קושיה: האם הביטוי "אינו מתאר את עצמו" מתאר את עצמו?

רבים מהמושגים שאנו עושים בהם שימוש מתארים בעצמם מושגים (או, אם תרצו, חלים על מושגים). למשל, המושג "מוגדר היטב" הנו מושג החל על כל מושג שהגדרתו מאפשרת לנו לקבוע באופן חד-משמעי את תחום החלות שלו (כלומר, את קבוצת הפריטים שעליהם הוא חל).

המושג "גדול", למשל, איננו מושג מוגדר היטב, כי לא על כל דבר ניתן לקבוע חד-משמעית אם הוא גדול או לא. לעומת זאת המושג "תלת-הברתי" הוא מושג מוגדר היטב, שכן תחום החלות שלו הוא קבוצת כל המילים שהן בנות שלוש הברות בדיוק. דוגמה נוספת למושג שחל על מושגים הוא המושג "שכיח בשפה" (שהוא עצמו אינו מוגדר היטב). המושג "מעניין", למשל, הוא מושג שכיח בשפה, והמושג "אפלולי" איננו כזה.

נגדיר להלן שני מושגים, "אוטולוגי" ו"הטרולוגי", אשר בעצמם משמשים לתיאור מושגים: אנו נכנה כל מושג אשר מתאר את עצמו (או, אם תרצו, אשר חל על עצמו) אוֹטוֹלוֹגִי. למשל, המושגים הבאים הם אוטולוגיים:

• "רב-הברתי" - אם נגדיר ביטוי רב-הברתי כביטוי בן 3 הברות לפחות, הרי שגם "רב-ה-ב-ר-תי" הוא כזה.
• "בעברית" - מושג זה חל על כל ביטוי בשפה העברית, ובכלל זה על עצמו.
• "מילה" - מושג זה חל גם על עצמו, שהרי גם "מילה" היא "מילה".
  

לעומת זאת, כל מושג אשר אינו מתאר את עצמו מכונה הֶטרוֹלוֹגִי. למשל, המושגים שלהלן הם הטרולוגיים:

• "חד-הברתי" - מכיוון ש"חד-ה-ב-ר-תי" איננו חד-הברתי, מושג זה אינו חל על עצמו.
• "באנגלית" - מושג זה חל על ביטויים בשפה האנגלית בלבד, ועל כן, בשל היותו בעברית,
• הוא אינו מתאר את עצמו.
• "חסר מובן" - מושג זה מובן לנו, ועל כן הוא אינו מתאר את עצמו.
  

לאור הגדרות אלה, ניתן לשאול אם המושג "הטרולוגי" הוא עצמו הטרולוגי, כלומר, כזה שאינו מתאר את עצמו, אם לאו. ובכן, אם נניח שהמושג "הטרולוגי" הוא אכן הטרולוגי, הרי שהוא מתאר את עצמו (באותו אופן שהמושג "בעברית" מתאר את עצמו כי הוא בעצמו בעברית). אבל אם הוא מתאר את עצמו, הרי שעל פי הגדרת המושג הוא איננו הטרולוגי (אלא אוטולוגי).

לעומת זאת, אם נניח שהמושג "הטרולוגי" איננו הטרולוגי, אז על פי הגדרה הוא אינו בעל התכונה "אינו מתאר את עצמו", כלומר הוא כן מתאר את עצמו. אבל אם הוא מתאר את עצמו עליו להיות הטרולוגי, כי הטרולוגיוּת היא בדיוק התכונה שמושג זה מייחס לַמושגים שהוא מתאר. יוצא מכאן שהמושג "הטרולוגי" הוא בעצמו הטרולוגי אם ורק אם הוא איננו הטרולוגי!

את הפרדוקס הזה הציגו ב-1908 הלוגיקן קורט גְרֶלִינְג (Grelling) והמתמטיקאי לאונרד נֶלְסוֹן (Nelson), שהיו גם פילוסופים ידועים, ובין השאר עסקו רבות גם בפרדוקס ראסל (ראו "גליליאו" 105).

נקודות למחשבה

לפרדוקס גרלינג-נלסון מאפיינים המזכירים את פרדוקס בֶּרי ("גליליאו" 103), הדן במושג "המספר הטבעי הראשון שאי אפשר לתארו בפחות מעשר מילים", ואת פרדוקס ראסל ("גליליאו" 105), הדן במושג "קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן כאיבר". זיהוי הדמיון בין הפרדוקסים השונים עשוי לכוון לפתרונות אפשריים.

שימו לב לכך שהנחה מובלעת (כלומר, שלא צוינה במפורש) שהנחנו בהצגת הפרדוקס היא, שכל מושג הוא או אוטולוגי, כלומר, כזה שמתאר את עצמו, או הטרולוגי, כלומר, כזה שאינו מתאר את עצמו. האם הנחה זו סבירה בעיניכם, או שייתכנו מושגים אשר אינם משתייכים אף לאחת משתי קטגוריות אלו?

ועוד נקודה למחשבה: האם גם הניסיון לקבוע אם המושג "אוטולוגי" הוא אוטולוגי או לא אוטולוגי (כלומר, הטרולוגי) מביא לסתירה? אם לא - האם "אוטולוגי" הוא אוטולוגי או לא?

פתרון הפרדוקס

להלן שתי הצעות שהועלו לפתרון הפרדוקס. כפי שנכון גם בנוגע לפרדוקסים רבים אחרים, כולל כאלו שדנו בהם בעבר במדור זה, גם פתרונות אלו שנויים במחלוקת, אך הם בוודאי מספקים תובנות מעניינות לגבי השימוש בשפה בכלל, ולגבי פרדוקס גרלינג-נלסון בפרט.

הגבלת הקטגוריה המושגית של "הטרולוגי" - הצעה זו דוחה את ההנחה המובלעת שכל מושג הוא או אוטולוגי או הטרולוגי. הטעם לכך הוא שלכל מושג יש קבוצה של פריטים (שתיקָרא להלן הקטגוריה המושגית שלו), אשר הקביעה אם המושג חל עליהם או לא היא משמעותית, בעוד שכל ניסיון של קביעה כזו לגבי פריטים שאינם בקטגוריה זו הנו חסר משמעות.

למשל, המושג "ראשוני" (מספר המתחלק בעצמו וב-1 בלבד) הוא מושג שאפשר לקבוע אם הוא חל או לא על מספרים טבעיים בלבד, ועל כן מספרים אלו מהווים את הקטגוריה המושגית שלו. כך, למשל, אפשר לקבוע (על פי הגדרת המושג) שהמספרים 2, 7 ו-13 הם ראשוניים, ואילו המספרים 12, 35 ו-100 אינם ראשוניים.

למעשה, אפשר לחלק את כל המספרים הטבעיים לשתי קבוצות: האחת של מספרים ראשוניים והאחרת של מספרים שאינם ראשוניים (וכולם שייכים לקטגוריה המושגית של "ראשוני"). ואולם, יהיה זה חסר משמעות לקבוע לגבי כל דבר אחר, כמו אדם, ספר או רעיון, אם הוא ראשוני אם לאו, ועל כן דברים אלו אינם שייכים לקטגוריה המושגית של "ראשוני" (כלומר, אנו לא נאמר על הטענה "דניאל הוא ראשוני" שהיא שקרית, אלא שהיא חסרת משמעות).

אם כן, יש דברים שהם ראשוניים, יש דברים שאינם ראשוניים, ויש דברים שיהיה זה חסר משמעות לומר עליהם שהם ראשוניים או שאינם ראשוניים. כך גם המושג "כחול": יש דברים שהם כחולים, יש דברים שאינם כחולים ויש דברים שיהיה זה חסר משמעות לומר עליהם שהם כחולים או שאינם כחולים (כמו רעיון, אהבה, מספר, מושג), כי הם כלל אינם שייכים לקטגוריה המושגית של "כחול".

אי לכך, הטענה "השמיים כחולים" היא אמיתית, הטענה "הדשא כחול" היא שקרית, ואילו הטענה "המספר 7 איננו כחול" היא טענה חסרת משמעות (ועל כן לא אמיתית ולא שקרית). נוכל ליישם תובנה זו בפרדוקס גרלינג-נלסון אם נאמר שלא כל מושג שייך לקטגוריה המושגית של "הטרולוגי".

בניגוד למושגים כמו "חסר מובן" או "בעברית", הנמצאים בקבוצה זו (הראשון הטרולוגי והשני לא), הרי שיש מושגים, וביניהם המושג "הטרולוגי" עצמו, אשר אינם שייכים לקטגוריה מושגית זו, ועל כן יהיה זה חסר משמעות לקבוע לגביהם אם הם הטרולוגיים או לא. הבעיה שמעורר פתרון זה היא, שבניגוד למושגים כמו "ראשוני" ו"כחול", שקל יחסית לנמק מדוע דבר-מה שייך או אינו שייך לקטגוריה המושגית שלהם, הרי שאין זה פשוט לנמק מדוע הקטגוריה המושגית של "הטרולוגי" אינה כוללת מושג זה עצמו.

תלות הדדית המביאה לסתירה - גם הצעת הפתרון השנייה דוחה את ההנחה המובלעת שכל מושג הוא או אוטולוגי או הטרולוגי. למעשה, אפשר להראות שהבעיה נובעת מהגדרת המושג "הטרולוגי".

נניח שאפשר לחלק את כל המושגים לשתי קבוצות: קבוצה א', שהיא קבוצת המושגים האוטולוגיים, וקבוצה ב', שהיא קבוצת המושגים ההטרולוגיים (חלוקה כזו אמורה להיות אפשרית על סמך ההנחה המובלעת דלעיל).

ברור שאופן שיוכו של כל מושג לאחת משתי הקבוצות מותנה בתשובה לשאלה: "האם הוא מתאר את עצמו, אם לאו?". ואולם, המושג "הטרולוגי" שקול לביטוי "שייך לקבוצה ב'", ואז התשובה לשאלה "האם המושג מתאר את עצמו או לא" תלויה באופן שבו הוא שויך לאחת הקבוצות, כך שמתקבלת במקרה זה תלות הדדית בין התשובה לשאלה "האם הוא מתאר את עצמו" לבין שיוך המושג לקבוצה המתאימה.

תלות הדדית לא תמיד מביאה לסתירה, אולם היא כן מביאה לסתירה במקרה הנדון, שכן שיוך המושג "הטרולוגי" לקבוצה א' מחייב את שיוכו לקבוצה ב' ולהפך, ועל כן אי-אפשר לשייך אותו אף לאחת מן הקבוצות. במילים אחרות: אי-אפשר לחלק את כל המושגים לשתי קבוצות כנדרש במקרה זה, והמושג "הטרולוגי" אינו לא אוטולוגי ולא הטרולוגי.

לקינוח 1

יחס הוא קשר שיכול להתקיים בין שני דברים או יותר. למשל: "אוהב את" או "גבוה מ-", שהם שניהם יחסים, מבטאים קשר בין, למשל, שני אנשים: "יונתן אוהב את רות" ו"נעמי גבוהה מרונן".

קשרים אלו יכולים כמובן להתקיים או שלא להתקיים, כלומר, ייתכן שיונתן אכן אוהב את רות, וייתכן שאין זה כך (ואף אפשר להשתמש ביחס המביע שלילה, כגון "אינו אוהב את", או "אינו גבוה מ-"). באופן דומה ניתן להגדיר גם יחסים שמבטאים קשרים דווקא בין שני יחסים.

למשל: "מתאר טוב יותר מ-" הנו יחס שעשוי להיות שימושי במשפט מהסוג: "'אוהב את' מתאר טוב יותר מ'מחבב את'" (את מה שיונתן מרגיש כלפי רות, למשל). נתבונן עכשיו ביחס "יותר שכיח בשפה מ-", שניתן להחילו על שני יחסים (למשל: "אוהב את" יותר שכיח בשפה מ"שונא את").

אם ננסה להחיל יחס זה על עצמו ועל יחס נוסף נקבל משפט מהסוג: "'יותר שכיח בשפה מ-' יותר שכיח בשפה מ'אוהב את'." מן הסתם זוהי טענה שקרית, ועל כן נאמר שהיחס "יותר שכיח בשפה מ-" אינו מתקיים בין עצמו לבין היחס "אוהב את". אבל "אינו מתקיים בין עצמו לבין יחס" הנו בעצמו יחס, ועל כן אפשר להחילו גם על עצמו ולקבל טענה מהסוג: "'אינו מתקיים בין עצמו לבין יחס' אינו מתקיים בין עצמו ליחס R כלשהו". האם טענה זו היא אמיתית או שקרית?

מריוס כהן מסיים בימים אלה את לימודי הדוקטורט בפילוסופיה באוניברסיטת בן-גוריון. פורסם במקור במגזין "גלילאו"