תעלומה מתמטית בת כמאה שנה הגיעה לפתרונה

ההצהרה עסקה ברעיון מוליך שולל בפשטותו: חלוקות. חלוקות הן פיצולים של מספר שלם למספרים קטנים יותר שסכומם שווה למספר השלם.

לדוגמה, את המספר חמש אפשר לייצג בשבע אפשרויות:

5 = 1+1+1+1+1 = 1+1+1+2 = 1+1+3 = 1+2+2 = 1+4 = 2+3

מתמטיקאים מבטאים זאת באמצעות הסימון p(5)=7. למספר 6 יש 11 אפשרויות: p(6)=11. ככל שהמספר n גדל, מספר החלוקות (p(n גדל מהר מאד: לדוגמה, p(100)=190,569,292, ו-p(1,000) הוא מספר בעל 32 ספרות.

מאות שנים נאבקו מתמטיקאים בניסיון למצוא היגיון בחלוקות, בין השאר באמצעות מצוד אחר דפוסים שמקשרים ביניהן. רמנוג'אן הבחין שאם מתחילים במספר 9 ומוסיפים 5-ים למספר הזה, כל החלוקות יתחלקו ב-5. לדוגמה: p(9)=30, p(9+5)=135, p(9+10)=490, p(9+15)=1,575.

הוא העלה את ההשערה שהדפוס הזה ימשיך לנצח, וכי דפוסים דומים קיימים כשמחליפים את 5 ב-7 או ב-11, שני המספרים הראשוניים הבאים (מספרים ראשוניים הם מספרים שמתחלקים רק בעצמם וב-1), וגם כשמחליפים אותו בחזקות של 5, 7 או 11.

כך, לדוגמה, צריכים להיות אינסוף n-ים ברווחים של 5 בחזקת 3 שעבורם כל ה-(p(n-ים המתאימים יתחלקו ב-125. בזמנו, בנימה כמעט נבואית, כתב רמנוג'אן שלא אמורות להיות אף "תכונות פשוטות" מתאימות הכוללות מספרים ראשוניים גדולים יותר.

במילים אחרות, לא קיימת שום סדרת (p(n-ים שכל אבריה מתחלקים ב-13, ב-17, ב-19 וכן הלאה. בשנים שחלפו מאז, הוכיחו חוקרים שרמנוג'אן צדק בנוגע לחזקות של 5, 7 ו-11.

בינואר 2011, תיארו קן אוֹנוֹ מאוניברסיטת אמורי ועמיתיו לראשונה נוסחאות שמקשרות בין n-ים שמפרידים ביניהם רווחים בגודל חזקות של 13 (13 בחזקת 1, 13 בחזקת 2...) ובין נוסחאות דומות עבור מספרים ראשוניים גדולים יותר.

הנוסחאות האלה אינן "פשוטות" - כלומר הן אינן מראות שה- (p(n-ים מתחלקים בחזקות של 13; תחת זאת, הן מקשרות בין השאריות של פעולות חילוק כאלה.

לכל מספר ראשוני, ככל שהמעריך גדל, כן הנוסחאות חוזרות על עצמן בדרכים שמזכירות פרקטלים - מבנים שבהם צורות או דפוסים חוזרים על עצמם במדויק בהרבה קני מידה שונים.

בתוצאה נפרדת שגם היא הוכרזה בינואר, תיארו אונו ושותף אחר שלו את הנוסחה הראשונה שמחשבת את (p(n לכל n, מבצע שחמק מתיאורטיקנים של תורת המספרים במשך מאות שנים.

האם לתגליות החדשות יהיה שימוש מעשי כלשהו? קשה לחזות זאת, אומר אומר ג'ורג' א' אנדרוז מן האוניברסיטה של מדינת פנסילבניה. "עשוי לחלוף זמן עד שהבנה מעמיקה של מתמטיקה יסודית טהורה תחלחל לעולם היישומי".

הכתבה התפרסמה בגיליון יוני-יולי של המגזין "סיינטיפיק אמריקן - ישראל" בהוצאת אורט.