בגיל 12 הוא הצטרף לחיפה תמורת זוג נעליים ובגיל 17, בשנת 1951, ערך את הופעת הבכורה שלו בבוגרים. הוא רשם 307 הופעות במדים הירוקים, בהן כבש 50 שערים.
עלמני היה שותף לזכייה ההיסטורית של הקבוצה הבוגרת בתואר כלשהו, כשהניפה את גביע המדינה ב-1962 ואף בישל צמד במשחק הגמר. לעלמני היו גם שלוש הופעות במדי נבחרת ישראל.
כשפרש ב-1968 החל לאמן את קבוצת הילדים ומאז המשיך לעבוד במחלקת הנוער ורבים מהשחקנים שגדלו במועדון עברו דרכו.
בעלי מכבי חיפה, יעקב שחר, אמר: "אני זוכר את אשר כשחקן מכבי חיפה של הדור ההוא. שחקן שבלט ברוגע שלו ובג'נטלמניות שלו. אשר כונה 'הצעיר הנצחי', מאמן שגידל לא מעט שחקנים צעירים ומוכשרים שכולם יזכרו אותו ולטובה כל ימי חייהם. אנו נזכור את אשר השחקן, המאמן ובעיקר האדם. יהי זכרו ברוך!".