האם היתה דרמה במשפט פרמה?

לקריאת המאמר באתר של ליאו קורי לחצו כאן

לחלק הראשון של המאמר לחצו כאן

לחלק השני של המאמר לחצו כאן

לשם הכנת ספרו סיימון סינג נדרש להשקיע מאמצים גדולים באיסוף והבנה של חומר רב, ואת החומר הזה הציג בצורה ברורה ושווה לכל נפש. משימה כלל וכלל לא פשוטה זו הסתמכה גם על יצירת מבנה דרמטי שסיפק תשתית רחבה לעלילה הבסיסית של הסיפור, ונועדה לרתק את הקוראים.

אולם מי שיקרא את הספר בעיון יגלה עד מהרה שאותו מבנה דרמטי הוא מוגזם ומלאכותי. תולדות המתמטיקה מתאפיינות ברמת דרמטיות נמוכה בהרבה מזו שמוצגת בספר, או אם לנסח זאת בצורה מדוייקת יותר, בדרמטיות מסוג אחר לחלוטין. כאשר בוחנים תהליכים ארוכי-טווח ואת האופן שבו השתנו התפישות הבסיסיות ביותר של המתמטיקה לאורך ההיסטוריה, הדרמטיות המיוחדת שבבסיס תולדות המתטיקה באה לידי ביטוי מובהק.

כל אחד מהשלבים בהיסטוריה הזו, לעומת זאת, נעדר בדרך כלל את סוג הדרמטיות שסינג משווה להם בספר. מיד נתאר כמה דוגמאות לכך, אבל כדאי לפתוח דווקא במספר ציטוטים מתוך הספר שבהם הצליח סינג להעביר בצורה יפה מאוד, לטעמי, את המהלכים המרכזיים בסיפור ואת משמעותם. כך למשל, הדימוי הבא אשר מובא מפי ויילס כדי לתאר את דרכו אל ההוכחה

הדרך הטובה ביותר לתאר את חווייתי המחקרית במתמטיקה היא לדמיין שנכנסים לדירה חשוכה. אתה נמצא בחדר הראשון והכול חשוך, ממש חשוך, ואתה מתחיל להיתקל ברהיטים הפזורים. בהדרגה אתה לומד איפה כל רהיט נמצא ולבסוף - לאחר כשישה חודשים – אתה מוצא את מתג החשמל ולפתע הכול מואר ואתה יכול לראות בדיוק איפה אתה עומד.

אוֹיְלר, גדול המתמטיקאים של המאה הי"ח, נאלץ להודות בכישלון. סופי ז'רמן אימצה זהות של גבר כדי לחקור תחום אסור על נשים, והשיגה את פריצת הדרך המשמעותית ביותר של המאה הי"ט. אווריסט גלואה הנועז שירבט את תוצאות מחקרו עמוק אל תוך הלילה בטרם יצא אל מותו בדו-קרב ב-1832.

יוטאקה טאנייאמה, שתובנותיו יובילו בסופו של דבר לפתרון, שם קץ לחייו באופן טרגי ב-1958. לעומת זאת, פאול וולפסקהל, תעשיין גרמני נודע, טען שפרמה הציל אותו מהתאבדות, ומיסד פרס עשיר לאדם הראשון שיוכיח את המשפט.

ובכן, זה נכון שאוֹילר היה גדול המתמטיקאים של המאה ה-18, ושהוא לא פתר את הבעיה, כלומר, הוא לא הוכיח את השערת פרמה למקרה הכללי. ייתכן שאפילו הוא הודה בכך, אם כי לי לא ידוע איפה הוא עשה את זאת ובאילו מילים. לעומת זאת, אוילר הוכיח בצורה יפה, ותוך כדי פיתוח טכניקות חדשות, מקרים פרטיים של המשפט.

אבל הנקודה החשובה מבחינה היסטורית היא, שבעת שאוילר עסק בבעיה (נושא אחד, שולי יחסית, מבין עשרות סוגיות חשובות ומעמיקות ביותר, הן מתמטיות והן פיזיקליות, להם הקדיש מחשבה לאורך חייו) הבעיה עוד לא נחשבה לשונה במהותה, ובוודאי שלא לבעיה בעלת חשיבות מיוחדת, בהשוואה לבעיות רבות אחרות בתחום תורת המספרים.

היתה זאת רק עוד אחת מן הבעיות שפרמה לא פתר והשאיר לבאים אחריו. בל נתאר לנו את אוילר, אם כן, מוסר איזה הודעה דרמטית לעיתונות שבה הוא מבשר קבל עם וקהילה מתמטית על כשלונו להתמודד עם "הבעיה החשובה ביותר בתולדות המתמטיקה".

גם סיפורה של סופי ז'רמן (e Germain 1776-1831Sophi) הוא אכן מרתק. כשרונה המתמטי של סופי ז'רמן היה יוצא דופן בכל קנה מידה. היא ניהלה לאורך שנים התכתבות מרתקת עם מתמטיקאים חשובים כמו גאוס ולג'נדרה (Adrian Marie Legendre 1752-1833), כשהיא פונה אליהם תחילה תחת שם העת "מסייה לבלאנק", כדי לא להסגיר את עובדת היותה אשה, שמא לא תקבל את תשומת הלב הראויה.

ובאמת, כניסת נשים לחיים האקדמיים באירופה בכלל ולמחקר מתמטי פעיל בפרט, היא תופעה די מאוחרת, וסופי ז'רמיין היא אחד משתי נשים יחידות, שמוכרות בתרומתן למתמטיקה במאה הי"ט (השניה היא סופיה קובלבסקייה - Sofia Kovalevskaya 1850-1891).

לחששה של ז'רמיין היה בהחלט על מה להתבסס, אם כי בסופו של דבר כאשר נודע לשני בני שיחתה שמדובר באשה, הערכתם רק גברה. ולְמה שנוגע לסיפורנו: גם אם ז'רמיין אימצה זהות של גבר "כדי לחקור תחום אסור על נשים" (משפט פחות או יותר נכון, אבל בעל קונוטציה לא כל כך מדוייקת בפני עצמו).

הרי שה"תחום האסור" הזה, היה המדע בכלל או לכל הפחות המתמטיקה, אבל בשום אופן לא המחקר הקשור בהשערת פרמה כתחום ידע בפני עצמו. התיאור של סינג כאן הוא מגמתי ולא מדוייק במקרה הטוב. בהמשך עוד אעיר על תרומתה החשובה של ז'רמיין לניסיונות להוכיח את השערת פרמה.

בהתייחסותו אל אֶווריסט גלואה (Evariste Galois 1811-1832) סינג ממש הגדיש את הסאה. דמותו הססגונית של גלואה אהובה למדי על מתמטיקאים, היסטוריונים של המדע, וכותבי ספרים פופולריים על מתמטיקה, ואין בכך כל פליאה.

בעוד שרוב הביוגרפיות של מתמטיקאים הן צפויות מבחינה חיצונית ודומות זו לזו (למד ב-, סיים דוקטורט ב-, התמנה לפרופסור ב-, חקר את -, הצטיין ב-, וכו'), גלואה הוא היחיד במקצוע שעליו אפשר לכתוב שמת בדו-קרב על רקע רומנטי – לא פחות ולא יותר. גם הלהט המהפכני של גלואה זכה לתשומת לב רבה, יחד עם ההתעלמות הגמורה שבה התקבלו רעיונותיו ותרומתו מצד חשובי המתמטיקאים בתקופתו.

בשנתיים האחרונות לחייו הקצרים כתב גלואה מספר עבודות שלא זכו לתגובה, ולמעשה הן לא נקראו כלל על ידי המתמטיקאים שאליהם הן נשלחו (מעניין לציין שדווקא סופי ז'רמיין היתה בין הראשונים להבחין, עוד בחייו, בכשרונו הנדיר של גלואה). העבודות הללו כללו רעיונות חשובים ומקוריים ביותר, שרק עשרים שנה מאוחר יותר זכו לפרסום.

השאלה שאליה קשורים רעיונותיו של גלואה עמדה אף היא פתוחה מאות בשנים, והיתה לכל הדעות מרכזית ומרתקת הרבה יותר מהניסיונות להוכיח את השערת פרמה: מציאת הנוסחה למשוואה פולינומית מסדר חמישי ומעלה (הפתרונות למשוואות מסדר שלישי ורביעי היו ידועים עוד מהמאה הט"ז).

שני מתמטיקאים, רופיני (Paolo Ruffini 1765-1822) ואבל (Niels Henrik Abel 1802-1829), הקדימו את גלואה בהבנה היסודית שבניגוד למה שידוע במקרה של משוואות ריבועיות, קוביות או מסדר ארבע, לא קיימת נוסחה אחת כללית, הבנויה מסדרת פעולות אלגבריות פשוטות (סכום, חיסור, כפל, חילוק, והוצאת שורשים מכל סדר שהוא) על המקדמים, ושממנה מתקבלים הפתרונות לכל משוואה פולינומית מסדר חמש.

עבודותיו המהפכניות של גלואה היו מכוונות לשאלה הכללית והמדוייקת עוד יותר: בהינתן משוואה פולינומית אחת בסדר כלשהו, האם ניתן למצוא את כל פתרונותיה באמצעות סדרת פעולות אלגבריות פשוטות (סכום, חיסור, כפל, חילוק, והוצאת שורשים מכל סדר שהוא) על המקדמים שלה?

גלואה לא רק פתר את הבעיה הזו, אלא שבעשותו כך העניק לעולם המתמטי כלי רעיוני בעל השפעה מרחיקת לכת בתחומים רבים ומגוונים, שבלעדיו אין לתאר את המתמטיקה וחלק ניכר מהפיזיקה במאה העשרים, הלא הוא מושג ה"חבורה". ברור שבהוכחת ויילס, ובחלק מהעבודות שעליהן הוא התבסס, מושג החבורה בא לידי ביטוי באופן בולט, באותה מידה שמושגים רבים אחרים (פונקציה או שדה מספרים, לשם דוגמה) מופיעים היום דרך קבע בכל מחקר מתמטי של ממש.

הקשר המרומז בין המאמצים האדירים, כביכול, להוכיח את השערת פרמה, לבין העובדה שגלואה "שירבט את תוצאות מחקרו עמוק אל תוך הלילה בטרם יצא אל מותו בדו-קרב ב-1832" הם מופרכים מן היסוד, ולא רק בגלל שאין כל קשר בין רעיונותיו של גלואה לבין ניסיון כלשהו להוכיח את ההשערה; למעשה לא ידוע כלל שגלואה התעניין אי-פעם בהשערה הזאת.

הקשר המרומז הזה הוא מופרך גם מכיוון שהוא מניח כמובן מאליו עוד אחד מהמיתוסים הרבים שצצו סביב דמותו של גלואה, דהיינו, שאת רעיונותיו החשובים על אודות תורת החבורות הוא שרבט ביום האחרון לחייו. תרחיש כזה היה יכול לשרת סרט מתח על חייו ולהאדיר עוד יותר את הסטטוס המיתי של גלואה, אך למרבה הצער הוא לא כל כך קשור למציאות ההיסטורית.

גלואה בעצם כתב מספר מאמרים בנושא, או בנושאים האחרים, בשנתיים האחרונות לחייו וחלקם אפילו התפרסמו (הגם שכאמור החשובים מביניהם לא ראו אור ולא נבדקו כראוי על ידי המתמטיקאים שאליהם נשלחו). בלילה האחרון לחייו גלואה אכן כתב על מתמטיקה, ואפילו הזכיר חבורות, אבל לא שם המקום שבו פיתח את רעיונותיו החשובים, והמקור שממנו אלה נודעו מאוחר יותר. ובכן, אפילו חייו הדרמטיים בהחלט של גלואה לא מצליחים ליצור פרק דרמטי נוסף בתולדות משפט פרמה.

וכך גם בנוגע ליוטאקה טאנייאמה (Yutaka Taniyama 1927-1958), שגם את התאבדותו המסתורית סינג מגייס לטובת הדרמטיות המדומה של הסיפור על משפט פרמה. ב-1955 הציג טאנייאמה בסימפוזיון שהתקיים בטוקיו שתי בעיות שעל בסיסן נוסחה מאוחר יותר השערה שקשורה ליחס בין "עקומות אליפטיות" לבין "שדות של תבניות מודולריות" - שני מושגים מתמטיים חשובים, שלפני ההשערה איש לא העלה בדעתו כי יש קשר ביניהם.

השערה זו, הידועה בשם "השערת טאנייאמה-שימוּרה" נקשרה שנים רבות מאוחר יותר (כפי שאזכיר בהמשך) להוכחה אפשרית של משפט פרמה, ולמעשה הוכחת ויילס להשערת פרמה היא לא אחרת מאשר הוכחת מקרה מרכזי של "השערת טאנייאמה-שימוּרה".

אבל טאנייאמה עצמו לא חשב כלל על האפשרויות הללו ב-1955. הסיבה להתאבדותו ב-1958 נותרה תעלומה לא פתורה, אבל ברור לכול שאין לה כל קשר ל"השערת טאנייאמה-שימורה", ולא כל שכן, ממילא, להוכחת משפט פרמה, כפי שקורא תמים בספרו של סינג עשוי לחשוב.

האלמנט האחרון מבין אלה שבעזרתם מנסה סינג להגביר את האופי הדרמטי של הסיפור קשור לשמו של וולפסקהל ולהתאבדותו שלא היתה, בזכות משפט פרמה כמובן. כפי שכבר ציינתי, על פי האגדה שסינג מאמץ בחדווה אל תוך תיאורו, וולפסקהל תרם את הקרן למתן פרס כספי משמעותי למי שיוכיח את המשפט, בעקבות אהבה נכזבת לצעירה שמעולם לא זוהתה.

בייאושו הרומנטי כי רב, החליט וולפסקהל לשים קץ לחייו בירייה בחצות הליל. את השעות שנותרו עד אז החליט וולפסקהל לבלות בספרייתו כאשר הוא מעלעל, לא פחות ולא יותר, בספרי מתמטיקה העוסקים בניסיונות להוכיח את השערת פרמה. עיונו המעמיק בספרות הזו ריתקה אותו עד כדי כך משָל היה רבי אליעזר וחבריו שהיו מסובין בבני-ברק והיו מספרים ביציאת מצרים בליל הסדר שרק עם עלות השחר הבחין בזמן שחלף לו.

התעמקותו במתמטיקה, ובפרט במשפט פרמה, הסיטו אותו מהחלטתו להתאבד: "המתמטיקה חידשה את רצונו לחיים", צוהל סינג. "וולפסקהל שיכתב את צוואתו לאור האירועים של אותו הלילה. פרס של מאה אלף מארק היה דרכו לשלם את חוב הכבוד שלו לחידה שהצילה את חייו."

ביחד עם הסיפורים האחרים שבספר, סיפורו של וולפסקהל תורם את המרכיבים האחרונים והמכריעים: אהבה, כסף, נקודת אור בחיים עגומים להפיכת הדרמה למושלמת. חבל רק שהסיפור הוא בדיה. ב-1997, במסגרת החגיגות לציון הישגו האדיר של ויילס, החליט מתמטיקאי גרמני מהעיר קאסל, קלאוס בארנר, לנסות ולגלות כמה עובדות מוצקות יותר על חייו של התורם המפורסם בתולדות המתמטיקה, פאול וולפסקהל.

בארנר חקר מקורות שונים על אודות חייו של וולפסקהל, וסיפורו הוא מעט שונה מן האגדה המקובלת. וולפסקהל למד רפואה וסיים את לימודיו ב-1880, ככל הנראה בכתיבת תיזה בתחום רפואת העיניים. עוד בזמן לימודיו התחילו להתגלות אצלו סימפטומים ראשוניים של מחלת הטרשת הנפוצה, ו-וולספקבל הגיע למסקנה שלא יהיה לו עתיד במקצוע כמו רפואה.

הוא החליט לשנות כיוון וללמוד מתמטיקה, מקצוע שממילא תמיד אהב, ושבו יוכל לעסוק גם אם יהיה מרותק בעתיד לכיסא גלגלים. בין 1881 ו-1883 הוא למד בברלין, ושמע את הרצאותיו של אדורד ארנסט קומר (Edward Ernst Kummer 1810-1893), אחד המתמטיקאים שתרמו את התרומות החשובות בדרך להוכחת משפט פרמה, כפי שעוד נראה.

אין ספק שוולפסקהל התעניין במשפט פרמה עוד בתקופה ההיא, ואף פרסם מספר עבודות בתחום תורת המספרים האלגבריים. ב-1890 איבד למעשה וולפסקהל את יכולת התנועה שלו, ומשפחתו שיכנעה אותו להתחתן כדי שיהיה מי שיטפל בו בהמשך.

בחירת הכלה, למרבה הצער, לא היתה מוצלחת עבור וולפסקהל, ועל פי חקירתו של באנר, לאחר שנישא ב-1903 חייו של הפכו לגיהנום. ב-1905 וולפסקהל אכן שינה את צוואתו לטובת אהבת חייו היחידה, שהעניקה משמעות כלשהי לשנותיו האחרונות, תורת המספרים. גם סוג של רומנטיקה, ללא ספק, אבל לא במובן המקובל בסיפור על וולספקהל והפרס.

אולי גם הרצון להפחית במעט את ההון שהותיר לאישתו, שאותה תיעב ככל הנראה, שיחק כאן תפקיד. על כל פנים, אם אכן שקל וולפסקהל להתאבד היה זה בגלל הדיכאון העמוק שבו היה נתון עקב מחלתו, ולא בשל אהבה נכזבת לאשה לא ידועה. משפט פרמה ממילא לא הציל את חייו.

המשפט האחרון של פרמה - הסיפור האמיתי

הגיע, אם כן, הזמן, להגיד משהו קונקרטי יותר על משפט פרמה ועל תולדות הניסיונות להוכיחו. אסקור עתה בקצרה כמה אבני דרך מרכזיות בסיפור, ומיד יתברר שמאז כתב פרמה בשולי ספרו, מעט לאחר 1630, ועד 1984, כמות המחקרים החשובים שכללו תרומה שקשורה ישירות לבעיית פרמה היתה מועטה יחסית (לעומת זאת כמות ההוכחות השגויות והמופרכות שנוסחו בידי חובבים, ולעתים אף בידי מתמטיקאים מקצועיים, היתה גדולה מאוד).

יתרה מזאת: נראה שלאורך כל התקופה הזאת, מתמטיקאים מובילים הצהירו הצהרות חד-משמעיות על כך שמדובר בבעיה שולית שחבל לבזבז עליה זמן ואנרגיה. (המשך המאמר יתפרסם בגיליון הבא של גלילאו)

ד"ר ליאו קורי הוא ראש המכון להיסטוריה ולפילוסופיה של המדעים והרעיונות ע"ש כהן באוניברסיטת תל-אביב. עיקר מחקרו ופרסומיו עוסקים בהיסטוריה והפילוספיה של המתמטיקה המודרנית. ד"ר קורי עורך את כתב העת Science in Context אשר רואה אור ב- Cambridge University Press.