ברושי נולד ב-1923 בשם אברהם איטנברג במוסקבה ועלה לארץ עם משפחתו כשהיה בן שנה וחצי. הוא גדל בתל אביב והתחנך בגימנסיה גאולה, שבה היה תלמידו של הסופר יהודה בורלא. הוא שבחר לו את שם משפחתו, בנימוק שמראהו הגבוה והצר הזכיר לו עץ ברוש.
במקביל לעבודתו בבנק התעשייה, ב-1945 כתב את שיריו הראשונים, "קסמייך כינרת" ו"הבה נטיילה שולה", שהולחנו על ידי המוזיקאי בובי פנחסי. הוא היה המלחין העיקרי של שיריו של ברושי. ברושי המשיך לכתוב עד 1960, כשאת מילותיו שרו בין השאר יפה ירקוני, אריק איינשטיין, יהודית רביץ, שמשון בר-נוי וישראל יצחקי.
ברושי הותיר אחריו אישה ושתי בנות. מועד הלוויתו טרם פורסם.