העולם האקראי

להלן פרק מהספר "קישורים – המדע החדש של רשתות", מאת הפיזיקאי אלברט-לסלו ברבאשי, הספר דן בתורת הרשתות ויישומיה הרבים בכל תחומי חיינו

ב-18 בספטמבר 1783, בסנט-פטרסבורג, התחיל ליאונרד אוֹילֶר את יומו כבכל יום. הוא נתן שיעור במתמטיקה לאחד מנכדיו וערך כמה חישובים על מעופם של כדורים פורחים. רק שלושה חודשים קודם לכן שילחו האחים מוֹנגוֹלפיֶיה באתר מדרום לליון כדור פורח ענקי שעלה באוויר לגובה 6,500 רגל ונחת לבטח במרחק כקילומטר וחצי משם.

 

אוילר חישב את המכאניקה של תנועת הכדור הפורח בזמן שהאחים מונגולפייה התכוננו לשלוח כבשה לאוויר לעיניו של המלך לואי ה-16 בפריז. הטיסה התרחשה למחרת, ב-19 בספטמבר, אבל אוילר לא שמע דבר על האירוע. אחרי ארוחת הצהריים, כשעבד עם העוזר שלו, הוא ערך כמה חישובים על מסלול תנועתו של כוכב-הלכת אוּראנוּס, שאך זה התגלה.

 

המשוואות שהציג לתיאור מסלולו המוזר של הכוכב יובילו עשרות שנים לאחר מכן לגילוי כוכב-הלכת פּלוּטוֹ. גם את התגלית הזאת לא זכה אוילר לראות. בערך בשעה חמש אחר-הצהריים לקה בשטף-דם במוח ומלמל "אני מת" לפני שאיבד את הכרתו. הוא מת באותו ערב, ובכך בא הקץ על הקריירה הפורייה ביותר במתמטיקה בכל הזמנים.

 

לאוילר, מתמטיקאי ממוצא שוויצרי שחי בברלין ובסנט-פטרסבורג, היתה השפעה יוצאת דופן על כל תחומי המתמטיקה, הפיזיקה וההנדסה. לא רק שתגליותיו היו ללא מתחרים בחשיבותן, גם מספרן העצום היה מדהים. Opera Omnia - תיעוד עבודותיו של אוילר, שטרם הושלם - ממלא 73 כרכים, כל אחד מהם בן 600 עמודים.

 

17 שנותיו האחרונות של אוילר, מאז שובו לסנט-פטרסבורג בשנת 1766 ועד מותו בגיל 76, היו סוערות למדי. אולם, למרות שחווה טרגדיות אישיות רבות באותה תקופה, כמחצית מעבודותיו נכתבו בשנים אלו - ביניהן מחקר בן 775 עמודים על תנועת הירח, ספר חשוב ללימוד אלגברה ודיון בחשבון אינטגרלי המשתרע על שלושה כרכים, שתוך כדי חיבורו המשיך אוילר לפרסם מאמר שבועי במתמטיקה בשבועון האקדמיה של סנט-פטרסבורג.

 

המדהים בכל אלה הוא שאוילר בקושי יכול היה לכתוב או לקרוא באותה תקופה – זמן קצר לאחר שחזר לסנט-פטרסבורג בשנת 1766 התחיל לאבד את מאור עיניו, ובשנת 1771 התעוור לחלוטין בעקבות ניתוח קטרקט כושל. אלפי דפים של משפטים מתמטיים הוכתבו מהזיכרון.

 

30 שנה קודם לכן, כשראייתו היתה עדיין ללא דופי, כתב אוילר מאמר קצר שהתייחס לבעיה משעשעת שמקורה בקניגסברג, עיר סמוכה למקום מגוריו בפטרסבורג. קניגסברג, עיר משגשגת במזרח פרוסיה, לא חשדה בראשית המאה ה-18 שהגורל מייעד לה את אחד הקרבות הקשים ביותר במלחמת העולם השנייה.

 

הדפסים מאותה תקופה מתארים עיר פורחת על גדות הנהר פּרגֶל. הנהר שקק אוניות עמוסות, ופעילות המסחר התוססת העניקה חיי רווחה לסוחרים ולבני משפחותיהם. הכלכלה האיתנה איפשרה לרשויות העיר לבנות מעל הנהר לא פחות משבעה גשרים; מרביתם חיברו את האי האלגנטי קנייפהוף, הכלוא בין שתי שלוחותיו של הפרגל, עם חלקיה האחרים של העיר. שני גשרים נוספים עברו מעל שתי השלוחות הנוספות של הנהר.

 

תושבי העיר, שנהנו מתקופת שלווה ושגשוג, נהנו לעסוק בשעשועי מחשבה, שאחד מהם היה "האם ניתן לעבור על כל שבעת הגשרים בלי לחצות אף אחד מהם פעמיים?" (וראו: ראובן כהן, דניאל בן-אברהם ושלמה הבלין – "רשתות – חלחול, נגיפים ואינטרנט", גליליאו 45) איש לא פתר את החידה עד שהוקם גשר חדש בשנת 1875.

 

הגשרים של קניגסברג. זוהי מפה של קניגסברג לפני 1875, עם האי קנייפהוף (A) והיבשה (D) הלכודים בין שתי שלוחותיו של הנהר פרגל. פתרון חידת קניגסברג פירושו מציאת מסלול סביב העיר, שבו אדם יוכל לחצות את כל הגשרים, כל אחד מהם פעם אחת בלבד.

 

בשנת 1736 יצר ליאונרד אוילר את תורת הגרפים כשהחליף כל אחד מארבעת שטחי האדמה בצמתים A עד D וכל אחד מהגשרים בקישורים a עד g, וקיבל גרף עם ארבעה צמתים ושבעה קישורים. אחר-כך הוכיח אוילר שבגרף של קניגסברג לא קיימת דרך שחוצה כל אחד מהגשרים פעם אחת בדיוק.

 

בשנת 1736, כ-150 שנה לפני הקמתו של הגשר החדש, ניסח אוילר הוכחה מתמטית חותכת שקובעת בבירור שלא ייתכן מסלול כזה עם שבעה גשרים. הפתרון של אוילר אינו פותר רק את הבעיה של קניגסברג. במאמרו הקצר הוא ייסד, בלי-משים, ענף חדש ונהדר במתמטיקה, הידוע כתורת הגרפים.

 

כיום, תורת הגרפים היא הבסיס לכל דרך החשיבה שלנו על רשתות. במאות השנים שחלפו מאז אוילר צמחה תורה זו והיתה לתחום בשל, ומתמטיקאים דגולים רבים תרמו לו. כדי לפתוח את הדלת לתחום הרשתות נסקור בקצרה את תהליך החשיבה שהוביל את אוילר להצגת הגרף הראשון.

 

1.

 

ההוכחה של אוילר היא פשוטה ואלגנטית, וגם מי שאיננו בעל הכשרה מתמטית יבין אותה בקלות. למרות זאת, לא ההוכחה היא שנכנסה להיסטוריה אלא שלב הביניים שנקט אוילר כדי לפתור את הבעיה. ההבנה החשובה של אוילר נובעת מהתבוננות בגשרים של קניגסברג כעל גרף - כאוסף של צמתים המחוברים ביניהם באמצעות קישורים.

 

לשם כך השתמש בצמתים כדי לייצג כל אחד מארבעת שטחי האדמה המופרדים זה מזה על-ידי הנהר וציין אותם באותיות A, B, C ו-D. אחר-כך כינה את הגשרים 'קישורים' וחיבר בקווים את חלקות האדמה המחוברות על-ידי גשר. כך קיבל גרף שהצמתים שלו הם חלקות אדמה והקישורים הם גשרים.

 

ההוכחה של אוילר שבקניגסברג אין מסלול שחוצה את כל שבעת הגשרים פעם אחת בלבד התבססה על הבחנה פשוטה: צמתים בעלי מספר קישורים אי-זוגי חייבים להיות אך ורק בתחילת המסלול או בסופו. למסלול רצוף שעובר על כל הגשרים יכולה להיות רק נקודת התחלה אחת ונקודת סיום אחת. לכן לא ייתכן מסלול כזה בגרף שבו ליותר משני צמתים יש מספר קישורים אי-זוגי. מאחר שבגרף של קניגסברג יש ארבעה צמתים כאלה, לא ניתן למצוא בו את המסלול הרצוי.

 

למטרתנו, ההיבט החשוב ביותר בהוכחה של אוילר הוא שקיומו של המסלול אינו תלוי ביכולתנו למצוא אותו. למעשה, זוהי אחת מתכונותיו של הגרף. במערך הנתון של גשרי קניגסברג, גם האנשים המבריקים ביותר לא יוכלו לעולם למצוא את המסלול המבוקש. בסופו של דבר הסכימו תושבי קניגסברג עם אוילר.

 

הם הפסיקו את החיפושים העקרים, ובשנת 1875 בנו גשר חדש בין הנקודות B ו-C והעלו בכך את מספר הקישורים של שני הצמתים הללו לארבעה. עכשיו נותרו רק שני צמתים (A ו-D) בעלי מספר אי-זוגי של קישורים. מעתה היה קל מאוד למצוא את המסלול הנדרש. ואולי הצורך ליצור את המסלול הזה היה הסיבה האמיתית להקמת הגשר החדש?

 

במחשבה לאחור, המסר של אוילר פשוט ביותר: לגרפים או לרשתות יש תכונות הטמונות בעצם המבנה שלהם, המגבילות או משפרות את היכולת לפעול איתם. במשך יותר ממאתיים שנה הגביל מערך הגרף של קניגסברג את יכולתם של תושבי העיר לפתור את שאלת בית-הקפה שלהם. השינוי במערך - הוספת קשר נוסף יחיד - סילק בבת-אחת את המגבלה הזאת.

 

התוצאה של אוילר מסמלת בדרכים רבות מסר חשוב של הספר הזה: המבנה של גרפים או רשתות הוא המפתח להבנת העולם המורכב שסביבנו. שינויים קטנים בטופולוגיה, המשפיעים רק על אחדים מהצמתים או מהקישורים, עשויים לפתוח דלתות נסתרות ולאפשר תוצאות חדשות.

 

תורת הגרפים פרחה אחרי אוילר בזכות תרומותיהם של ענקי מתמטיקה כמו קושי (Cauchy), הַמילטוֹן (Hamilton), קֵיילִי (Cayley), קִירכהוֹף (Kirchhoff) ופּוליָה (Pólya). הם חשפו כמעט את כל מה שידוע לנו על גרפים גדולים אבל מאורגנים, כמו השׁריג (lattice) הנוצר על-ידי אטומים בגביש או השׁריג המשושה שיוצרות הדבורים בכוורת.

 

עד אמצע המאה ה-20 היה לתורת הגרפים תפקיד פשוט: היא היתה אמורה לגלות ולקטלג את תכונותיהם של הגרפים השונים. בין הבעיות המפורסמות היו מציאת דרך לצאת ממבוך, שנפתרה בשנת 1873, או תכנון סדרת צעדים עם הפרש על לוח שחמט, כך שיבקר פעם אחת בלבד בכל אחת מהמשבצות בלוח ויחזור לנקודת ההתחלה. אחדות מהבעיות הקשות יותר לא נפתרו במשך מאות שנים.

 

מאתיים שנה חלפו מאז פירסם אוילר את עבודתו מלאת ההשראה ועד שהמתמטיקאים עברו מחקירת תכונותיהם של גרפים שונים לשאלה התמציתית כיצד נוצרו הגרפים, או בניסוח המקובל יותר - הרשתות. ואומנם, כיצד נוצרות רשתות הקיימות במציאות? מהם החוקים הקובעים את צורתן ואת המבנה שלהן? שאלות אלו והתשובה הראשונה להן לא היו בנמצא עד שנות ה-50 של המאה ה-20, ואז שני מתמטיקאים הונגרים חוללו מהפכה בתורת הגרפים.

 

2.

 

יום אחד בשעות אחר-הצהריים בסוף שנות ה-20 של המאה ה-20 דהר לו נער כבן שבע-עשרה בעליצות מוזרה ברחובות בודפשט, ועצר בחזיתה של חנות נעליים מהודרת שמכרה נעליים המיוצרות לפי מידה. רגליו המשונות, שאין ספק ששום נעליים רגילות לא היו מתאימות להן, היו בוודאי זקוקות לסנדלר, אבל הסיבה לביקור לא היתה נעליים חדשות. אחרי שהקיש על דלת החנות - פעולה שנחשבה אז מוזרה לא פחות מאשר היום - נכנס, תוך התעלמות מהמוכרת שעמדה ליד הדלפק, וניגש אל ילד בן ארבע-עשרה שהיה בירכתי החנות.

 

"תן לי מספר בן ארבע ספרות," אמר.

"2,532" השיב הילד ונעץ את עיניו הגדולות ביצור המוזר. הנער המבוגר יותר לא איפשר לו לנעוץ בו מבט ממושך מדי.

"הריבוע שלו הוא 6,441,024" המשיך, "אני מצטער, אבל אני מזדקן ולא אוכל לומר לך מהו המספר בחזקת שלוש. כמה הוכחות למשפט פיתגורס אתה מכיר?"

"אחת," השיב הילד.

"אני מכיר שלושים ושבע," המשיך בנשימה אחת, "האם ידעת שמספר הנקודות על קו ישר איננו קבוצה בת-מנייה?" לאחר שהראה לילד החריף את ההוכחה של קַנטוֹר, סיים את ענייניו בחנות הנעליים. הוא אמר: "אני חייב לרוץ," וכך עשה - סבב על עקביו ויצא מהחנות בריצה.

 

פול אֶרדֶש (Erdös) המשיך לרוץ והיה לגאון הגדול והחריג המפורסם ביותר במאה ה-20. הוא כתב יותר מ-1,500 מאמרים מתמטיים עד מותו בשנת 1996. התפוקה שלו, שלא היתה כדוגמתה מאז אוילר, כוללת שמונה מאמרים שפירסם יחד עם מתמטיקאי הונגרי אחר, אלפרד רֶניִי (Alfréd Rény).

 

שמונה המאמרים עסקו, לראשונה בהיסטוריה, בשאלה הבסיסית ביותר המתייחסת להבנתנו את העולם המקושר שלנו: כיצד פועלות רשתות? הפתרון שלהם הניח את היסודות לתורת הרשתות האקראיות. התורה האלגנטית הזאת קבעה את אופן החשיבה שלנו בנושא הרשתות בצורה כל-כך מעמיקה, שאנחנו עדיין נאבקים להשתחרר מאחיזתה.

 

3.

 

אַרגנו מסיבה למאה אורחים, שכל אחד מהם נבחר והוזמן מפני שאינו מכיר ולוּ אדם אחד מהמוזמנים האחרים. הַציעו לקבוצת הזרים הללו יין וגבינות ומייד הם יתחילו לשוחח, מפני שהרצון הטבוע בבני-האדם להיפגש ולהכיר זה את זה מקרב בין אנשים. בתוך זמן קצר תוכלו לראות 40-30 קבוצות בנות שניים-שלושה חברים.

 

עכשיו סַפּרו לאחד האורחים שהיין האדום בבקבוקים הירוקים כהים חסרי-התווית הוא יין פורט נדיר בן 20 שנה מבציר משובח, טוב בהרבה מהיין בבקבוקים בעלי התווית האדומה - אבל בַּקשו ממנו לחלוק את המידע הזה רק עם הידידים החדשים שהכיר זה עתה. אתם משוכנעים שהיין היקר שלכם בטוח למדי, מפני שהחבר שלכם הספיק להכיר רק שניים-שלושה אנשים בחדר; אולם תוך זמן קצר האורחים ישתעממו מהשיחה הממושכת עם אדם אחד בלבד ויצטרפו לקבוצות אחרות.

 

צופה מן הצד לא יבחין בשום דבר מיוחד, אולם ייווצרו קשרים חברתיים סמויים בין אנשים שנפגשו קודם ושייכים עכשיו לקבוצות חדשות. כתוצאה מכך, שבילים עדינים מתחילים לחבר בין אנשים שהם עדיין זרים זה לזה. לדוגמה: ג'ון עדיין לא פגש את מרי, אבל שניהם פגשו את מייק, ולכן קיים שביל המחבר את ג'ון עם מרי דרך מייק.

 

אם ג'ון ידע על היין, יש סיכוי שגם מרי תדע זאת, מפני ששמעה על כך מפי מייק, ששמע מג'ון. ככל שחולף הזמן, האורחים יהיו קשורים זה לזה יותר ויותר בקישורים לא-מוחשיים אלה, ותיווצר רשת דקיקה של היכרויות הכוללת חלק גדול מהמוזמנים. היין היקר נתון בסכנה הולכת וגדלה, מאחר שזהותו מועברת מקבוצה קטנה של יודעי-סוד אל יותר ויותר קבוצות של אנשים המשוחחים ביניהם.

 

במסיבה עם עשרה אורחים, שאיש מהם איננו מכיר אפילו אחד מהמוזמנים האחרים, נוצרים קשרים חברתיים לאחר שהאורחים מתחילים לשוחח ביניהם בקבוצות קטנות. בהתחלה הקבוצות מנותקות זו מזו, אף שקיימים קשרים חברתיים בין האנשים בתוך כל אחת מהקבוצות, כל האנשים שמחוץ לקבוצה עדיין זרים לחלוטין זה לזה.

 

כעבור זמן-מה, שלושה אורחים עוברים לקבוצות אחרות, ונוצר צָביר ענקי. אמנם לא כולם מכירים את כולם, אבל עכשיו קיימת רשת חברתית יחידה הכוללת את כל האורחים. אם עוקבים אחרי הקשרים החברתיים, ניתן עכשיו למצוא מסלול בין כל שני אורחים.

בהנחה שכל אחד מהאורחים מעביר את המידע לכל המכרים החדשים שלו, האם יגיע שמעו של יין הפורט הנדיר לאוזניהם של כל האורחים עד סוף המסיבה?

 

אין ספק, שאם כולם יכירו את כולם, הכול ימזגו את היין היקר מהבקבוק חסר-התווית; אבל, גם אם כל מפגש נמשך עשר דקות בלבד, יידרשו 16 שעות כדי שכל אחד מהאורחים יפגוש את 99 האורחים האחרים. מסיבות אינן נמשכות זמן כה רב, ולכן מבחינת הגיונית אתם יכולים לגלות בביטחון רב את זהותו של היין המשובח לחבר שלכם ולקוות שבסוף המסיבה ייוותר יין בבקבוק.

 

פול ארדש ואלפרד רניי טוענים אחרת. "מתמטיקאי הוא מכונה ההופכת קפה למשפט מתמטי" נהג ארדש לומר, בצטטו את רניי. ספל קפה אחד, בר-מזל במיוחד, נהפך למשפט מצוטט מאוד: אם כל אחד מהאורחים מתוודע לאורח אחד בלבד, אזי בתוך זמן קצר כולם ישתו את יין הפורט היקר. לפי ארדש ורניי, יעברו 30 דקות בלבד עד שתיווצר רשת חברתית סמויה יחידה שתכלול את כל האורחים בחדר. דקות ספורות לאחר שתישמע את ההמלצה על היין, תמצא את עצמך מנסה למזוג יין מהבקבוק הריק לכוסך הממתינה.

 

4.

 

האורחים שפגשנו במסיבת הקוקטייל הם חלק מבעיה בתורת הגרפים, הענף המתמטי שאליו סלל אוילר את הדרך. האורחים הם הצמתים, וכל מפגש יוצר קשר חברתי ביניהם. לכן נוצרת רשת של היכרויות - גרף - קבוצה של צמתים המחוברים ביניהם באמצעות קישורים.

 

מחשבים המקושרים ביניהם באמצעות קווי-טלפון, מולקולות בגופנו המקושרות על-ידי ריאקציות ביוכימיות, חברות ולקוחות המקושרים באמצעות מסחר, תאי-עצב המקושרים באמצעות סיבוני-עצב (אקסונים), איים המחוברים בגשרים - כולם דוגמאות לגרפים. יהיו אשר יהיו זהותם וטבעם של הצמתים, בעיני המתמטיקאי כולם אינם אלא חיה אחת: גרף או רשת.

 

למרות האלגנטיות של הגרף, פישוט כל הרשתות לגרפים מציב אתגרים קשים ביותר. בעוד שניתן להציג את החברה, האינטרנט, התא או המוח באמצעות גרפים, כל אחד מהם שונה באופן מובהק מהאחרים. קשה לתאר דמיון רב בין החברה האנושית, שבה אנחנו מתיידדים באמצעות שילוב של מפגשים אקראיים והחלטות מודעות, לבין התא, שבו החוקים הבלתי-מתפשרים של הכימיה והפיזיקה שולטים בכל התהליכים בין המולקולות.

 

אין ספק שקיים הבדל ברור בין החוקים הקובעים את הסדרת הקישורים ברשתות השונות שאנו נתקלים בהן בטבע. מציאת מודל שיתאר את כל המערכות השונות הללו היא - כך נראה ממבט ראשון - אתגר שלא ניתן להתגבר עליו.

 

אולם, מטרתם הסופית של כל המדענים היא למצוא את ההסבר הפשוט ביותר לכל תופעה סבוכה. ארדש ורניי לקחו על עצמם את האתגר והציעו תשובה מתמטית אלגנטית המתארת את כל הגרפים המסובכים במסגרת אחת. מאחר שמערכות שונות מתנהגות על-פי חוקים שונים בתכלית כשהן בונות את הרשתות שלהן, התעלמו ארדש ורניי במכוּון מההבדלים הללו והציגו את הפתרון הפשוט ביותר שהטבע מסוגל להתנהג לפיו - חיבור הצמתים באופן אקראי.

 

הם החליטו שהדרך הפשוטה ביותר ליצירת רשת היא הטלת קוביות: בוחרים שני צמתים ומטילים קובייה. אם מקבלים שש יוצרים ביניהם קישור; בכל תוצאה אחרת של הקובייה לא יוצרים קישור ביניהם, אלא בוחרים זוג אחר של צמתים ומתחילים את התהליך מחדש. כלומר: ארדש ורניי ראו את הגרפים ואת העולם שהם מייצגים כאקראיים לחלוטין.

 

"קיים ויכוח ישן," אהב ארדש לומר, "בשאלה אם אתה יוצר את המתמטיקה או רק מגלה אותה. במילים אחרות: האם האמיתות קיימות, גם אם איננו יודעים אותן עדיין?" לארדש היתה תשובה ברורה לשאלה זו: אמיתות מתמטיות קיימות יחד עם שורה של אמיתות מוחלטות אחרות, ואנחנו רק מגלים אותן מחדש. תורת הגרפים האקראיים - כה אלגנטית ופשוטה - היתה בעיניו חלק מהאמיתות הנצחיות.

 

כיום אנחנו יודעים שרשתות אקראיות מילאו תפקיד מזערי בלבד בהרכבת היקום שלנו; במקומן השתמש הטבע בכמה חוקים בסיסיים. ארדש עצמו יצר מתמטיקה חדשה והתבוננות חלופית על העולם באמצעות פיתוח תורת הגרפים האקראיים. ארדש, שלא הכיר מקרוב את חוקי יצירת המוח והחברה , הסתכן והניח שאלוהים נהנה לשחק בקוביות. ידידו אלברט איינשטיין, בפרינסטון, היה משוכנע בהפך הגמור: "אלוהים איננו משחק בקוביות עם היקום" טען.

 

5.

 

נחזור למסיבה שלנו ולתרגיל בתורת הגרפים האקראיים. מתחילים במספר גדול יותר של צמתים מבודדים. אחר-כך מוסיפים באופן אקראי קישורים בין הצמתים, באותו אופן שבו נוצרו קישורים בין האורחים. אם מוסיפים כמה קישורים בודדים, התוצאה היחידה תהיה שאחדים מהצמתים ייצרו ביניהם זוגות.

 

אם תמשיכו להוסיף קישורים תחברו בוודאי חלק מהזוגות הללו זה לזה, ותיצרו בכך צבירים של כמה צמתים. אלא, שכאשר תוסיפו די קישורים כך שלכל אחד מהצמתים יהיה בממוצע קישור אחד, יתרחש נס: ייווצר צבִיר (cluster) ענקי יחיד במינו. משמעות הדבר היא שמרבית הצמתים יהיו חלק מצביר ענקי, כך שאם נתחיל בצומת כלשהו נוכל להגיע אל כל אחד מהצמתים האחרים באמצעות מסלול העובר לאורך הקישורים בין הצמתים.

 

זה הרגע שבו היין היקר שלכם נתון בסכנה, מפני שהשמועה תגיע לאוזני כל מי שמשתייך לצביר הענקי. מתמטיקאים מכנים את התופעה הזאת בשם הופעת צביר ענקי, כזה הכולל חלק גדול מכלל הצמתים. פיזיקאים מכנים אותה חלחול (percolation), ויאמרו לכם שזה עתה חזיתם בשינוי מצב צבירה, בדומה לרגע שבו המים קופאים והופכים לקרח. סוציולוגים היו אומרים לכם שהפריטים שלכם יצרו קהילה.

 

למרות שדיסציפלינות שונות משתמשות במינוחים שונים, כולן מסכימות שכאשר אנחנו בוחרים באופן אקראי זוגות של צמתים ברשת ומקשרים ביניהם, מתרחש משהו מיוחד: הרשת, לאחר שהעניקו לה מספר קריטי של קישורים, משתנה באופן דרסטי. לפני כן יש לנו קבוצת צבירים מנותקים של צמתים, קבוצות נפרדות של אנשים המתקשרים ביניהם רק בתוך הצבירים; אחרי כן יש לנו צביר ענקי שכמעט כולם שייכים אליו.

 

6.

 

כל אחד מאיתנו שייך לצביר גדול - הרשת החברתית העולמית - ואף אחד איננו נותר מחוצה לה. איננו מכירים את כל תושבי כדור-הארץ, אבל מובטח לנו שקיים מסלול בין כל שניים מאיתנו ברשת זו של בני-אדם. באותו אופן קיים שביל בין כל שני נוירונים במוחנו, בין כל שתי חברות בעולם, בין כל שני כימיקלים בגופנו. שום דבר אינו נותר מחוץ לרשת החיים הזאת, עתירת הקישורים. פול אֶרדָש ואלפרד רֶניִי הסבירו לנו מדוע: דרוש בממוצע רק קישור אחד לכל צומת כדי שנישאר מחוברים.

 

מכר אחד לאדם, קישור אחד לפחות לכל נוירון במוח, היכולת להשתתף לפחות בריאקציה אחת לכל כימיקל בגופנו, מסחר עם לפחות חברה אחת בעולם העסקים. אחד הוא הסף. אם לצמתים יש פחות מקישור אחד בממוצע, אזי הרשת שלנו מתפרקת לצבירים שאינם מחוברים ביניהם. אם יש יותר מקישור אחד בממוצע לצומת, הסכנה לכך כמעט אפסית.

 

הטבע עובר שוב ושוב ובהפרזה את המינימום של קישור אחד. סוציולוגים מעריכים שאנחנו מכירים בין 200 ל-5,000 בני-אדם. נוירון מחובר לעשרות נוירונים אחרים, ויש כאלה המחוברים לאלפים. כמעט כל גוף עסקי קשור באופן בלתי-נמנע לעשרות או מאות ספקים ולקוחות, ולאחדות מהחברות הגדולות ביותר יש קישורים עם מיליונים. מרבית המולקולות בגופנו משתתפות ביותר מריאקציה אחת, וחלק מהן, דוגמת המים, משתתפות במאות ריאקציות.

 

לכן, רשתות הקיימות במציאות הן לא רק מחוברות, אלא עוברות בהרבה את הסף של קישור אחד. תורת הגרפים האקראיים אומרת לנו שככל שמספרם הממוצע של קישורים לצומת גדל ומגיע מעבר למספר הקריטי, הולך וקטן באופן אקספוננציאלי מספרם של הצמתים שאינם מקושרים, כלומר: ככל שנוסיף יותר קישורים כך יקשה למצוא צומת שנותר מבודד. הטבע איננו מסתכן בכך שיישאר קרוב לסף; הוא מעדיף לעבור אותו. כתוצאה מכך הרשתות שסביבנו אינן רק רשתות.

 

הן רשתות צפופות מאוד ששום דבר לא יוכל להימלט מהן, ובתוכן ניתן להגיע אל כל אחד מהצמתים. זו הסיבה שלא קיימים איים של בני-אדם המבודדים לחלוטין מהחברה ושכל המולקולות בגופנו ארוגות לתוך מפה סבוכה אחת של תהליכים . זו הסיבה לכך שהמסר של השליח פאולוס הגיע לאנשים שהוא לא פגש מעולם: באמצעות הקישורים השפיעו פעולותיו על מיליונים.

 

7.

 

הגילוי של ארדש ורניי על אותו רגע מיוחד שבו נוצר צביר ענקי באמצעות מעבר פאזה או חלחול היה אירוע ענקי בתורת הגרפים, אבל לא מפני שהיתה בו התחזית הלא-תיאמן שדרוש רק מכר אחד כדי ליצור חברה. לא; חשיבותו טמונה בכך שלפני ארדש ורניי, תורת הגרפים לא עסקה במסיבות קוקטייל, ברשתות חברתיות או בגרפים אקראיים. היא התמקדה כמעט אך ורק בגרפים רגילים, שאין כל חוסר בהירות במבנה שלהם.

 

אבל כשמדובר במערכות מורכבות כמו האינטרנט או התא, גרפים רגילים הם היוצאים מהכלל ולא הנורמה. ארדיש ורניי אישרו לראשונה שגרפים הקיימים במציאות, החל ברשתות חברתיות וכלה בקווי-טלפון, אינם נחמדים ופשוטים; הם מורכבים עד ייאוש. השניים, שנבהלו מהמורכבות שלהם, שיערו שהרשתות הללו הן אקראיות.

 

בדיעבד, אין זה מפתיע שזוג המתמטיקאים המוזר היה זה שהפך על פיו תחום מכובד במתמטיקה בכך שהזריק לו אקראיות. סיכויים ואקראיות היו חלק נכבד בחייהם. למרות שרניי היה צעיר בשבע שנים מארדש, הם הכירו זה את זה הודות לידידות ששררה בין הוריהם עוד בבודפשט. לפני שהתחילו לעבוד יחד, אחרי שנפגשו שוב באמסטרדם בשנת 1948, עברו שניהם תקופות סוערות.

 

בגלל חוקי הנומרוס קלאוזוס, שהגבילו את מספרם של היהודים שהתקבלו לאוניברסיטאות, נאלץ רניי לעבוד במספנה אחרי שסיים את בית-הספר התיכון. לאחר שזכה בתחרות במתמטיקה וביוונית אפשרו לו להיכנס לאוניברסיטה בשנת 1939. זמן קצר לאחר שסיים את לימודי המתמטיקה גויס רניי לעבודת-פרך, שממנה הצליח להימלט בדרך-לא-דרך.

 

ארדש ועמיתיו, שהיו מודעים לפעולות ההתנגדות של רניי במלחמה, העריצו וכיבדו אותו. רניי הנועז לבש מדים של הפשיסטים הגרמנים, נילש (Nylas), כדי לסייע לחבריו להימלט ממחנות הריכוז. על-פי אחד הסיפורים נכנס רניי לגטו לבוש כחייל נילש, והצליח ללוות את הוריו אל מחוץ לגטו. כמו כן, הוא התגורר במשך שנים בבודפשט, שהיתה תחת הכיבוש הנאצי, בזכות מסמכים מזויפים.

 

רק מי שהיו מודעים למציאות של הטרור הנאצי יכלו להעריך את האומץ הרב שנדרש לפעולות אלה. אין זה מפתיע שעד סוף המלחמה היתה יכולתו של רניי להתמקד במתמטיקה מוגבלת מאוד. בשנת 1946 נסע ללנינגרד כדי להמשיך את לימודיו, ושם פרצה היצירתיות הרבה שלו.

 

לא רק שהוא למד וספג את תורת המספרים בזמן שיא, למרות ידיעתו המועטה ברוסית, אלא הוא אף הוכיח כמה משפטים בסיסיים באחת הבעיות המפורסמות והקשות ביותר בתורת המספרים - השערת גוֹלדבָּך. לכן, כאשר פגש את ארדש כעבור שנתיים באמסטרדם, הוא כבר לא היה המתמטיקאי הצעיר השאפתני, ידיד המשפחה, אלא מדען מפורסם ובעל-שם עולמי.

 

ארדש כבר פיתח אז את אורח-החיים של מתמטיקאי נוסע, שנהפך לסימן-ההיכר שלו. הוא נהג להופיע בפתח בתיהם של עמיתיו ולהכריז "המוח שלי פתוח" - הזמנה להצטרף אליו במרדף ללא ליאות אחרי האמת המתמטית. הצעת העבודה הקבועה היחידה שקיבל היתה מהאוניברסיטה של נוטרדאם בסאות בנד, אינדיאנה. ארנולד רוֹס, שהיה באותה תקופה ראש המחלקה למתמטיקה, הציע לארדש משרה של פרופסור-אורח בתנאים נדיבים מאוד: הוא רשאי היה לצאת ולבוא כרצונו, מאחר שהיה לו אסיסטנט שהיה מעביר את ההרצאות מן המקום שבו הפסיק.

 

נוטרדאם, מכללה קתולית ליברלית, לא היתה באותם ימים מפורסמת, כפי שנעשתה כעבור כמה עשרות שנים. אלא שהיא הציעה לארדש סביבת עבודה שקטה ונוחה והזדמנות לדיונים רבים עם עמיתיו הכמרים, שארדש, עם השקפתו הייחודית על העולם והאלוהות, נהנה מהם במיוחד.

 

כשנשאל פעם על תקופת שהייתו שם, העיר באירוניה: "יש שם יותר מדי סימני 'חיבור'," כשהוא רומז לצלבים הרבים הפזורים ברחבי הקמפוס. כאשר נוטרדאם הציעה סוף-סוף לארדש לשנות את מעמדו למעמד-קבע, הוא סירב בנימוס: כנראה התקשה לוותר על אורח-חייו האקראי והבלתי-צפוי.

 

8.

 

הפגישה באמסטרדם בין ארדש ורניי היתה תחילתה של חברות קרובה מאוד ושל שיתוף-פעולה שהניב יותר מ-30 פרסומים משותפים עד מותו בטרם עת של רניי בשנת 1970, בגיל ארבעים ותשע. בין הפרסומים הללו היו שמונה מאמרים שהפכו לאגדה בנושא תורת הגרפים. הראשון, שפורסם יותר מעשר שנים אחרי הפגישה באמסטרדם, התייחס לראשונה לשאלות החשובות העוסקות בדרך שבה נוצרים הגרפים.

 

השימוש שעשו באקראיות כדי לטפל בבעיות של תורת הגרפים ברור במיוחד כשרואים כמה קישורים יש לצמתים בגרף או ברשת. גרפים רגילים הם ייחודיים בכך שלכל צומת יש בדיוק אותו מספר קישורים; ואומנם, ברשת דו-ממדית של קווים מאונכים היוצרים שׁריג ריבועי יש לכל צומת בדיוק ארבעה קישורים, וברשת של משושים - כמו בחלת דבש - כל צומת מחובר בדיוק לשלושה צמתים אחרים.

 

סדירות כזו אינה קיימת כלל בגרפים אקראיים. הנחת היסוד של מודל הרשתות האקראיות דוגלת בשוויוניות: אנחנו מציבים את הקישורים באופן אקראי לחלוטין, ולכן לכל אחד מהצמתים יש סיכויים שווים לקבל קישור - בדיוק כמו בלאס וגאס, שבה כביכול לכל אחד מאיתנו יש אותם סיכויים לזכות בכל הקופה. אולם בסוף היום, רק מעטים מחברינו המהמרים חוזרים הביתה עשירים.

 

באותו אופן, אם נציב את הקישורים באופן אקראי בגרף, אחדים מהצמתים יקבלו יותר קישורים מאחרים. לאחדים מהם אפילו יהיה מזל רע, ובמשך זמן-מה הם לא יקבלו קישורים בכלל. העולם האקראי של ארדש ורניי עלול להיות לא-הוגן ונדיב בו-בזמן. הוא עלול להפוך אחדים לעניים ואחרים לעשירים, אולם תחזית מרחיקת-לכת של התיאוריה של ארדש ורניי מראה לנו שזה רק נראה כך. אם הרשת גדולה, אזי למרות ההצבה האקראית לחלוטין של הקישורים, כמעט לכל הצמתים יהיה בקירוב אותו מספר קישורים.

 

דרך אחת לבחון זאת היא לראיין את כל האורחים כשהם יוצאים מהמסיבה, ולשאול אותם כמה אנשים הכירו במהלכה. לאחר שכולם יילכו נוכל לבנות היסטוגרמה ובה נרשום לכמה מהאורחים יש אחד, שניים או בדיוק k מכרים חדשים. במודל הרשת האקראית של ארדש ורניי, צורתה של ההיסטוגרמה נבנתה והוכחה בשנת 1982 על-ידי אחד מתלמידיו של ארדש, בֶּלה בּוֹלוֹבּש (Béla Bolobás), פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת ממפיס בארצות-הברית ובטריניטי קולג' בבריטניה.

 

על-פי התוצאה, ההיסטוגרמה נובעת מהתפלגות פּואסונית, שיש לה תכונות ייחודיות. להתפלגות פּואסון יש שיא בולט, המראה כי לרוב הגדול של הצמתים יש אותו מספר קישורים שיש לצומת הממוצע. משני צדי השיא ההתפלגות יורדת במהירות, כך שסטיות משמעותיות מהממוצע הן נדירות במיוחד.

 

אם נתרגם זאת בחזרה לחברה המונה שישה מיליארד בני-אדם, התפלגות פואסון מראה לנו שלמרביתנו בערך אותו מספר חברים ומכרים. היא צופה שיהא זה נדיר באופן אקספוננציאלי למצוא מישהו שחורג מהממוצע, בכך שיש לו הרבה יותר קשרים מאשר לאדם הממוצע.

 

משום כך, תורת הגרפים האקראיים צופה שאם נקצה קשרים חברתיים באופן אקראי, נקבל חברה דמוקרטית באופן קיצוני, שבה כולנו אנשים ממוצעים ורק אחדים חורגים מהנורמה והם חברותיים במיוחד או יצורים אנטי-חברתיים מובהקים. אנחנו מקבלים רשת בעלת מרקם אחיד ביותר, שבו הממוצע הוא הנורמה.

 

בעולמם האקראי של ארדש ורניי שולטים הממוצעים. הוא צופה שלמרבית האנשים יש פחות או יותר אותו מספר מכרים; שמרבית הנוירונים מקושרים לאותו מספר בקירוב של נוירונים אחרים; שמרבית החברות מקיימות קשרים עסקיים עם אותו מספר של חברות אחרות; שבמרבית אתרי האינטרנט מבקרים בקירוב אותו מספר גולשים. כאשר הטבע מפזר את הקישורים באופן אקראי, בטווח הארוך אין שום צומת הזוכה ליחס מועדף או שונה.

 

9.

 

תיאוריית הרשתות האקראיות של ארדש ורניי שלטה במחשבה המדעית על רשתות מאז שהוצגה בשנת 1959. היא יצרה כמה תבניות הטבועות באופן מודע או בלתי-מודע במוחו של כל מי שעוסק ברשתות; היא השוותה מורכבות לאקראיות. אם רשת היתה מסובכת מדי ולא ניתן להבין אותה במונחים פשוטים, קוראת לנו התורה הזאת לתאר אותה כאקראית. וכמובן - החברה, התא, רשתות תקשורת והכלכלה - כולם סבוכים דיים כדי שיעמדו בדרישות.

 

אתם עלולים לחשוב שיש משהו חשוד ביקום האקראי הזה, שבו כל הצמתים שווים. האם הייתי מסוגל לכתוב את הספר הזה אילו המולקולות בגופי היו מחליטות להגיב זו לזו בצורה אקראית? האם היו נוצרים אומות, מדינות, בתי-ספר, כנסיות וביטויים אחרים של הסדר החברתי אילו האנשים היו מגיבים זה לזה בצורה אקראית?

 

האם היתה לנו כלכלה אילו החברות היו בוחרות את לקוחותיהן באופן אקראי, ומחליפות את אנשי המכירות שלהן במיליוני קוביות? מרביתנו מרגישים שאיננו חיים בעולם אקראי כזה - שחייב להיות סדר כלשהו מאחורי המערכות המסובכות הללו.

 

מדוע, אם כן, בחרו שני מוחות מבריקים מאין כמוהם כמו ארדש ורניי לעצב את היווצרותן של הרשתות כתהליך אקראי לחלוטין? התשובה פשוטה: הם מעולם לא תיכננו ליצור תורה אוניברסלית של היווצרות רשתות. הם התעניינו הרבה יותר ביופיין המתמטי של רשתות אקראיות, מאשר ביכולתו של המודל להעתיק במדויק את טבען של הרשתות הנוצרות סביבם.

 

ואומנם, במאמרם רב-ההשפעה משנת 1959 הם אכן ציינו כי "אפשר לראות את התפתחות הגרפים כמודל פשוט יותר של ההתפתחות של רשתות תקשורת מסוימות (מערכות פסי-רכבת, כבישים או מערכות של רשתות אלקטרוניות וכו')." למרות הגיחה הקצרה הזו לעולם האמיתי, הגורם שהניע את עבודתם בתחום זה היה סקרנות עמוקה למעמקיה המתמטיים של הבעיה - ולא להשפעותיה המעשיות.

 

ארדש היה הראשון להסכים איתנו שלרשתות הקיימות במציאות חייבים להיות עקרונות ארגוניים המבחינים בינן לבין מודל הרשתות האקראיות שהציגו בשנת 1959, אבל מבחינתו זה לא היה שייך לעניין. בשימוש בהנחת האקראיות הוא פתח חלון לעולם חדש, שיופיו המתמטי והעקיבות שלו היו הכוח המניע העיקרי מאחורי העבודה על תורת הגרפים שבאה בעקבותיה.

 

עד לא מזמן לא היתה לנו כל דרך אחרת כדי לתאר את היקום שלנו, עתיר-הקישורים. כך קרה שרשתות אקראיות שולטות במושגים שלנו על צורתן של רשתות. רשתות מורכבות של ממש נחשבות לנדירות.

 

ארדש מחזיק בשיא של מי שידע להציג שאלות טובות ודאג לכך שמישהו אחר יפתור אותן. אף-על-פי שמעולם לא היו לו יותר מכמה בגדים שאותם הכניס למזוודת עור קטנה שליוותה אותו תמיד, לעיתים קרובות הוא הציע פרסים כספיים תמורת פתרונות או הוכחות לבעיות שעניינו אותו - חמישה דולר לבעיה שנחשבה בעיניו פשוטה, 500 דולר לשאלה קשה במיוחד.

 

הוא שמח לשלם כשהבעיה נפתרה, בלי להתחשב בכך שלפעמים בעיה של דולר אחד התגלתה כבעיה של יותר מ-500 דולר. המתמטיקאים בני-המזל שזכו בפרסים לא פדו מעולם את ההמחאות שלו; רובם מסגרו אותן. הפרס היווה הכרה ייחודית של הגאון הגדול ביותר של המאה, ושום סכום כספי לא היה יכול להשתוות לשווייו הרוחני.

 

נבחן את הדוגמה של ארדש ונשאל שאלה שהותיר בלתי-פתורה. איך נראות רשתות הקיימות במציאות? הצגת השאלה בצורה כל-כך מרושלת לא היתה מספקת אותו; זו שאלה רחבה מדי. ייתכן אף שאין לה תשובה יחידה, וקרוב לוודאי שלעולם לא נוכל להציג לה תשובה חד-משמעית. משום כך, זו אינה יכולה להיות שאלה מתוך הספר האינסופי, המאגר האולטימטיבי בעולמו של ארדש, הכולל את כל ההוכחות והמשפטים המתמטיים בעולם.

 

למרות שהשאלה לא היתה זוכה לאישורו של ארדש, היא חוללה מהפך מחוץ לעולם המתמטיקה.