אשל התחנך בישיבה התיכונית אור עציון ואת שירותו הצבאי עשה בנח"ל. הוא החל לעסוק בלימודי ארץ ישראל כשהדריך בבית הספר שדה עופרה, ישוב שהיה ממייסדיו. מאוחר יותר למד ארכיאולוגיה והיסטוריה של עם ישראל באוניברסיטה העברית בירושלים. עבודת הדוקטורט שלו עסקה בשומרונים בתקופות הפרסית וההלניסטית.
את דרכו הארכיאולוגית החל אשל בחפירות במערות כתף יריחו בהן גילה מכתבים מימי הבית השני. בהמשך ניהל את החפירות בחורבת יתיר ובשנים האחרונות ניהל מספר חפירות בקומראן ובמערות מדבר יהודה. בין השנים 2002-2004 עמד בראש המחלקה ללימודי ארץ ישראל וארכיאולוגיה באוניברסיטת בר-אילן.
במהלך שנות עבודתו פרסם אשל למעלה מ-200 מאמרים וכמה ספרים, ביניהם: "מערות המפלט מתקופת מרד בר-כוכבא", "מדריכי כרטא: קומראן, מצדה, עין גדי" ו"מגילות קומראן והמדינה החשמונאית".