המירוץ של איינשטיין לתורת היחסות

השבוע נחגג יום הולדתו של אלברט איינשטיין ובימים אלו מוצג באקדמיה הלאומית בירושלים כתב היד המקורי של "תורת היחסות הכללית", שניסח המדען הדגול. תיקוני המילים, המחיקות וההוספות יכולים ללמד אותנו על התהליך הארוך שעבר המדען ואשר סופו באחת התורות המהפכניות ששינו את עולם הפיזיקה.

בשנת 1915 מפרסם אינשטיין את תורת היחסות שלו לראשונה, ולהלן מובא הסיפור כפי שוולטר איזקסון הציג בביוגרפיה שלו "אינשטיין, חייו ויקומו" וכפי שעולה ממחקרים נוספים בנושא.

יולי 1915

בתחילת חודש יולי בשנת 1915 הוזמן איינשטיין לתת סדרת הרצאות על התורה הכבידתית החדשה שלו באוניברסיטת גוטינגן, המרכז החשוב של המתמטיקה והפיסיקה התיאורטית בגרמניה, אם לא בעולם כולו. באותה תקופה תורת היחסות של איינשטיין כללה משוואות שיתבררו תוך כמה חודשים כשגויות. משוואות אלו פותחו יחד עם המתמטיקאי פרופ' מרסל גרוסמן במאמרם "מתאר של התורה המוכללת של היחסות ותורה הכבידה". המאמר ידוע גם בשם "אנטוורף" (Entwurf) שבגרמנית פירושו מתאר.

אינשטיין, שחשש כי המשוואות שניסח אינן עונות למטרה שהציב לעצמו, כתב לפיזיקאי הנדריק אנטון לורנץ כבר ב-1913 כי "לרוע המזל אין למשוואות הכבידה עצמן את התכונה של קווריאנטיות כללית". קווריאנטיות כללית היא תכונה מתמטית של משוואות, והמדען חשש כי לא יוכל להבטיח שחוקי הטבע יהיו זהים עבור צופה הנמצא בתאוצה או בתנועה שרירותית, כפי שהיו עבור צופה שנע במהירות קבועה.

הוא הצליח לצאת מהסבך באמצעות הטיעון המתמטי שנקרא "טיעון החור" (בו בחן אזור חופשי מחומר במרחב-זמן, מעין "חור"), וחזר מרוצה מהביקור בגוטינגן אותו החשיב להצלחה. במיוחד הוא היה מרוצה מן העובדה כי הצליח לשכנע את דיויד הילברט, גדול המתמטיקאים של גוטינגן, בתורת היחסות הכללית.

ב-15 ביולי הוא כתב לאחד מחבריו: "בגוטינגן היה לי העונג הרב לראות שהכול הובן לפרטים. אני מוקסם למדי מהילברט!". גם הילברט מצידו הוקסם מאינשיין ומתורתו, ומיד עם סיום הביקור של אינשטיין הוא התיישב לראות אם יצליח להשיג את המדען ולהגיע למשוואות הנכונות.

כך החלה יריבות עזה בין שנים מהמדענים הגדולים של אותה התקופה: תוך ארבעה חודשים בלבד הבין איינשטיין כי המשוואות בהן בטח מ-1913 קרסו לנגד עיניו, ואיבד את ביטחונו. במקביל, התחיל הילברט במרוץ קדחתני על מנת למצוא ניסוח נכון משל עצמו למשוואות היחסות הכללית.

איינשטיין המודאג עבד במרץ ושקע בתיקונים ובעדכונים של משוואות היחסות, אותם הגיש לאקדמיה הפרוסית למדעים. מידי שבוע הוא הרצה בימי חמישי על השינויים שערך וחמישים ומשהו חברי האקדמיה הפרוסית נאספו באולם המדינה הגדול כדי לשמוע את הרצאותיו.

הרצאה ראשונה: "על תורת היחסות הכללית".

"במשך ארבע השנים האחרונות", פתח אינשטיין את הרצאתו הראשונה: "ניסיתי לבסס תורת יחסות כללית על בסיס ההנחה של יחסות אפילו של תנועה לא יחסית". ב-1913 האמין אינשטיין כי גילה "את חוק הכבידה היחיד" שמתאים למציאות הפיזיקאלית (תוך התעלמות משיקולים מתמטיים), אולם בהרצאתו הראשונה הודה בפני הקהל כי " איבדתי לגמרי אמון במשוואות השדה" שהגן עליהן במשך יותר משנתיים.

במקום זאת, הוא שב עתה לגישה שהוא וחברו המתמטיקאי מרסל גרוסמן השתמשו בה שנה קודם לכן ב-1912 (במחברת פנקס רשימות בת 96 עמודים שקרויה מחברת ציריך): "כך שבתי חזרה לדרישה של קוואריאנטיות כללית יותר של משוואות השדה, שנטשתי אותה בלב כבד כאשר עבדתי יחד עם חברי גרוסמן. למעשה, כבר אז הגענו קרוב למדי לפתרון".

אינשטיין שיפר את משוואותיו ועבד מבוקר עד לילה: "לעתים קרובות אני מרותק כל-כך מעבודתי שאני שוכח לאכול ארוחת צהריים", הוא כתב לבנו הנס אלברט. דבר אחד אינשטיין לא שכח והוא שבזמן ששדרג את משוואות היחסות, כך עשה גם הילברט, שניסה להשיגו.

במכתב ב-7 בנובמבר 1915, הזכיר איינשטיין להילברט כי הוא עצמו גילה את הפגמים במשוואות של 1913, ושלח לו עותק מהרצאתו האחרונה. "אני סקרן אם תוכל לשים לב לפיתרון החדש הזה", כתב איינשטיין מתוך התגוננות.

הרצאה שנייה: "על תורת היחסות הכללית"

בהרצאה השניה ב-11 בנובמבר הציג איינשטיין משוואות משופרות עם תנאי קואורדינאטות חדשים. הוא התקרב במעט לתשובה הסופית אך עדיין נותרה לו כברת דרך. הוא שלח שוב את המאמר להילברט: "אם התיקון הנוכחי שלי (שלא משנה את המשוואות) הוא לגיטימי, לכבידה צריך להיות תפקיד יסודי בהרכב החומר".

כך השיב לו הילברט: "מכיוון שאתה כל-כך מתעניין, הייתי שמח לפרוש את התיאוריה שלי בפירוט שלם מאוד בחמישי הזה", והזמין את איינשטיין לבקר בגוטינגן כדי לספק לו את התענוג המפוקפק של לשמוע באופן אישי את הילברט אומר לו את התשובה.

הילברט סיפק לאיינשטיין את זמני ההגעה של רכבות אחר הצהריים מברלין וכתב: "אשתי ואני נהיה מרוצים מאוד אם תישאר איתנו". אחרי שחתם את שמו במכתב, הילברט חש צורך להוסיף הערה עוקצנית: "ככל שאני מבין את המאמר החדש שלך, הפתרון שניתן על ידך שונה לגמרי משלי".

אינשטיין ענה להילברט ב-15 לנובמבר, 1915 ודחה את הזמנתו לבקר בגוטינגן ביום למחרת. המכתב שלו לא הסתיר את חרדתו: "האנליזה שלך מעניינת אותי מאוד...הרמזים שאתה כותב בהודעות שלך מעוררים בי את הציפיות הגדולות ביותר. חרף זאת, עלי להימנע מלנסוע לגוטינגן כרגע...אני עייף ומוטרד מכאבי בטן... אם אפשרי, אנא שלח לי עותק הוכחות של מחקרך כדי להקל את חוסר סבלנותי".

הרצאה שלישית: "הסבר של תנועת הפריהליון של מרקורי מתורת היחסות הכללית"

למרות שאינשטיין ידע שהמשוואות שלו טרם הגיעו לצורתן הסופית, הוא החליט לבדוק בהרצאה השלישית אם הן ינבאו את התוצאות הנכונות אודות הסטייה במסלולו של הכוכב מרקורי. מתברר כי התוצאות היו זהות: 43 שניות הקשת למאה.

באותה הרצאה, עוד לפני החישוב בנוגע למרקורי, דווח איינשטיין על חישוב נוסף אותו ביצע. כאשר ניסח לראשונה את תורת היחסות הכללית שמונה שנים קודם לכן ב-1907, הוא ניבא שאחת המשמעויות של התורה היא שהכבידה תעקם את האור. ב-1911 הוא חישב שהתעקמות האור על ידי שדה הכבידה ליד השמש תהיה בערך 0.83 שניות הקשת, נתון שתאם את הניבוי של תורת ניוטון.

אולם כעת כשהשתמש בתורת היחסות המתוקנת שלו מ-1915, אינשטיין מצב שהתעקמות האור על ידי הכבידה תהיה פי שתיים גדולה יותר, בגלל האפקט שנוצר על ידי התעקמות המרחב-זמן. לכן כבידת השמש תעקם את קרן האור בערך ב-1.7 שניות הקשת:

"קרן אור שמשפשפת את משטחה של השמש תעבור סטייה של 1.7 שניות הקשת במקום 0.85 שניות הקשת". היה זה ניבוי שהיה צריך לחכות לליקוי מתאים וההזדמנות הגיעה רק ב-1919, יותר משלוש שנים מאז הציג אותו אינשטיין בהרצאה השלישית.

בבוקר של ה-18 לנובמבר 1915 אינשטיין קיבל מדיויד הילברט מאמר חדש. מדובר במאמר שהילברט רצה להציג בפני אינשטיין ב-16 לנובמבר בגוטינגן, בביקור שלא התרחש. איינשטיין היה מופתע ומפוחד כאשר ראה כמה דומה המאמר לעבודתו שלו. תגובתו של אינשטיין מה-18 לנובמבר 1915 להילברט הייתה תמציתית, קרירה מעט, ונועדה להבהיר להילברט כי עבודתו קדמה לשלו:

"המערכת שאתה מספק מסכימה – ככל שאני יכול לראות – בדיוק עם מה שאני מצאתי בשבועות האחרונים והצגתי בפני האקדמיה. הקושי לא היה במציאת משוואות קוואריאנטיות כלליות עבור ה-.gμν משיגים זאת בקלות בעזרת טנסור רימאן. מה שקשה הוא להודות שמשוואות אלה יוצרות הכללה, ואכן הכללה פשוטה וטבעית, של חוק ניוטון.

אני הצלחתי לעשות זאת רק בשבועיים האחרונים (אני שולח לך את המאמר הראשון שלי). בעוד שכבר לפני שלוש שנים (במחברת ציריך) עם חברי מרסל גרוסמן בחנתי את המשוואות הקוואריאנטיות היחידות, שעתה הוכחו כנכונות. אנחנו התרחקנו מזה, רק באי רצון, בגלל שסברתי כי הדיון הפיזיקאלי הניב חוסר התאמה עם החוק של ניוטון. היום אני מציג בפני האקדמיה מאמר שבו אני גוזר כמותית מתוך היחסות הכללית, ללא היפותזות מנחות, את תנועת הפריהליון של מרקורי. שום תיאוריה כבידתית לא השיגה את זה עד עתה".

הילברט הגיב בנימוס ובנדיבות ביום שלמחרת, ולא טען לקדימות: "ברכות לבביות על כיבוש תנועת הפריהליון", הוא כתב. אולם ביום למחרת, ב-20 לנובמבר 1915, שלח הילברט לכתב העת המדעי של גוטינגן מאמר תחת הכותרת "יסודות הפיזיקה", שהציג את גרסתו למשוואות היחסות הכללית.

כתב היד של תורת היחסות הכללית מוצג בירושלים (צילום: ששון תירם)

הרצאה רביעית: "משוואות השדה של הכבידה"

הרצאה רביעית. אינשטיין מציג משוואות שדה כבידתיות בעלות קווריאנטיות כללית. מאוחר יותר ב-10 לדצמבר 1915 אינשטיין כותב למיקלה בסו, "החלומות הנועזים ביותר שלי התגשמו - קווריאנטיות כללית". הוא חתם במילים: "שבע-רצון אבל קאפוט".

תם ולא נשלם. משום שהיסטוריונים של המדע שאלו את עצמם: האם אינשטיין קרא את המאמר שהילברט שלח לו ב-18 לנובמבר 1915? והאם המאמר השפיע על מחשבתו בעודו מכין את הרצאתו הרביעית והאחרונה שהתקיימה ב-25 לנובמבר 1915? האם אינשטיין הביט במאמרו של הילברט וגילה את האיברים שעדיין היו חסרים במשוואות שלו עצמו מה-11 לנובמבר ויצר את המשוואות המוכרות?

מתברר שהדברים אירעו באופן הפוך, והילברט הוא ש"שאל" משהו מאינשטיין. במאמרו מה-20 לנובמבר 1915 המשוואות של הילברט היו שונות במעט אף באופן מכריע מהגרסה הסופית של ההרצאה של אינשטיין מה-25 לנובמבר 1915.

רק ב-6 בדצמבר 1915 הילברט תיקן את המאמר שלו מה-20 בנובמבר כך שיתאים לגרסה של אינשטיין. התיקונים של הילברט גם הכילו את המשפט "לראשונה הוצגו על ידי אינשטיין", כך שבסוף אפילו הילברט עצמו נתן לאינשטיין קרדיט וקדימות. בגרסה הסופית של המאמר מה-6 לדצמבר 1915 כתב הילברט: "המשוואות... המתקבלות לכבידה, כפי שנראה לי, הן בהסכמה עם תורת היחסות הכללית הנהדרת שנוסדה על ידי אינשטיין".

עם הזמן כתב איינשטיין להילברט: "אני מרגיש מחויב לומר לך משהו... הייתה בינינו הרגשה מסוימת לא טובה, שאת סיבתה אינני רוצה לנתח. נאבקתי בהצלחה גמורה בהרגשת המרירות שהתלוותה אליה. אני חושב עליך שוב באדיבות בלתי מעורערת ומבקש ממך לעשות את אותו הדבר איתי. זו בושה כאשר שני חברים אמיתיים שהשתחררו איכשהו מעולם עלוב זה לא מספקים זה לזה הנאה".

אינשטיין והילברט חזרו להיות חברים, התכתבו שוב כהרגלם, החליפו רעיונות ודעות ובפברואר אינשטיין ביקר שוב בגוטינגן, ואף התארח בביתו של הילברט.

לבלוג של ד"ר גלי וינשטיין