מחכה לראות איך גדי יתאר את ההוכחה וידון במשמעות המשפט (נכונות, מודלים וכו') במאמר הבא...

גדי - תודה לך. הבלוג שלך הוא אחד הדברים הטובים ביותר ברשת.

"מה שפרדוקס הספר בא להראות הוא שהספר לא יכול להתקיים;" - מעבר לעובדה שהבנתי את הסתירה, לא היתה ברורה לי הנקודה שמה שהתיאור בא להראות הוא הוא תיאור של קבוצה שלא תיתכן (בניגוד, למשל, לעצם התכנות פרדוקסים בתיאור מילולי).

לא משוכנע שנחבאת פה מסקנה אופרטיבית להבא, אבל לידיעתך בכ"ז, היה חסר לי בכתבה המשפט שצוטטתי בתחילה תגובתי זו :)

ותודה על כתבה טובה :)

סתאאאאאאאאאאם :-)

 

אני לא א. עצבר אבל איזה קטע היה אם ynet היו מפרסמים מאמר תגובה שלו.

מחכה להמשך.

מה שמתמטיקאים שואפים לעשות זה להוכיח את כל המשפטים. אז הכי טוב היה לו יכולנו למצוא אוסף של אקסיומות שמהן ניתן יהיה להוכיח את כל המשפטים הנכונים במתמטיקה. אבל מה שגדל הוכיח זה שאוסף אקסיומות כזה לא קיים עבור המספרים הטבעיים, ולכן קל חומר שעבור כל המתמטיקה. ותמיד יהיה משפט שלא נוכל להוכיח מתוך האקסיומות הקיימות ונצטרך לקבל את נכונותו כאקסיומה. בקיצור, לא ניתן לעשות אכסיומתיזציה של המתמטיקה.

אז למיטב ידיעתי משפט גדל בהחלט הפיל משהו, הוא הוכיח שלא נוכל לעולם לבסס את כל המתמטיקה על מערכת אחת טובה של אקסיומות. שלדעתי זה סוג של אכזבה למתמטיקאים ששואפים להוכיח כל משפט וצריכים להכיר בכך שיש לגישה הזאת מגבלות.

כדאי לציין במקום בולט שהעניין בגדל עלה עכשיו בגלל פרסום התרגום לעברית של גדל אשר באך.

של המציאות, ולא המציאות עצמה.
במציאות הפיסיקלית לא יכול להיות דבר כזה אפס.

ו\או למתמטיקאים שלא מפחדים להשתגע...

הבעיה היא בעובדה, שמדובר בתחום "צעיר" מאוד במושגים של עולם המתמטיקה.

בעוד שלמתמטיקאים המתמחים למשל באלגברה או בחשבון אינפנטיסימלי יש בסיס מוצק של מאות שנים להוכחות והתיאוריות שלהם, זה שמתעסק בלוגיקה ו\או בתורת הקבוצות שקול לאדם שעומד על בול עץ במים, ולא יודע אם התנועה הבאה תפיל אותו למים או לא.

הפופולאריות של הלוגיקה נובעת מכך שמדובר בתחום צעיר, דינאמי ומעניין מאוד, עם המון שימושים בתחומים "מגניבים" אחרים כמו מדעי המחשב - אבל כאן כאמור גם הסכנה: מה ש"נכון" בבסיס הלוגיקה היום יכול להיות שטות מוחלטת מחר. פרופסורים בעלי שם, שעשרות שנים הוכיחו דברים על בסיס אקסיומות ומשפטים מסויימים, יכולים פתאום לגלות מחר או בעוד שנה שכל מה שהם עשו בחייהם פשוט לא נכון...

מעניין לציין, שהן ההוכחה של גדל והן ההוכחה של קאנטור (על הבדלי העוצמות שבין המספרים טבעיים והממשיים) מבוססים על אותו רעיון (פרדוקס השקרן). בקצרה, לא ניתן לבחון את אמיתות הטענה: "אני משקר"? שכן אם הטוען משקר, אז הוא טוען שהוא משקר ולכן הוא דובר אמת, בנוסף אם הטוען דובר אמת, אז הוא אומר שהוא משקר, לכן הוא משקר.
הרעיון היפיפה של גדל היה ליצור התאמה חד ערכית בין כל ביטויי השפה למספרים הטבעיים. התאמה זו אפשרה להמיר את הדיון בפסוקים לטענות על מספרים טבעיים. גדל המשיך בבחינת קבוצות של מספרים טבעיים. הוא ניסה לבדוק אלו קבוצות של טבעיים (שמתאימות לפסוקים) יהיו רקורסיביות (כלומר קבוצות שלגבי כל איבר מהם: אם חוזרים אחורה, לפי כללי ההיסק של המערכת, אז מגיעים לאקסיומה או קבוצת אקסיומות שמהם נובע הפסוק). הוא קרה לקבוצת המספרים הטבעיים שמתאימה לכל מה שנכון בשם A ולקבוצה של כל מה שנובע מאקסיומות האריתמטיקה A_E (נסמן את קבוצת כל אקסיומות האריתמטיקה במובנם המספרי באות E). שאלתו הייתה: האם A=A_E? גדל הוכיח ש A_E חלקית ממש (ומימלא אינה שווה) ל A.
איך גדל הוכיח זאת? הוא הניח קיומו של פסוק שמגדיר את A ואז לפי משפט הידוע בשם "משפט נקודת השבת" ניתן למצוא פסוק y שבאופן לא פורמלי אומר "אני לא נכון" עתה אם y נכון, אז הוא אומר על עצמו שהוא לא נכון ולכן הוא נכון. במהופך, אם y לא נכון, אז הוא אומר על עצמו שהוא לא נכון ולכן הוא נכון. בכל מקרה לא נין לקבוע את הנכונות של y, ולכן לא ניתן לקבוע אם y נמצא או לא נמצא ב A. עולה מכך ש A היא לא גדירה ומימלא לא רקורסיבית. מאחר ו A_E רקורסיבית הרי שברור ששתי הקבוצות שונות. ולכן ישנו פסוק ב A שאינו נמצא ב A_E (שהרי A מכיל את כל הפסוקים הנכונים) ולכן קיים פסוק לא כריע כלומר שלא ניתן לקבוע את אמיתותו באמצעות קבוצת אקסיומות האריתמטיקה E.
חשוב לציין שגם אם נצרף את הפסוק לקבוצה E, כלומר נגדיל את קבוצת האקסיומות, נקבל פסוק אחר שיהיה לא כריע. למעשה, כל עוד קבוצת האקסיומות סופית והיא מכילה את אקסיומות האריתמטיקה (אקסיומות פיאנו) שהיא קבוצה מצומצמת של אקסיומות שנותנות תוקף לפעולות האריתמטיקה הפשוטות (חיבור וכפל) על הטבעיים.
משפט האי שלמות השני מאפשר להצביע באופן מפורש על פסוקים לא כריעים. ממשפט זה נובע באופן מפורש שהפסוק "אקסיומות פיאנו חסרות סתירה" הוא לא כריע. בין יתר השלכותיו של משפט האי שלמות השני נובע גם שכל תורה T שמכילה את אקסיומות תורת הקבוצות (צרמלו-פרנקל) תהיה לא רקורסיבית".

יש משהו משותף לכל הפרדוקסים במשפחה הזאת (השקרן, הספר, האבן שאלוהים לא יכול להרים) והוא שלילה גורפת של קבוצה לא מוגדרת בצורה סופית.

השקרן לא מסוגל להוציא דבר אמת מפיו (שזו קבוצה אינסופית של משפטים),

הספר לא יספר את מי שמספר את עצמו (למרות שאנו לא יודעים מי הם),

אין שום הגבלות על היכולת האלוהית (שאין דבר הנבצר ממנו),

ואין הגדרה לגיטימית (מבחינה סמנטית) של קבוצה בלתי אפשרית (גם כשההגדרה היא על דרך השלילה הגורפת - כמו קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן).

נראה לי שיש מקום לחקר הסמנטיקה של הגדרה בדרך השלילה של קבוצה בעלת פוטנציאל לכלול מספר אינסופי של אברים.

בכל מקרה, רעידת האדמה שחולל גדל גרמה לפחות למתמטיקאי דגול אחד לעזוב את תחום הלוגיקה בשאט נפש: ג'והן פון נוימן, שכנראה הבין בנושא יותר ממרבית המתפלספים החדשים, החליט שזו טחינת מים אינטלקטואלית ושום דבר טוב לא יצא מזה.

 

אודה על האמת יש לי חררה רק מלראות את המספרים וכשנוספים להם הסימנים הנילווים מלמעלה, למטה ומהצדדים, החררה נהיית גדולה יותר ואני מקבל חום.

האם אתה חושב שבחור כמוני(ממוצע) מסוגל ללמוד לתואר ראשון במתמטיקה?
אם אני אלך על זה, זה יהיה רק בשביל האתגר, לא בגלל שזה מעניין אותי.
בתיכון היה לי קשה ובכלל, כמו שאמרתי, לא ידוע למה, אבל כשאני מתחיל עם מספרים, אני מתחיל להרגיש לא טוב.

האם זה רק אני, או שזה באמת קשה?
האם אני פשוט מוותר מהר ולא מנסה?

הכתבה שלך גם היא לא הייתה טריווילית, כלומר צריך להפעיל בתחום הזה את המוח, יותר מהתחומים הרגילים, נניח כמו אנגלית, היסטוריה וכן הלאה.

עכשיו נעבור לפיזיקה.
מה בעצם ההבדל בין מתמטיקה לפיזיקה?
האם אפשר ללמוד פיזיקה בלי מתמטיקה?
הרי עד כמה שאני מבין, המתמטיקה מגדירה את הנוסחאות של הפיזיקה.
הפיזיקה נעזרת במתמטיקה, אבל מדברת על העולם(תופעות וכו') ולא על מספרים ללא קשר לכלום(כמו במתמטיקה(בלי להעליב). אם אני מבין נכון).

דווקא פיזיקה הרבה יותר מסקרן ללמוד.
שם מתעסקים בחומר ולא רק במספרים.
הבעיה היא שכמו מתמטיקה, זה מגיע עם מספרים וחלק בלתי נפרד מהעניין.

קיצר, זה מה שמתרוצץ אצלי בראש.
הייתי שמח לשמוע שאני מסוגל ללמוד מתמטיקה/פיזיקה, גם אם אני אדם מאוד ממוצע שלא מרגיש כמיהה חזקה לתחום, אבל יודע(או לפחות מעריך) שיש שם אמת.
אני גם מאוד מעריך אנשים שמתעסקים באחד התחומים האלו.
זה מבחינתי מראה על אדם איכותי(לפחות מבחינת השכל).
כמו גם בפילוסופיה.

אני יודע שקישקשתי כאן הרבה ואני מפוזר לגמרי, אבל אשמח אם תגיב.

תודה רבה לך על המאמר.
נהניתי לקרוא :-).

על-מנת שקבוצת החישובים "שניתן(ים) לבדיקה בידי אדם" תכלנה את קבוצת החישובים "שניתן(ים) לבדיקה ע"י מחשב", ובכך כל חישוב שניתן לבדיקה ע"י מחשב-ניתן לבדיקה כם ע"י אדם, כפי שמונח לעיל, עלינו להניח כי אין חישובים שתוכניות מחשב יכולות לבצע שהאדם אינו יכול, הפוך מכפי הנטען במאמר.

קבוצה שמכילה את הקבוצה שמכילה את כל הקבוצות שמכילות את עצמן ואת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן?

אבל לגבי ההצהרה הראשונה אני לא בטוח. אני חושב שהמשפט שהכי הרבה טרחנים מתמטיקאיים אוהבים לתקוף הוא טיעון האלכסון של קנטור. אפילו מוקדשת לכל תגית שלמה בGood math bad math.

ושוב, גדי, סחטיין.

אני אוהב, בסופו של דבר, לסכם אותו כ"מושג האמת יותר חזק ממושג ההוכחה".

כתבה מעניינת, ברורה יפה וכתובה בפשטות - צדיק אתה

ישר כח