הצבא של פרעה (רעמסס השלישי) הלך וניגף בקרבות שניהל מול השבטים שפלשו למצרים, ובהם החיתים והפלשתים. הסופרים שהיו צריכים לשלוח דיווחים מהחזית לא יכלו להודות בתבוסה, שהרי פרעה הוא אל ואל לא יכול להפסיד. "אנחנו מנצחים יותר ויותר קרוב הביתה", כתבו. המשפט הזה, בן שלושת אלפים שנה, מנסח יפה גם את היחס בין בני האדם והטכנולוגיה, כשעוד ועוד יכולות ותכונות שנחשבו לייחודיות ולמותר האדם הולכות ונכבשות על ידי הטכנולוגיה, ואנחנו מתבצרים במה שעוד נותר. מנצחים יותר ויותר קרוב הביתה. האינטואיציה היא אחד המבצרים האנושיים האחרונים שאנחנו מספרים לעצמנו שנותרו בידינו: ההברקה, רגע ה"אאוריקה", הקפיצה הנחשונית, ניצוץ הגאונות - ארכימדס נכנס לאמבטיה, תפוח נופל על הראש של ניוטון – אלה מבדילים את האדם מהמכונה.
ובכן, יכול להיות שגם המבצר הזה נפל. השבוע הודיעה חברת OpenAI כי מודל חשיבה חדש שלה הפריך השערה מרכזית בבעיה מתמטית קלאסית שמעסיקה כבר 80 שנה את טובי וגדולי המתמטיקאים - במה שכבר הוגדר "רעידת אדמה" בתחום. בעיקר, נראה שהבינה המלאכותית עשתה את זה בעזרת מה שנראה כמו אינטואיציה. הייתה לה הברקה. היא פשוט ראתה משהו שאף אחד לא הצליח לראות, עשתה את הדבר שחשבנו שרק אנחנו עושים: חשבה מחוץ לקופסה. או במקרה הזה, מחוץ למישור.
הבעיה, על פניה, פשוטה מאוד. מהסוג שגם ילדים יכולים להבין: יש מישור. על המישור מפוזרות נקודות. המשימה היא ליצור כמה שיותר זוגות של נקודות שנמצאות באותו מרחק זו מזו. אם יש שלוש נקודות, לדוגמה, עדיף לסדר אותן במשולש ולקבל שלושה זוגות מאשר להציב אותן בשורה ולקבל שני זוגות; אם יש ארבע נקודות, הכי טוב יהיה לסדר אותן כמעוין המורכב משני משולשים ולקבל חמישה זוגות. ככל שיש יותר נקודות העניין מסתבך, כמובן. מה, אם כן, תהיה הדרך הכי טובה לסדר המון נקודות, נגיד מיליון, כדי לקבל הכי הרבה זוגות?
זו "בעיית מרחק היחידה במישור". המתמטיקאי היהודי-הונגרי הגדול פאול ארדש ניסח את הבעיה בשנת 1946 וטען, בפשטות, שהדרך הכי טובה תהיה לסדר את הנקודות על שריג (גריד) ריבועי, שנראה כמו מחברת חשבון - ככה שכל נקודה נמצאת במרחק זהה לשכנותיה מימין, שמאל, למעלה ולמטה. כלומר - שהגבול העליון של מספר הזוגות יהיה קרוב מאוד למספר הנקודות.
ארדש היה אחד המתמטיקאים הפוריים והמשונים ביותר במאה ה-20, שפירסם יותר מ-1,500 מאמרים עם מאות שותפים. הוא היה חסר בית קבוע, נודד בעולם עם מזוודה חצי ריקה ומוח שקדח מרוב מתמטיקה, ולא נשאר בשום מקום יותר משבוע-שבועיים.
ארדש ביקר בישראל באופן קבוע, כאורח של הטכניון, שם פגש לראשונה את נוגה אלון שהיה תלמיד תיכון אוהב מתמטיקה. הילד פרס בפני ארדש הוכחה למשפט מתמטי, "והוא עשה את עצמו מאוד מתרשם", נזכר אלון - היום פרופסור למתמטיקה בעצמו. "לקח לי זמן להבין שכל מה שאמרתי היה מבחינתו פשוט וידוע. אבל הוא היה נדיב מספיק כדי לעודד את הסקרנות. שנים אחר כך כתבתי מאמר בנושא אחר, והוא שלח לי מכתב ובו הודיע לי שהוא הוכיח את אותה תוצאה 25 שנה לפני. שמחתי, כי הבנתי שזו עדות לכך שבאותה עת כבר ראה בי מתמטיקאי רציני שאיננו זקוק לעידוד כמו בעבר. כתבתי איתו מאמר ראשון ב-1983 בתורת המספרים הקומבינטורית. לאורך השנים כתבנו חמישה מאמרים משותפים ונפגשנו פעמים רבות בישראל, בארה"ב ובאירופה".
הוא היה כזה יוצא דופן?
"הוא היה מאוד שונה. לא הייתה אצלו שום הפרדה בין החיים האישיים למתמטיקה".
ארדש אהב להציג בעיות. כאלפיים בעיות רשומות על שמו. "בעיית מרחק היחידה" היא בעיה מספר 90 שלו, ואחת מהמפורסמות שבהן. ארדש איתגר את המתמטיקאים למצוא דרך עדיפה ואפילו הציב פרס כספי של 500 דולר לפותר. 80 שנה שאף אחד לא הצליח. האינטואיציה שלהם, האנושית, אמרה להם שהגריד הוא הסידור האופטימלי. עד שהשבוע הגיע מודל החשיבה החדש של OpenAI והפריך לחלוטין את ההשערה של ארדש. האינטואיציה האנושית המשותפת לכל כך הרבה אנשים על פני כל כך הרבה שנים התבררה כמוגבלת וכמגבילה. המודל הראה שניתן להכניס הרבה, אבל הרבה-הרבה, יותר זוגות של נקודות. לא רק באמצעות כוח חישוב, אלא באמצעות רעיון עמוק, יפה ולא צפוי. המודל פשוט הסתכל אחרת על הנקודות והפך כל נקודה למרחב אינסופי של אפשרויות.
אבן הפינה של המופת
"זו תוצאה מאוד משמעותית", אומר פרופ' אלון מאוניברסיטת פרינסטון. אלון (לשעבר מאוניברסיטת תל-אביב), זוכה פרס ישראל למתמטיקה, חתן פרס וולף ומענקי המתמטיקאים בעולם, היה אחד מקבוצה מצומצמת של חוקרים ידועים שקיבלו את ההפרכה, בדקו אותה לעומק ופירסמו מאמר אישור. "בפעם הראשונה ראינו שמודלים כאלה מסוגלים לבצע מחקר מתמטי משמעותי בעצמם. הייתה פה הברקה גדולה שאף אדם לא הגיע אליה בעשרות שנים, למרות שכל הידע המתמטי הדרוש היה קיים. אם אדם היה מוצא את ההוכחה היינו אומרים שזה יוצא מן הכלל. הייתי מאוד מאוד שמח לו הייתי מוצא את ההוכחה הזו בעצמי".
"הדבר הכי משמעותי", אומר אלון, "שהפתרון נמצא באופן לגמרי עצמאי, ככל הנראה, על ידי מודל שפה של בינה מלאכותית ללא עזרה של בני אדם".
למרות שבדק את התשובה, אלון, כמו אחרים, דואג לסייג. בעבר כבר פורסם כי מודלים של AI פתרו בעיות לבדם, מה שהסתבר כלא נכון וגרם מבוכה רבתי: "למרות שאני מכיר חלק מהמתמטיקאים שעובדים בחברה וסומך עליהם, לא לגמרי בטוח שאפשר לסמוך במאה אחוז על מה שאומרים ב-OpenAI. הם לא בהכרח מגלים הכל. יש פה אינטרס ברור ומשמעויות כלכליות אדירות: בקרוב החברה תצא להנפקה לפי שווי של סביב טריליון דולר וחשוב להם שאנשים יאמינו שהמודל שלהם טוב מאחרים. אבל גם אם זה נעשה בעזרת מתמטיקאים אנושיים זה אומר הרבה על היכולת של המודל".
בתחתית מאמר התגובה הוסיף כל אחד מהמתמטיקאים הערה אישית. "הרושם שלי", כתב שם אלון, "הוא שכלי בינה מלאכותית מסוגלים לשנות את המחקר במתמטיקה בצורה דרמטית. הפתרון המרהיב החדש של בעיית מרחק היחידה של ארדש משכנע אותי שקשה להפריז בהשפעה הפוטנציאלית המלאה של השינוי הזה".
אני מבקש מפרופ' אלון להסביר לי את מהות ההברקה בפתרון של הבינה המלאכותית והוא מנסה להתחמק בעדינות. "מדובר ככל הנראה בבעיה המוכרת והקלה ביותר להסבר בגיאומטריה קומבינטורית - ועדיין, קשה להסביר את הפרטים המתמטיים בעיתון ללא רקע מתאים. ייתכן שעדיף לא לנסות. לא חייבים להבין, יותר חשוב להתרשם מהיופי ומהעומק של תוצאות מתמטיות. למתמטיקה יש יופי ממש כמו לשירה או ליצירות אמנות. לקשר המופלא בין שדות מספרים אלגבריים לקבוצות נקודות במישור עם תכונות מפתיעות יש יופי פנימי נדיר".
אני לא רוצה להבין, אני רוצה להתפעם, גם אני רוצה לחוש את אותה "חדווה אמיתית, התרוממות רוח ותחושה על-אנושית אל מול אבן הפינה של המופת" שהפילוסוף ברטרנד ראסל ואחרים מצאו במתמטיקה. אלון משתכנע.
"המודל השתמש במתמטיקה מתוחכמת. השאלה של ארדש היא מתחום הגיאומטריה הקומבינטורית (במילים פשוטות: תחום העוסק בסידור גופים במרחב - ד"פ), וזו הדרך שבה ניסו ללכת 80 שנה. הפתרון של הבינה המלאכותית, בהפשטה, הוא לייבא גריד הרבה יותר מורכב, שנבנה בעזרת תוצאות מתחום אחר לגמרי של המתמטיקה, שנקרא תורת המספרים האלגברית (במילים חצי פשוטות: תחום שחוקר את המספרים השלמים ומגלה בהם תכונות, תבניות, ממדים וסדרים עמוקים - ד"פ) ומשתמש בה על מנת לקבל קבוצות נקודות במישור".
מצד שני, פרופ' אלון מסייג, כבר היו פרסומים על מודלי AI שפתרו בעיות לבדם, שהתגלו כלא נכונים: "למרות שאני מכיר מתמטיקאים שעובדים בחברה, ב־OpenAI לא בהכרח מגלים הכל. יש פה אינטרס כלכלי אדיר"
איך משתמשים במספרים כדי לקבל קבוצות נקודות במישור? אם אני - שבקושי עברתי שלוש יחידות ומשוואות מטילות עליי אימה ותרדמה, הצלחתי להבין את החלק הבא ולהתרשם מהיופי של המתמטיקה, כל אחד יכול. זה הולך בערך ככה: יש מספרים שאפשר לייצג בכמה משוואות שונות שהם סכום של שני ריבועים. לדוגמה, המספר 65, הוא גם 49 ועוד 16 (שהם 7 בריבוע ועוד 4 בריבוע) וגם 64 ועוד 1 (שהם 8 בריבוע ועוד 1 בריבוע). את כל אחת מהמשוואות האלה אפשר לתרגם לזוג מספרים, שהופכים לנקודות מיקום (קואורדינטות) על המישור. ריבוי המשוואות שנותנות את התשובה 65 מייצר אוסף נקודות שנמצאות כולן על אותו מעגל סביב המרכז. כלומר, כל מספר נפתח לאוסף של נקודות.
המודל מצא דרכים להשתמש בשדות מספרים מורכבים יותר ויותר, כדי לייצר אובייקטים ומבנים מתמטיים עשירים ומרובי ממדים שנותנים יותר ויותר זוגות, עד לאין-סוף. לבסוף, "הקרין" המודל את המבנה על המישור הגיאומטרי ויצר קבוצת נקודות עם יותר זוגות ממה שאיפשרה ההשערה הקלאסית. יש בזה הרבה יופי: לחשוב על מספר כעל שדה של אפשרויות המכיל בתוכו ממדים רבים. זה בטח הרבה יותר יפה מלחשוב על פוליטיקה.
קפיצה באינטליגנציה
"אנחנו מדברים עכשיו על מתמטיקה", אומר אלון, "אבל הסיפור הזה אומר משהו לגבי החיים בכלל. האם זה אומר שה-AI יחליף אותנו? בתכנות המודלים כבר טובים יותר מבני האדם. מה זה אומר לגבי דיאגנוזה רפואית, ייעוץ משפטי, ראיית חשבון, לגבי הכל בעצם? דברים שהיו נראים לנו מדע בדיוני הם עכשיו עניין יומיומי - אתה מדבר עם המודל והרושם הברור שאתה מקבל הוא שאתה מדבר עם יצור אינטליגנטי, גם אם מדי פעם הוא אומר דברים לא נכונים, ולעיתים אפילו שטויות גמורות. אבל גם אנשים טועים, לא? איך הבינה המלאכותית תשנה את העולם זו שאלה גדולה. אני מקווה שלא יותר מדי".
לפני העולם, אומרים שזה ישנה את המתמטיקה. איך?
"אינני נביא והניחושים שלי טובים כמו של כל אחד אחר, אבל אין ספק שהרבה דברים ישתנו. השאלה המעניינת מבחינתי היא היכולת של המודלים האלה להחליף את המחקר המתמטי או לעזור בו בצורה כל כך משמעותית שמתמטיקאים לא יוכלו לעבוד בלעדיהם. הכיוון הוא שה-AI כבר לא רק עוזר אלא שותף. יהיה כמעט בלתי אפשרי לעשות מחקר רציני בלי המודלים האלה".
אולי אפשר יהיה לעשות מחקר רציני בלי בני אדם?
"לא בלתי אפשרי שבשלב מסוים, ולא רחוק, המודלים יידעו לשפר את עצמם כך שלא יצטרכו אנשים. אז נצטרך לחשוב על הכל מחדש. העניין מטריד מאוד, בעיקר את הצעירים. ההנחה האופטימית היא שלאנשים תמיד יהיה הרבה מה לעשות - לבחור את הבעיות, לבדוק את ה-AI, לפשט את התשובות שלו - אבל לפי קצב השיפור, אני באמת לא בטוח.
"מתמטיקאים מתמחים בתחומים ספציפיים ויש להם יכולת חישוב מוגבלת. למודל יש יתרון על בני האדם כי הוא קרא את כל מה שפורסם בכל התחומים המתמטיים, לפחות ברמה של סטודנט לדוקטורט. בנוסף, כשלחוקר אנושי יש רעיון שהוא רוצה לבדוק, בטח רעיון עם חשבונות מסובכים, אם הוא חושב על משהו חודשיים ולא מצליח, נראה לו שזה לא יעבוד. למודלים יש הרבה יותר סבלנות".
פאול ארדש, שניסח את "בעיית מרחק היחידה במישור" בשנת 1946, היה אחד המתמטיקאים הפוריים והמשונים ביותר במאה ה–20. הוא פירסם יותר מ–1,500 מאמרים והיה חסר בית קבוע, נודד בעולם עם מזוודה חצי ריקה ומוח קודח
אז מה נותר? מה מותר האדם?
"המהפכה האמיתית", מדגיש אלון, "היא לא בפתרון הזה. היא בדרך שהבינה המלאכותית עשתה. מערכת שלפני חמש שנים לא הייתה קיימת, שלפני שנתיים הייתה יכולה לעשות רק דברים פשוטים, בשנה שעברה כבר הגיעה למדליית זהב באולימפיאדה הבינלאומית במתמטיקה והיום עושה דברים ברמה של פתרון השאלה הזאת. יכול להיות שהבינה המלאכותית עברה בשנתיים-שלוש האחרונות את הקפיצה מאינטליגנציה של קוף לאינטליגנציה של בן אדם. השאלה היא מה הצעד הבא, לאן תגיע הבינה המלאכותית עוד שנתיים.
"כרגע אנחנו חושבים, או מקווים, שהמודלים פחות חזקים מאנשים ביכולת לשאול את השאלות המעניינות ולדעת מה חשוב. גם בזה אינני משוכנע. היכולת של המודלים להועיל קיימת כמעט בכל תחום. יש לי חבר היסטוריון בפרינסטון, שאמר לי שברור לו שמודלים כאלה לעולם לא יחליפו את ההיסטוריון. אני רק חייכתי בנימוס. מודלים כאלה יכולים לאסוף ולנתח מידע ולהסיק מסקנות לא פחות מכל היסטוריון. האם מודל יכול לכתוב ספר עם ערך ספרותי או לצייר ציור בעל ערך אמנותי? אינני רואה סיבה לחשוב שזה בלתי אפשרי באופן עקרוני. נחיה ונראה".
מתי תציע הבינה המלאכותית פתרון מבריק, יצירתי ומקורי לבעיית המזרח התיכון?
"לצערי, לכל אורך ההיסטוריה האנושות משתמשת בכל טכנולוגיה למלחמות יותר מאשר לצורכי שלום. אבל מי יודע, אולי יש כאן פוטנציאל ותקווה לעתיד טוב יותר".
