראה במשפט הזה מטרה ראויה להשקעת מאמציו.

נחזור עתה לאירועים של שנת ב-1847 באקדמיה למדעים בפריז סביב המשפט האחרון של פרמה. כפי שאמרתי, ב-1839 הצליח לאמה להוכיח את מקרה 2 של המשפט עבור n = 7, בהוכחה קשה, ארוכה ומסובכת. כאן התקבץ בפעם הראשונה גרעין של התעניינות אמיתית וממוקדת סביב המשפט, שכלל מתמטיקאים מהשורה הראשונה כמו אגוסטן לואי קושי (Augustin Louis Cauchy 1789-1857) וז'וזף ליאוּביל (Joseph Liouville 1809-1882).

כראוי לחוג המתמטיקאים המובילים בצרפת, אליהם השתייכו, הם עסקו בו-זמנית במספר בעיות ובתחומים שונים, ובתוך זה גם הקדישו מזמנם לניסיונות הוכחה למשפט פרמה. מסכת חילופי רעיונות ודיונים מעמיקים (שלא נעדרו מהם היצרים העזים ומנות גדושות של "קנאת סופרים" אופיינית לחברי האקדמיה המכובדים) החלה ב-1 במרץ, כאשר לאמה הציג דרך אפשרית להוכחה של המשפט הכללי.

הגישה של לאמה התבססה על רעיון של ליאוּביל, אשר הציע לפרק את התבנית המופיעה בליבו של המשפט לגורמים, באופן הבא: איקס בחזקת אן + ווי בחזקת אן = (איקס פלוס ווי) (איקס פלוס אר-ווי)...(איקס פלוס אר בחזקת אן מינוס אחד ווי) כאן n הוא מספר אי-זוגי, ו-r הוא מספר מרוכב, שמקיים את התנאי אר בחזקת אן שווה אחת ואר שונה מאחד. הקורא החרוץ יכול לוודא שאכן המשוואה הזאת מתקיימת.

על הפירוק הזה מפעילים טיעון המבוסס על הטכניקה הידועה של ירידה אינסופית, ובאופן זה, בעזרת השימוש במספרים מרוכבים כפי שעשה גאוס בעבודתו על משפט ההדדיות, חשב לאמה להוכיח את משפט פרמה. הדיונים שבאו בעקבות הדיווח של לאמה לאקדמיה עסקו, מחד גיסא, בשאלה החשובה למתדיינים, מי הקדים מביניהם להציע את הרעיונות המכריעים, ומאידך גיסא בשאלה הטכנית, האם הפירוק לגורמים שבמרכז ההוכחה, מקיים את התנאי החשוב של היותו פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.

כאן ציפתה לכולם הפתעה גדולה כאשר התברר שהתשובה לשאלה הטכנית הזו היא שלילית. תשובה שלילית זו היתה כרוכה בשינוי תפישה מהותי באשר לטבעם של המספרים הראשוניים כפי שהם הובנו עוד מימי אווקלידס. היא גם התבררה כקטלנית לגבי האסטרטגיה שבאמצעותה חשבו חברי האקדמיה לפתח הוכחה למשפט פרמה ב-1847.

הדבר התברר סופית בין חברי האקדמיה הפריזאית ב-24 למאי, כאשר ליאוּביל קרא בפניהם מכתב שנשלח מגרמניה על ידי קומר, ואשר כלל העתק ממאמרו משנת 1844. שלוש שנים לפני הדיון בפריז הציג קומר דוגמה של מערכת מספרים שבה הנחת הפירוק היחיד הרגילה אינה תקפה, וב-1846 הוא הציע כיוון חשיבה חדיש לחלוטין ("תורת המספרים הראשוניים האידיאליים") שבאמצעותה ניתן להתגבר על הקושי במערכות בעייתיות כגון אלה. קומר גם הסביר לעמיתיו הצרפתיים שבאמצעות תורתו ניתן להוכיח את משפט פרמה עבור כל מספר ראשוני מסוג מסויים, שהוא כינה "ראשוניים רגולריים".

גישתו החדשה של קומר קטעה באחת כיוון שנראה מבטיח מאוד לפתרון כללי של בעיית פרמה. ואולם, היא פתחה כיווני מחקר עשירים ביותר ולמעשה הובילה, דרך מאמציהם המאוחרים יותר של מתמטיקאים כמו דדקינד (Richard Dedekind 1831-1916) וקרונקר (Leopold Kronecker 1823-1891), להגדרה מחודשת של תורת המספרים האלגבריים ולְמה שכונה בהמשך "אלגברה קומוטטיבית", תחום בעל חשיבות מכרעת לפיתוח המתמטיקה לאורך המאה העשרים.

בהקשר המצומצם הרבה יותר של משפט פרמה, קומר פרץ נתיב חשוב להוכחות אפשריות עבור מקרים נפרדים. כך למשל, קומר עצמו הוכיח, בלא מעט מאמץ חישובי, שכל הראשוניים עד 100 הם ראשוניים רגולריים, כהגדרתו, למעט 37, 59, 67. נגזר, אם כן, מן המשפטים הכלליים שהוכיח, שמשפט פרמה תקף עבור כל הראשוניים הקטנים מ-100, למעט שלושת המקרים הללו.

את שלושת המקרים הוכיח קומר בנפרד, וכך התבררה השאלה של תקפות משפט פרמה לכל החזקות מתחת למאה. כל מה שנותר, לכאורה, הוא להמשיך בחקירת סדרת הראשוניים כדי לוודא מי מהם הוא רגולרי (ואז המשפט תקף עבורו באופן אוטומטי), ומי לא-רגולרי (ואז אפשר לנסות ולהוכיח בנפרד את המשפט עבורו).

אלא שבפועל הנתיב הזה לא אומץ ברצינות עד תחילת המאה העשרים ועל כך עוד נחזור בהמשך. בנתיב שהוביל בסופו של דבר להוכחת ויילס, ואותו נתאר בקיצור נמרץ בהמשך, מעט מאוד התחדש עד 1984! לעומת זאת, אלפי הוכחות לא נכונות הוצעו במשך השנים (למשל: מעל 1000 בין 1908 ו-1912 בלבד). אבל על מעמדו האמיתי של משפט פרמה לאורך השנים אפשר ללמוד לא רק דרך מה שנעשה בשנים הללו, אלא גם, ואולי בעיקר, דרך מה שלא נעשה, כפי שניווכח.

הזרם המרכזי של תורת המספרים וההתעלמות ממשפט פרמה

בחלוקה של המתמטיקה לתת-דיסציפלינות, העיסוק במשפט האחרון של פרמה שייך למה שמכונה "תורת המספרים האלגברית". כבר אמרתי שספרו של גאוס Disquisitiones Arithmeticae הוא למעשה אשר כונן את התחום. התחום ראה פעילות מעניינת ומעמיקה לאורך כל המאה הי"ט, במיוחד בגרמניה.

ב-1896 פרסם הילברט דו"ח ארוך ומפורט על מצב המחקר בתחום, הידוע מאז בשמו הגרמני Zahlbericht, ובו תוספת משפטים חדשים וטכניקות משוכללות לעיסוק בבעיות המרכזיות של התחום. ה- Zahlberichtשיחק בסוף המאה תפקיד מקביל לזה שהיה לספרו של גאוס בתחילתה: הן כסיכום של מה שנעשה לפניו והן כקביעת הקנון לגבי מה שייעשה בהמשך. מעניין לראות היכן עומד המשפט האחרון של פרמה בתקופה שבין שני הספרים המגדירים, למעשה, את התחום כולו.

את דעתו הנחרצת של גאוס כבר ראינו. מה חשב על משפט פרמה מי שתרם את התובנה החשובה ביותר לעיסוק בו מאז מחצית המאה, ארנסט קומר? בזכות אמירות של מתמטיקאים שונים במעבר המאות תשע-עשרה ועשרים, ובראשם הילברט, השתרשה האמונה כאילו קומר הגיע לתובנותיו על אודות הפירוק לגורמים ראשוניים מתוך מוטיבציה ברורה להוכיח את משפט פרמה.

האמת ההיסטורית שונה. לאחר 1860 הזכיר קומר לעתים את חשיבותה ההיסטורית של השערת פרמה, אבל את תורת המספרים האידיאלים שלו הוא הפעיל לטובתה לראשונה רק ב-1847. את התוצאות שהזכרתי לעיל לגבי תקיפות המשפט עבור מספרים ראשוניים קטנים מ-100 הוכיח קומר רק ב-1858.

"המשפט האחרון של פרמה" – הכריז קומר בדומה לגאוס – "הוא קוריוז בתורת המספרים ובשום אופן לא סוגיה מרכזית." וכמו גאוס, גם קומר ראה במשפט ההדדיות מסדר גבוה את "השאלה המרכזית ופסגת המחקר של תורת המספרים" בימיו. שאלה זו היוותה ללא כל ספק מקור המוטיבציה העיקרי של קומר בפיתוח תורת האידיאלים הראשוניים.

קומר פיתח את תורתו במסגרת חקירת מערכות המספרים שהיוו הכללה של המספרים הראשוניים הגאוסיאנים, ואשר מאוחר יותר נקראו "שדות של מספרים אלגבריים". במכתבו לאולברס, גאוס טען שפיתוח שיטתי של התורה הזאת יוביל ללא ספק לפריצות דרך משמעותיות ביותר, "ומשפט פרמה יופיע אז כאחת מתוצאות המשנה הפחות מעניינות של התיאוריה.

"בין התורמים החשובים לשאלת ההדדיות מסדר גבוה ניתן למצוא מתמטיקאים בולטים מאוד, כגון קרל גוסטב יעקובי (Carl Gustav Jacobi 1804-1851) ופרדינד גוטהולד איזנשטיין (Gothold Eisenstein 1823-1852). בין מפתחי תורת השדות האלגבריים ניתן למנות את דדקינד וקרונקר. אלה גם אלה לא התעניינו באופן מיוחד, אם בכלל, במשפט פרמה. הוא הדין לגבי שורה ארוכה של חוקרי תורת המספרים האלגברית, לפני ואחרי ה-Zahlbericht.

עוד סקירה חשובה שמדגישה את הנאמר עד כה לגבי החשיבות שיוחסה למשפט הופיעה ב-1918, כאשר המתמטיקאי האמריקאי ליאונרד יוג'ין דיקסון (Leonard Eugene Dickson 1875-1954) פרסם ספר שזכה לפופולריות רבה: History of the Theory of Numbers. משפט פרמה מופיע בכרך השני מתוך שלושת כרכיו.

מתוך כמעט שמונה מאות דפים של הכרך ומתוך שלושים ושבעה פרקיו, דיקסון הקדיש פרק אחד בן 45 עמודים כדי למנות כ-300 עבודות, לאו דווקא חשובות ורובן קצרות מאוד, שנכתבו עם השנים על אודות המשפט. את דעתו על המשפט אמר אף הוא באופן הברור ביותר: "המשפט האחרון של פרמה חסר חשיבות מיוחדת בפני עצמו, ואם תתפרסם הוכחה מלאה שלו הוא יאבד את המקור העיקרי לתשומת הלב בו."

רוב המתמטיקאים שדיקסון מזכיר בסקירתו רחוקים מלהיות בשורה הראשונה. ואולם, אותם מתמטיקאים מן השורה הראשונה שהוא אכן מזכיר, מופיעים כאן עם עבודה די שולית שלהם. כך למשל לגבי הילברט, אשר ב-1894 פרסם עבודה קצרה ובה שיכלול של אחת ההוכחות של קומר. דיקסון מזכיר גם כמה עבודות משל עצמו בתחום.

מקרה מעניין שכדאי להזכיר הוא של פרדיננד לינדמן (Ferdinand Lindemann 1852-1939), מנחהו של הילברט בעת שכתב דוקטורט בקניגסברג, ואשר קנה את תהילתו כאשר הוכיח ב-1882 שהמספר פי הוא מה שמכונה "מספר טרנסצנדנטלי".

הוכחתו היא מרשימה לכל הדעות ובעלת השלכות על תחומים רבים (הידוע מביניהם מתייחס לבעיה עתיקת-יומין: אי-האפשרות לרבע את המעגל – כלומר לבנות ריבוע ששטחו זהה לשטח מעגל נתון - באמצעות סרגל ומחוגה). לאחר ההוכחה הזאת לינדמן הפך למתמטיקאי מפורסם ביותר, ובעל קשרים רבים בכל אירופה, אבל לא היו לו תרומות משמעותיות נוספות. בין היתר הוא פרסם מספר הוכחות למשפט פרמה בין 1901- ו-1909, אך בסופו של דבר כולן התבררו כשגויות.

העדות האחרונה שברצוני להזכיר כאן, להתעלמות הכמעט מוחלטת ממשפט פרמה כבעיה חשובה במתמטיקה ואפילו בתחום המצומצם יותר של תורת המספרים מקורה במסמך מעניין וכמעט נשכח שנכתב בעברית ובארץ ישראל של 1925. היתה זאת השנה של טקס הנחת אבן-הפינה לאוניברסיטה העברית בהר הצופים, ובין הנואמים הראשיים היה אדמונד לנדאו (Edmund Landau 1877-1938).

לנדאו היה מתמטיקאי גרמני, בן למשפחה ברלינאית בעלת שורשים עמוקים והון רב. הוא היה בין המתמטיקאים המובילים בעולם, ובוודאי שבתחום התמחותו, תורת המספרים האנליטית. הוא היה גם ציוני נלהב, שנרתם באופן אישי למפעל האוניברסיטה העברית בירושלים, אשר החל לקרום עור וגידים בתקופה זו.

הוא עלה ארצה ב-1927 בכוונה להשתקע בירושלים, כשבידו מינוי כפרופסור למתמטיקה הראשון באוניברסיטה העברית. ברם, שהייתו בארץ היתה קצרה ביותר, וכעבור שמונה עשר חודשים חזר לגרמניה. הנאום שנשא בהר הצופים כאשר הוזמן לצורך זה, עוד ב-1925, היה אולי הטקסט הראשון שעסק במתמטיקה מתקדמת, אשר נכתב בעברית מודרנית.

כותרתו היתה: "בעיות פתורות וסתומות בתורת המספרים האלמנטריים." רשימתו של לנדאו הכילה עשרים ושלוש בעיות. לנדאו הסביר לקהל שהסיבה למספר היתה היות 23 מספר ראשוני המתאים מאוד לנושא ההרצאה. ייתכן שגם המספר שברשימת הבעיות של הילברט מ-1900 הדהד במוחו כאשר בחר בו.

ההזדמנות שנקרתה בדרכו של לנדאו היתה חגיגית ביותר בכמה מובנים. גם ככה לנדאו היה איש קפדן באופן קיצוני בכל מעשיו, ובוודאי כאשר דובר במלאכת חיבור טקסטים מתמטיים. אין ספק שהוא התייחס בכובד ראש ראוי לגודל האירוע כאשר בחר בבעיות שיציג לעם היושב בציון, ולקרוּאים המכובדים הרבים.

תיאור שלם של הרשימה חורג ממסגרת מאמר זה, ועל כן אסתפק באמירה שעל אף המלה "יסודית" שבכותרת, בין השאלות שהציג לנדאו היו גם כאלה שנחשבו קשות עד מאוד בין אנשי תורת המספרים. ולענייננו: מה לגבי משפט פרמה? ובכן, משפט פרמה לא מוזכר כלל וכלל ברשימתו העברית של לנדאו!

כפי שאמרתי, לנדאו חקר את תורת המספרים, אבל במסגרת מסורת המכונה "אנליטית" שבה למשפט פרמה אין מקום רב ממילא. אבל ברשימתו לנדאו בפירוש כלל גם בעיות רבות מהמסורת האלגברית. את משפט פרמה ללא הזכיר כלל.

לאורך המאה העשרים נעשו מאמצים נוספים להוכיח את משפט פרמה. רובם המכריע לא היו קשורים לזרם הרעיונות שבסופו של דבר הוביל להוכחה של ויילס. יתרה מזאת, גם הקשר ההדוק בין זרם אחרון זה לבין הוכחה אפשרית של המשפט התברר, באופן מובהק, לא לפני 1983.

אופן הצגת הדברים בתיאור של סינג מאדיר את הדרמטיות של אירועים מסויימים הרבה מעבר ליחס הראוי להם ומעמיד אותם לשירות טענת המפתח שלו, כאילו משפט פרמה היתה החשובה מבין החידות המתמטיות של מאתיים חמישים השנה האחרונות.

מעבר לבעיה הזו, אופן הסקירה של סינג (ובעקבותיו, חלק גדול ממאמרי הפופולריזציה הרבים שנכתבו מאז על הפרשה כולה) גם מתעלם לחלוטין מן החידושים החשובים ומן המהלכים הנועזים שנעשו במאה העשרים לקראת הוכחת המשפט, ואשר לא השתלבו בסופו של דבר בזרם ה"מנצח", זה שוויילס הביא לשיא.

ברצוני, אם כן, להזכיר בקיצור נמרץ ביותר שני זרמים שונים של חשיבה מתמטית לקראת הוכחת משפט פרמה במאה העשרים. אתחיל במהלכים שהביאו להוכחת ויילס, מהלכים הקשורים בהשערת טאנייאמה-שימורה. חשוב לחזור ולהדגיש שההשערה הזו, הקושרת שני תחומים מתמטים שנראו קודם לכן כמרוחקים האחד מן השני ובלתי-קשורים במהותם (עקומות אליפטיות ותבניות מודולריות), לא נוסחה במקור בקשר כלשהו למשפט פרמה.

הקשר התברר בדיעבד רק ב-1984 מתוך השערה של גונתר פריי (Gunther Frey) אשר הצביעה על כך שאילו הוּכְחה אמיתותה של השערת טאנייאמה-שימורה הרי שניתן יהיה לגזור ממנה את אמיתותו של משפט פרמה. בהמשך, ב-1985, קנת ריבת (Kenneth Ribet) הוכיח משפט הקובע, שאכן משפט פרמה נגזר כמסקנה ישירה מן ההשערה.

ההוכחה של משפט פרמה נראתה לראשונה בהישג יד, על ידי השלמה של מטלה ברורה, גם אם קשה: הוכחת ההשערה של טאנייאמה-שימורה. חשוב להזכיר כאן עוד שלוש התפתחויות הקשורות בזרם הרעיונות הזה:

(1) בשנות ה-70 המוקדמות עסק אנדרה וייל (André Weil 1906-1998), מן הבולטים בחוקרי המספרים במאה העשרים, בעקומות אליפטיות ובהשערת טאנייאמה-שימורה. יש הקוראים מאז להשערה החשובה בשם " טאנייאמה-וייל", או "טאנייאמה-שימורה-וויל", ויש החושבים שלא נכון בשום ואופן לכלול את וייל בין אבות ההשערה. בין כך ובין כך, אין ספק שמעורבותו של וייל בבעיות הקשורות להשערה סייעה במידה נכרת להפצת דבר קיומה וחשיבותה.

(2) ב-1977 עסק בארי מייזר (Barry Mazur) במחקר הקשור במעבר בין סוגי עקומות אליפטיות הבנויות על מספרים ראשוניים שונים. רעיונותיו שימשו השראה לריבֶת בהוכחת השערת פריי.

(3) ב-1983 הוכיח גרד פלטינגס (Gerd Faltings) השערה שנוסחה ב-1922 ע"י לואיס מורדל (Louis Joel Mordell 1888-1972). ממשפט פלטינגס משתמע כי עבור n > 2 יש לכל היותר מספר סופי של שלשות מספרים שלמים x, y, z, ללא גורמים ראשוניים משותפים, המקיימים איקס בחזקת אן פלוס ווי בחזקת אן שווה זד בחזקת אן.

מדובר, לכל הדעות, בתוצאה קרובה ביותר למשפט פרמה עצמו, ובכל זאת דרכי ההוכחה של פלטינגס לא נראו כבעלות פוטנציאל להוביל, בדרך של שכלולים נוספים, להוכחת המשפט הכללי. יתר על כן, ניסיון להוכיח את משפט פרמה לא היווה מוטיבציה ישירה לעבודתו של פלטינגס.

לאתר של ליאו קורי לחצו כאן

לחלק הראשון של המאמר לחצו כאן

לחלק השני של המאמר לחצו כאן

לחלק השלישי של המאמר לחצו כאן

לחלק הרביעי של המאמר לחצו כאן

ד"ר ליאו קורי הוא ראש המכון להיסטוריה ולפילוסופיה של המדעים והרעיונות ע"ש כהן באוניברסיטת תל-אביב. עיקר מחקרו ופרסומיו עוסקים בהיסטוריה והפילוסופיה של המתמטיקה המודרנית. ד"ר קורי עורך את כתב העת Science in Context אשר רואה אור ב- Cambridge University Press.