איך הפך משפט פרמה לכזה חשוב?

הספר "המשפט האחרון של פרמה" מאת סיימון סינג הפך מאז 1994 לרב-מכר עולמי, גם בישראל. ואולם ד"ר ליאו קורי, ראש מכון כהן להיסטוריה ולפילוסופיה של הרעיונות באוניברסיטת תל-אביב, חושף כמה וכמה חולשות מעניינות בתיאור הדרמטי שמציג סיימון סינג ובהקשר זה מעלה סוגיה עקרונית בהיסטוריה של המתמטיקה: מה הופך שאלה כלשהי לבעיה מתמטית חשובה? חלק שישי ואחרון

ב-1993 הציג ויילס בקיימברידג' את הוכחתו, שהיא הוכחה של השערת טאנייאמה-שימורה עבור סוג מסויים וחשוב של עקומות אליפטיות (שמכונות: "עקומות אליפטיות יציבות-למחצה" ). בעת ההרצאה נכחו באולם קבוצה גדולה של מומחים מהשורה הראשונה. כך תיאר מייזר את האווירה ששררה:

 

מעולם לא ראיתי הרצאה רבת-תהילה כמו זו, גדושה ברעיונות נפלאים, טעונה במתח דרמטי שהלך ונבנה בהדרגה. רק שורת-מחץ אחת היתה אפשרית כאן.

 

ואכן ויילס סיכם במשפט קצר וקולע: " ... וזה מוכיח את משפט פרמה. אני חושב שאעצור כאן". הסיפור האישי של ויילס ושל דרכו להוכחה מְזמן אמנם רגעי דרמה אמיתיים, אבל אחרי כל שיא דרמטי יכול לבוא גם אנטי-קליימקס, וזה בדיוק מה שקרה כאן. לצורך הבדיקה מדוקדקת של ההוכחה היא נשלחה, בחלקים, למספר מומחים שונים.

 

המתמטיקאי ניקולס כץ מצא בעיה לא טריוויאלית שהיתה טעונת תיקון יסודי על מנת להשלים את ההוכחה. הדרמה נמשכה כאשר ויילס התמיד במאמציו, אמנם באווירה פחות מרוממת מאשר בחודשים שקדמו להרצאתו, ותוך שהוא שומר רוב הזמן על שתיקה. כעבור כמה חודשים ויילס הצליח להתגבר על הבעיה בעזרת תלמידו ריצ'רד טיילור, וההוכחה פורסמה במאי 1995 בכתב העת Annals of Mathematics.

 

 

 

אילו רצה מתמטיקאי כלשהו בסוף שנות ה-70 של המאה העשרים לברר את המצב המעודכן של הניסיונות להוכיח את משפט פרמה, עמדו לרשותו מספר סקירות שנכתבו בעת ההיא על ידי יודעי-דבר. בסקירות הללו הקורא לא היה מוצא ולו אחד מן השמות שהוזכרו בעמודים האחרונים.

 

בוודאי שלא את ויילס, אבל אפילו לא את מורדל, ובמיוחד לא את טאנייאמה או את שימורה. מאידך הוא היה מוצא שמות רבים שלא הופיעו בזמנו בסקירה של דיקסון מ-1920, אבל שנעדרים כמעט לחלוטין גם מספרו של סינג ב-1996 – ובעקבותיו גם מְרבים מתוך אינספור הטקסטים המתארים את הישגו של ויילס ומה שבא בעקבותיו.

 

כמה מילים על הצד הזה של הסיפור, מתוך הקשר הרחב יותר של ההיסטוריה של המתמטיקה מאז המחצית השנייה של המאה הי"ט ועד ימינו. נוכחנו כי קוּמר הוכיח ב-1858 את המשפט עבור כל המספרים הראשוניים עד 100, תוך שהוא מטפל באופן נפרד בשלושת המקרים הלא-רגולריים: 37, 59, 67 .

 

בעיקרון, הדרך נותרה פתוחה להמשיך ולהוכיח את המשפט עבור ערכים גבוהים יותר, עם טיפול נפרד לכל ראשוני לא-רגולרי שיצוץ ויעלה בדרך. בפועל הדרך הזאת לא משכה מתמטיקאים רבים – ובוודאי שלא רבים מבין הבולטים – שיעמיקו וילכו בה. מדוע?

 

זו שאלה חשובה שאת התשובה לה אתן כאן בקיצור רב. אחת ההתפתחויות החשובות שנבעו מתוך הכיוונים החדשים שקומר עצמו פיתח כאשר עסק בתורת המספרים הראשוניים האידיאלים היתה, כאמור, פיתוחה של תורת המספרים האלגברית בידי קרונקר ודדקינד.

 

קרונקר ודדקינד קידמו את הענף החדש והחשוב הזה תוך השלמה הדדית של תוצאות ושל פיתוח טכניקות. יחד עם זאת, הם ייצגו שתי גישות שונות, ולעתים אף מנוגדות, בדגשים שאפיינו את עבודתם המתמטית. בתורתו של קרונקר, החישובים הפרטניים והמפורטים במערכות המספרים שאותן הוא חקר היוו את מוקד ההתעניינות והכוח המניע העיקרי שלה.

 

אצל דדקינד המוקד נסוב סביב מבנים תיאורטיים מופשטים, המבוססים על מספר מושגי יסוד מקיפים, שמאפשרים גזירת משפטים כלליים ובניית תיאוריה מסודרת ושיטתית מאוד, תוך הימנעות מירבית מחקירת המקרים הפרטיים ומחישובים עם דוגמאות, ולו החשובות שבהן.

 

 

 

הדגש ה"מושגי" או "סטרוקטורלי" שאפיין את עבודתו של דדקינד – בניגוד לדגש ה"חישובי" יותר של קרונקר – השתלב בַהשפעות העמוקות של עוד מספר מתמטיקאים והפכה לדומיננטית ביותר מאז סוף המאה הי"ט ובחלק גדול של המאה העשרים, ולא רק בענף המתמטי הזה, אלא בענפים רבים אחרים.

 

ב-Zahlbericht רב-ההשפעה, למשל, הכריז הילברט במפורש שהוא עשה כל מאמץ להימנע מן ה"כלים החישוביים המורכבים מאוד" של קומר, ולדבוק בעקרונותיו של רימן, לפיהם יש להשלים הוכחות לא בדרך של חישובים אלא על פי "רעיונות טהורים" ככל האפשר.

 

גם חברו מינקובסקי, שכמוהו היה מומחה מוביל בתורת המספרים, חשב שהגישה הזו היא רלוונטית כעיקרון מנחה למתמטיקה כולה. הוא כינה אותה בשם "העיקרון השני של דיריכלה" ועל פיו "יש לפתור בעיות תוך המעטה בחישובים עיוורים ובמקסימום של מחשבה תחילה."

 

לא פלא לגלות, אם כן, את המגמות שסקירתו המקיפה של דיקסון מביאה לידי ביטוי. הזרם המרכזי של תורת המספרים לאחר קומר תרם מעט מאוד להוכחות המשפט, ועוד פחות מזה כאשר מדובר על דרך של חישובים שימשיכו את הכיוון שנפתח עם עבודתו של קומר.

 

ואכן, שתי התרומות המשמעותיות ביותר בחצי הראשון של מאה העשרים בכיוון החישובי הזה נעשו על ידי מי שצמחו ואף פעלו מחוץ לזרם המרכזי. הראשון שבהם היה אאוטסיידר של ממש: הדֶני יוהן לודויג ינסן (Johan Ludvig Jensen 1859-1925) אשר ב-1915 הוכיח שיש מספר אינסופי של ראשוניים לא-רגולרים. ינסן לא למד מתמטיקה בצורה מסודרת ומעולם לא קיבל מינוי אקדמי כלשהו. הוא עבד בחברת הטלפונים הדנית ועסק במתמטיקה רק בזמנו הפנוי.

 

גם הארי ואנדיבר (Harry Vandiver 1882-1973) לא הלך במסלול המקובל לחוקרי תורת המספרים, וגם כאשר הפך למתמטיקאי מסודר מבחינה מוסדית, הוא המשיך בדרכו הייחודית מבחינת התכנים. הוא לא סיים לימודי תיכון, והמעט שלמד באוניברסיטאות שונות, למד בדרך לא שיטתית ולא מסודרת.

 

ב-1900 החל לפרסם מאמרי מחקר מקוריים בכתבי-עת שונים, בין היתר בשיתוף עם ג'ורג' דייויד בירקהוף (George David Birkhoff 1884-1944), מן המשפיעים שבמתמטיקאים באמריקה בתחילת המאה העשרים. בחסותו קיבל ואנדיבר משרת הוראה בקורנל ב-1919.

 

באותה שנה הוא גם עבד עם דיקסון על עריכת הספר על תולדות תורת המספרים. מאוחר יותר עבר לאוניברסיטת טקסס, שם קיבל מינוי קבע. החל מ-1924 פירסם שורה ארוכה של מאמרים על משפט פרמה. מאמר שפירסם ב-1929 היה בעל חשיבות מיוחדת והוא זיכה אותו בפרס קול (Cole Prize) מטעם האיגוד המתמטי האמריקאי עבור עבודה מצטיינת בתחום תורת המספרים.

 

הביטוי המיידי ביותר של הדרך הלא שגרתית בה הלך ואנדיבר מצא את ביטויו בעבודות שביצע, יחד עם קבוצת עוזרים, אשר במרכזן שורה של חישובים ארוכים מאוד ומייגעים, הקשורים במציאת מספרים ראשוניים רגולריים. לצורך החישובים הסתייע במכונת חישוב שולחנית משוכללת במונחי התקופה.

 

בדרך זו הצליח להוכיח את המשפט עבור כל הראשוניים הקטנים מ-619, כולל ה-36 מקרים מביניהם שגילה כי הם לא-רגולריים. המגבלות הטכניות של המכונה שעמדה לרשותו לא אפשרו לו להתקדם מעבר לכך. ארכיונו של ואנדיבר שמור בספרייה של אוניברסיטת טקסס, אוסטין, והוא גדוש בגיליונות עמוסי חישובים, הממתינים להיסטוריון שיבוא לגאול אותם מן השכחה ויגלה, אולי, פנינים מעניינות על דרך חשיבתו המקורית.

 

אבל ההתמקדות בחישובים הפרטניים כדרך מרכזית להתמודדות עם הוכחת משפט פרמה הגיעה לשיא מעניין וחריג ב-1954 כאשר ואנדיבר החל לשתף פעולה עם אֶמה ו-דֶריק להמר (Derrick & Emma Lehmer), והשלושה השתמשו לראשונה במחשב דיגיטלי, לצורך חישובם של ראשונים רגולריים.

 

בני הזוג להמר היו מעורבים, ביחד ובנפרד, הן בהוכחות "רגילות" של משפט פרמה, והן בהפעלת מחשבים לחישובים הקשורים במספרים ראשוניים, במסגרת בעיית "ראשוני מרסן" (Mersenne Primes), בעיה קלאסית אחרת בתורת המספרים.

 

ב-1941, למשל, בני הזוג יצרו מעין סינתזה של גישות שונות להתמודדות עם משפט פרמה, והוכיחו שמקרה 1 נכון עבור חזקות קטנות מ- 253,747,899. מאוחר יותר, במאמרם המשותף מ-1954, השתמשו השלושה במחשב דיגיטלי והראו שכמעט חצי מהראשוניים הקטנים מ-2000 הם ראשונים לא-רגולריים, תוך שהם מוכיחים את המשפט עד התקרה הזאת.

 

שיתוף הפעולה של בני הזוג להמר עם ואנדיבר הוליד כיוון מחקרי חדש ומפתיע, שבמובנים רבים משמש עד עצם היום הזה. טכניקות חישוביות באמצעים אלקטרוניים ידעו פיתוח מואץ מאז 1951, והשימוש במחשבים במתמטיקה בכלל ובהוכחות מתמטיות בפרט נעשה יותר ויותר נפוץ עם השנים (כולל, למשל, בדרך של חישובים מבוזרים שמתבצעים בו-זמנית באלפי מחשבים ביתיים ומשתלבים אל תוך אלגוריתם מבוזר אחד ענק באמצעות האינטרנט).

 

מהלכים כגון אלה הובילו להרחבה משמעותית של הידע על אודות מקרים ספציפיים של תכונות של מספרים ראשוניים, ובכלל זה ידע הקשור במשפט פרמה (אם כי יש לציין שגם בשטח הזה לא כבעיה ראשונה במעלה). כך למשל, השיטות הללו אפשרו לזהות מספרים ראשוניים רגולריים ולא-רגולריים בגבהים הולכים ונוסקים. ב-1992 התקרה הזו הגיעה למיליארד. משפט פרמה בכללותו הוכח בדרכים אלו עד לערכים גבוהים יותר ממיליארד, ומקרה 1 של המשפט, עד לערכים גבוהים הרבה יותר.

 

 

 

יטעה מי שיחשוב שהוכחת ויילס, הקובעת את אמיתות המשפט לכל ערך אפשרי, תעצור את פיתוחן של דרכי ההוכחה החישובית מהסוג שתיארתי כאן. העניין בפיתוח שיטות החישוב חדשות ומשוכללות והפעלתן על שאלות שונות בתורת המספרים, במיוחד בהקשר של תכונות של מספרים ראשוניים מסוגים שונים, הוא חזק ומבוסס דיו שמתמטיקאים ומדעני מחשב רבים וטובים ימשיכו לחקור אותו על היבטיו השונים, גם לאחר שידוע שהמשפט הוא נכון עבור כל מספר אפשרי.

 

סיכום: משפט פרמה כבעיה מתמטית חשובה ... רק בסוף הדרך

 

כסיכום, ברצוני לחזור אל הילברט ולשאלת הבעיות החשובות במתמטיקה. לסוגיה הזאת נדרש גם בארי מייזר ב-1991, שנתיים טרם היוודע הצלחת מאמציו של ויילס להוכחת טאנייאמה-שימורה. בהזדמנויות שונות הדגיש מייזר את התפקיד ההולך וגובר של השערות מרכזיות במתמטיקה של המאה העשרים וראה בכך תופעה ייחודית למאה הזו, וחסרת תקדים בתולדות הדיסציפלינה.

 

את השערת טאנייאמה-שימורה הוא ציין במיוחד, כהשערה המשחקת "תפקיד סטרוקטורלי עמוק ביותר בכל דרך החשיבה שלנו, ובציפיותינו בתחום האריתמטיקה". ההשערה נראתה כבר אז כבעלת השלכות רבות, שאחת מהן היא המשפט האחרון של פרמה. עליו אמר מייזר את הדברים הבאים:

 

המשפט האחרון של פרמה תמיד היה יקירם של המתמטיקאים החובבים, וכפי שהדברים עומדים היום, נראה שהם צדקו בהתאהבותם בו: על אף שטרם נמצא לו פתרון, הוא שימש השראה לכמות נכבדת של מתמטיקה מהשורה הראשונה. על אף העובדה שאין לו ולו שימוש אחד (אפילו בתוך תורת המספרים!), יש לו בכל זאת תרומה משיקית מעניינת אחת לתרום לתורת המספרים: אמיתות המשפט תיגזר מתוך השערות חיוניות ומרכזיות ביותר לתחום כולו. על אף שהוא לא יהיה יחיד בכך, המשפט האחרון של פרמה ישמש "מבחן" מעניין באופן לא שגרתי עבור ההשערות הללו.

 

ובכן, לאחר כל ההיסטוריה הארוכה של המשפט, ורגע לפני האופוריה הגדולה שתלווה את הישגו של ויילס, מייזר מתאר את מצב העניינים בצורה קולעת ביותר ומפתיעה בפשטותה, שמעמידה את חשיבותו המשיקית בלבד של משפט פרמה במסגרת הראויה.

 

אין זאת שהשערת טאנייאמה-שימורה חשובה משום שהיא מאפשרת להוכיח את המשפט האחרון של פרמה, אלא ההיפך המוחלט. המשפט האחרון של פרמה מתגלה אחרי כל השנים הללו, שבהן מי שייחס לו חשיבות עליונה היו בעיקר החובבנים, כמוצג מתמטי בעל משמעות רבה בגלל מה שהוא עושה להשערת טאנייאמה-שימורה!

 

אבל הסיפור לא נגמר כאן: בסוף המאמר מייזר מקדיש עמוד וחצי בלבד, כדי להפיג את סקרנותו האפשרית של הקורא, להסביר את הקשר בין ההשערה לבין הוכחת המשפט, ואגב כך הוא מזכיר שהשערת טאנייאמה-שימורה איננה אלא חלק קטן מתוך תוכנית מחקר רחבה ביותר, המכונה "תוכנית לנגלדנס" (Langlands Program).

 

גם כאשר הוכחת טאנייאמה-שימורה בגרסתה המלאה פורסמה ב-1999, המתמטיקאים המעורבים בעניין דאגו להדגיש שהישגו של ויילס מקבל את מלוא משמעותו כאשר רואים אותו במסגרת תוכנית לנגלנדס. ויילס פיתח כלים הם הדגישו שהעשירו את התחום באופן מהותי ושיעסיקו את החוקרים "עד סוף המילניום" החדש.

 

תיאור של תוכנית לנגלנדס היא הרבה מעבר לענייננו במאמר זה, אבל אפשר להסתפק כאן בציון נקודה מעניינת הקשורה בו: קיימים קשרים משמעותיים בין תוכנית לנגלנדס והבעיות בהן היא עוסקת לבין חלק מן הנושאים שהילברט העלה ברשימת הבעיות שלו ב-1900, ובמיוחד בבעיה מספר 12 שבה. בעיה 12 הרחיבה רעיון מקורי של קרונקר תוך נגיעה בקשר שבין פונקציות אליפטיות לבין מספרים אלגבריים. האמירה הבאה מיוחסת להילברט ב-1932 בקשר לבעיה הזו:

 

תורת המכפלות המרוכבות של הפונקציות האליפטיות המודלריות מאפשרת קשר הדוק בין תורת המספרים לבין האנליזה המתמטית. היא מהווה את אחד החלקים היפים ביותר, לא רק של המתמטיקה אלא של המדע בכללותו.

 

באופן כללי יותר, החיפוש אחר קשרים עמוקים ובלתי צפויים בין תורת מתמטיות מרוחקות-לכאורה היה אחד מתווי ההיכר של עבודת הילברט והוא שימש לו קריטריון ראשון במעלה לגבי איכותן של עבודות מתמטיות בכלל. בשל כך, אין כל ספק שהשערת טאנייאמה-שימורה היתה זוכה לתשומת לב עמוקה מצידו של הילברט, אילו זכה להכיר אותה, ושבסוף הדרך הוא היה מצטרף בשמחה לחגיגות לציון הישגו של ויילס: קודם כול בגלל הצלחתו בהוכחת טאנייאמה-שימורה, ורק במקום השני בגלל ההשלכה על הוכחת המשפט האחרון של פרמה. הוא בוודאי גם היה שמח לוותר סוף-סוף על התרנגולת המטילה ביצי-זהב.

 

• לחלק ראשון של המאמר לחצו כאן
• לחלק שני של המאמר לחצו כאן
• לחלק שלישי של המאמר לחצו כאן
• לחלק רביעי של המאמר לחצו כאן
• לחלק חמישי של המאמר לחצו כאן
• לאתר של ליאו קורי לחצו כאן

 

ד"ר ליאו קורי הוא ראש המכון להיסטוריה ולפילוסופיה של המדעים והרעיונות ע"ש כהן באוניברסיטת תל-אביב. עיקר מחקרו ופרסומיו עוסקים בהיסטוריה והפילוספיה של המתמטיקה המודרנית. ד"ר קורי עורך את כתב העת Science in Context אשר רואה אור ב- Cambridge University Press.