האם אתה צאצא של רש"י?

אם עוצרים לחשב את ההסתברות, אז קיים סיכוי גדול שכל אחד מאיתנו הוא צאצא של יהודי מפורסם, וגם שכל אחד נשם מולקולת אוויר אותה נשם יוליוס קיסר בנשימתו האחרונה. חישובים שיפתחו לכם את הראש

לא מזמן השתתפנו באירוע חגיגי שבו התקבצו מאות אנשים, כולם צאצאים של אותו סבא של סבא של סבא – או במילים פשוטות, צאצאי הדור השישי לזוג מתיישבים מראשוני פתח-תקווה. אחד המשתתפים הציג לבני המשפחה מחקר מקיף שעשה, שגולת הכותרת שלו הייתה כי כל בני המשפחה הם צאצאים של הפרשן המפורסם בן המאה ה-11 רבי שלמה יצחקי (רש"י). אותו משתתף אף הציג את אילן היוחסין הפתלתול המוביל מרש"י ועד לימינו אנו. נרגשים וגאים התחלנו לספר למכרים על התגלית המפתיעה עד שמתמטיקאי אחד, ששמע על כך, הפטיר לעברנו: "זו לא חכמה בכלל! למעשה, כמעט כל יהודי שחי היום הוא צאצא של רש"י!"

 

הבה נחשוב על זה רגע...

הרי כל אחד מאִתנו נולד לזוג הורים, ולכל הורה זוג הורים משלו שגם להם היה זוג הורים...זאת אומרת שלכל אחד יש שני הורים, ארבעה סבים וסבתות, שמונה הורי סבים, 16 סבי סבים וכן הלאה. אם נניח שרש"י חי לפני כ-40 דורות, הרי שמספר האבות הקדמונים של כל אחד מאיתנו בדור זה הוא: 240 שזה שווה ל: 1,099,511,627,776 אבות קדמונים, שהסיכוי שאחד מהם הוא רש"י גדול מאוד!

 

אבל רגע, אתם בוודאי אומרים לעצמכם – הרי אוכלוסיית העולם במאה ה-11 מוערך רק בכ- 300,000,000 אנשים בסך הכל, ואילו מספר היהודים שחיו אז לא עלה על מיליון, אז איך יכול להיות שמספר האבות הקדמונים של כל אחד מאיתנו היה גדול בהרבה מאוכלוסיית העולם?

 

התשובה היא כמובן שהחישוב אינו מדויק, שהרי זוגות רבים בעץ המשפחה אינם זרים זה לזה. למשל, אם שני בני דודים ראשונים התחתנו ביניהם, הרי שיש להם סבים משותפים ולבן שלהם יהיו שישה סבא-רבא במקום שמונה. אם נניח שבכל דור התחתנו ביניהם זוג אחד של בני דודים, הדבר לא ישנה משמעותית את מספר האבות הקדמונים בדור ה-40, שיקטן בסך הכל במעט יותר ממחצית. אפילו אם נניח שבכל דור מחצית מהזוגות הם בני דודים ראשונים, עדיין צריכה הייתה האוכלוסייה בדור ה-40 למנות יותר מ-2 מיליארד בני אדם!

 

אך גם אם לוקחים בחשבון נישואים רבים של בני דודים ראשונים, שניים או שלישיים, עדיין יש סבירות גבוהה שאנחנו צאצאים של רש"י. רבים הם החישובים המתמטיים שמזמנים לנו תוצאות מפתיעות כמו זו שראינו. דוגמה נוספת היא חישוב ההסתברות ששני ילדים בכיתה אחת חולקים אותו יום הולדת. מתברר, שבכיתה של 40 ילדים ההסתברות דווקא גבוהה מאוד! כדי להוכיח זאת, נתאר את המצב הבא:

 

נניח שילדים נכנסים לחדר אחד אחרי השני ואנו רוצים לדעת מה הסיכוי שלילד שנכנס אין יום הולדת באותו יום כמו אחד הילדים שנמצאים בחדר. הסיכוי שלילד הראשון שנכנס לחדר ריק יש יום הולדת חדש הוא 100% (ברור שיש לו יום הולדת כלשהו...)

 

הסיכוי שלילד השני שנכנס לחדר יש יום הולדת "חדש" (כלומר שאינו זהה ליום ההולדת של הילד שנמצא בחדר) הוא סיכוי של 364 ל- 365 (364/365) כי נותרו 364 ימים "פנויים" בשנה (כלומר ימים שבהם אין למישהו בחדר יום הולדת). במילים אחרות, סביר מאוד להניח שלילד השני יש יום הולדת שאינו יום ההולדת של הילד הראשון. כעת נכנס הילד השלישי לחדר. הסיכוי שלילד זה יש יום הולדת, שאינו אחד מימי ההולדת של שני חבריו, הוא 363/365 וכך הלאה.

 

אחרי שעשרה ילדים נכנסו לחדר נעצור רגע, ונשאל את השאלה הבאה לגבי כל העשרה: מה הסיכוי שלכל עשרת הילדים שבחדר יש ימי הולדת שונים, כלומר - מה הסיכוי שגם לילד הראשון וגם לילד השני וגם לילד השלישי וכו' יש ימי הולדת שונים? במקרה זה, יש להכפיל את ההסתברויות של כל אחד מהילדים, כך שהתשובה המתקבלת היא:

 

364/365 כפול 363/365 כפול  362/365 כפול 361/365 כפול  360/365 כפול  359/365 כפול  358/365 כפול 357/365 כפול 356/365 = 0.8830518

 

במקרה כזה, הסיכוי ההפוך – כלומר, הסיכוי שיש לפחות שני ילדים שחולקים אותו יום הולדת - הוא "אחד פחות הסיכוי שיש לעשרת הילדים ימי הולדת שונים": 0.1169482 =0.8830518 – 1. זה אומר שקיים סיכוי של יותר מ 1 ל- 9 שיש לפחות שני ילדים בכיתה עם אותו יום הולדת. באותו אופן ניתן לחשב ולמצוא שבחדר שבו 23 ילדים יש סיכוי של מעל 50% ששני ילדים לפחות חולקים אותו יום הולדת, ובחדר שבו 40 ילדים הסיכוי הוא כבר 90%!

 

המתמטיקאי ג'ון אלן פאולוס (Paulos) משתמש בטיעון דומה בספרו Innumeracy כדי להוכיח שיש סיכוי של למעלה מ-98% שכל אחד מאיתנו זכה לנשום מולקולה אחת של אוויר שאותו נשם יוליוס קיסר בנשימתו האחרונה! טיעון זה נכון כמובן גם לגבי אישים אחרים, כמו לגבי נשימתו האחרונה של אליהו הנביא לפני שעלה בסערה השמיימה...

 

נחזור לרש"י. חישוב מדויק של מספר האבות הקדמונים שיש לאדם הוא חישוב מורכב בגלל הקושי להעריך את אחוז בני הדודים שהתחתנו. ישנם מספר מודלים שונים לחישוב שכזה, כך שתשובה מדויקת לשאלה האם אנו אכן צאצאיו של רש"י אינה אפשרית. על דבר אחד אין כנראה מחלוקת - כולנו צאצאים של אדם הראשון...

 

המאמר המלא התפרסם בגיליון ינואר של המגזין "גיליאו וחידושים"