בהודעה לעיתונות מטעם התזמורת הסימפונית ירושלים, סופר כי מישורי החל לנגן על כינור כבר בגיל שלוש וכן כי החל לכתוב מוזיקה בגיל מאוד צעיר. הוא פתח את הקריירה המוזיקלית שלו עוד לפני קום מדינת ישראל, ובעת מלחמת השחרור ניצח על התזמורת הסימפונית גבעתי.
מישורי ניגן בתזמורת הסימפונית של רשות השידור במשך ארבעה עשורים והצטרף אליה בסוף שנות הארבעים, עוד כשנקראה "תזמורת קול ישראל" ועד שהורחבה בשנות השבעים ל"תזמורת הסימפונית ירושלים - רשות השידור". במהלך השנים ליווה את התזמורת ברגעיה הגדולים בארץ ובעולם, בין היתר בפסטיבלי הזמר והפזמון, ונחשב לאחד מותיקיה.