המשפט של פרמה באמת חשוב?

לכתבה באתר של ליאו קורי לחצו כאן

לחלק הראשון של המאמר לחצו כאן

הילברט ציין בהקדמה להרצאתו עוד שתי בעיות מפורסמות: בעיית פרמה, שעומדת במוקד דיוננו כאן, ו"בעיית שלושת הגופים". בעיה אחרונה זו עלתה עוד בתקופת ניוטון ואחר-כך הוסיפה להתחדד, במסגרת פיתוח המכאניקה השמימית שנובעת מן הפיזיקה הניוטונית, במיוחד בידיו של ליאונרד אוילר (Leonhard Euler 1707-1783) במאה הי"ח.

הבעיה קשורה בתיאור המסלול של גופים הנתונים לחוק הגרוויטציה של ניוטון: כשמדובר בשני גופים בלבד, הפתרון המתמטי של הבעיה הוא פשוט למדי. כשמדובר בשלושה גופים הבעיה מסתבכת עד מאוד, ומתמטיקאים רבים היו מעורבים בניסיונות לפתור אותה. שנים מעטות לפני ההרצאה של הילברט, הצליח פואנקרה לפרוץ דרך באופן משמעותי בפתרון הבעיה, לפחות למקרים מיוחדים חשובים, וזה היה רק אחד מתוך הישגיו הרבים שהקנו לו את מעמדו הרם בין עמיתיו.

בפתרון של פואנקרה היו טמונים גם הזרעים ליצירתם של תחומים מתמטים רבים וחשובים, חלקם בפריחה עד עצם היום הזה. ביניהם ניתן להזכיר את אלה הקשורים במה שמכונה "תורות הכאוס" ואשר זכו אף הם לפופולריות בקרב ציבור רחב באמצעות ספר מצליח, "כאוס" מאת ג'יימס גליק. הדוגמה של בעיית שלושת הגופים היתה אם כן קולעת מאוד מנקודת מבטו של הילברט, על אף שב-1900 הוא היה רחוק מלדמיין את התפתחויות הרבות והמעניינות שיבואו בעקבות תרומה זו של פואנקרה.

בעיות שונות במהותן

שתי הבעיות שהילברט מזכיר כאן שונות במהותן: בעוד בעיית פרמה היא "המצאתה החופשית של הרוח האנושית בתחום המופשט של תורת המספרים", הרי שבעיית שלושת הגופים היא בעיה יסודית של עולם הטבע. מדובר בשני סוגי מקורות ומוטיבציות שונות לחלוטין, ובשני המקרים הם מובילים לבעיות שהמתמטיקאים רואים כחשובות, כל אחת בדרכה. ההתמקדות בבעיות כגורם מרכזי בהתפתחות המתמטיקה מוביל את הילברט לנסח את הקרֶדו שלו, ה"אני מאמין" הידוע שלו לגבי המתמטיקה והמדעים:

מקור הבעיות במתמטיקה הוא בלתי נדלה וכל בעיה שמגיעה לפתרונה מפָנה את מקומה לבעיות רבות אחרות. האמונה ביכולתנו לפתור כל בעיה מתמטית היא אחד המניעים בעלי העוצמה הרבה ביותר עבור החוקר. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה הנצחית: הנה לך בעיה, חפש את פתרונה, אתה יכול למצוא אותה בכוחה הטהור של תבונתך ותו לא, שכן במתמטיקה אין "לעולם לא נדע".

לא לחינם רצה הילברט להדגיש את אמונתו באי-קיומו של Ignorabimus (לעולם לא נדע) במתמטיקה. בשליש האחרון של המאה הי"ט נשבו בין פילוסופים ומדענים לא מעטים באירופה רוחות של פסימיזם אינטלקטואלי ושל הטלת ספק באשר ליכולתו של המדע להתמודד עם שאלות יסוד של הכרת העולם הסובב אותנו.

איננו יודעים ולעולם לא נדע

הפיזיולוג הגרמני החשוב אמיל דובואה ריימונד (Emil du-Bois Reymond 1818-1896 ) טבע ב-1872 בהקשר זה את הביטוי הלטיני ignoramus et ignorabimus ("איננו יודעים ולעולם לא נדע") שזכה לפופולריות רבה כביטוי קולע למי שטען למוגבלותו של המדע. הילברט, לעומתו, היה אופטימיסט ללא תקנה ביחס ליכולתו של המדע, ובוודאי של המתמטיקה, ולא החמיץ הזדמנות כדי להדגיש זאת. בוודאי שגם הכינוס הבינלאומי של 1900 שימש מסגרת נאותה להעברת המסר.

כדי להבין את תמונת המתמטיקה של הילברט ב-1900 כפי שהיא משתקפת בהרצאתו בפריז, עלינו לבדוק באופן מדוקדק ומפורט את הבעיות שהוא מציג ברשימה. ברם, בדיקה כזו תחרוג ממוקד העניין שלנו כאן, והקורא המעוניין יכול למצוא ספרות רבה שדנה בעניין.

אציין כאן רק נקודה אחת, חשובה מאוד לענייננו: הילברט היה מתמטיקאי רב-גוני שהשאיר אחריו תרומות מרכזיות בתחומים רבים, ומרוחקים זה מזה בדיסציפלינה כולה; אבל אם ניתן להצביע על תחום אחד שבו הוא הצטיין מעל לכול, ואשר מחבר במידה רבה בין מירב החלקים שבכל עיסוקיו, הרי שזה התחום של תורת המספרים.

בעיות לתורת המספרים

ואמנם, ברשימת 23 הבעיות מ-1900 אנו מוצאים לא פחות מאשר שש בעיות הנוגעות באופן ישיר לתורת המספרים, ועוד כמה שנושקות לו. משום כך, קשה להתעלם מן ההפתעה הגדולה שמצפה לנו בהקשר הזה: הוכחת המשפט האחרון של פרמה, הגם שהוזכרה בהקדמה של הילברט כדוגמה לבעיה ראויה, אינה מופיעה בין 23 הבעיות החשובות של הילברט למאה החדשה!

יתרה מזאת: מבין הנושאים הרבים שבהם עסק הילברט במשך בקריירה הרב-גונית שלו, ובין התרומות הרבות שלו לתורת המספרים על ענפיו השונים, הוא לא תרם תרומה משמעותית אחת לשאלת משפט פרמה, וככל הידוע מעולם לא הקדיש מאמצים כנים לפותרה. קשה להתעלם, אמרנו, אבל סינג דווקא מצליח בקלות להתעלם מכך בספרו, על אף שהוא מספר על רשימת הבעיות ומדגיש את חשיבותה.

מדוע לא כלל הילברט את הוכחת משפט פרמה ברשימתו מ-1900? מדוע הוא לא עסק במשפט פרמה? מה אנו למדים מכך על הילברט, על הבעיה הזו, ועל בעיות מתמטיות חשובות בכלל? הילברט היה אדם ססגוני מאוד, שאגדות רבות ומפורסמות נרקמו סביבו. שתי אגדות כאלה, שנוגעות למשפט פרמה, ראויות לאיזכור כאן.

למה להשקיע בכישלון?

אגדה אחת, שאותה מביא סינג בספר ובעקבותיו רבים חזרו עליה במסגרות שונות, מספרת כי כאשר נשאל הילברט מדוע לא ניסה הוא בעצמו להוכיח את המשפט, השיב: "לפני שאתחיל, עלי להשקיע כשלוש שנים של לימוד אינטנסיבי, ואין לי זמן רב כל כך לבזבז על מה שרבים סיכויו להיכשל".

אם אמנם אמר הילברט כדברים האלה, טעות יהיה לפרשם (כפי שעושה סינג) כאילו פחד הילברט מן הקושי של הבעיה וכאילו בשל כך ויתר על הניסיון להתמודד איתה. לא חסרות דוגמאות של בעיות קשות עד מאוד שבהן הילברט השקיע הרבה יותר משלוש שנים מחייו.

כך למשל, פריצתו הגדולה של הילברט בשמי המתמטיקה הושגה ב-1888 כאשר הוא הצליח להוכיח באופן מבריק ומבטיח משפט יסודי בתורת האינוואריאנטים האלגבריים, שהעסיק ותסכל משך שנים רבות את מיטב המומחים בתחום. דוגמאות אחרות: פתרון בעיית וארינג (Waring) בתורת המספרים ב-1909 (היא היתה בלתי פתורה מאז 1770).

עקשנותו של הילברט

כן פתרון למשוואת בולצמן ב-1912, ניסוח משוואות השדה בתורת היחסות הכללית לאחר שנים רבות של מאמץ אינטנסיבי מצד אינשטיין וכמה מחבריו להגיע אליהן. לא איש כהילברט, אשר שלל אפשרות של ה- ignorabimus במתמטיקה, יירתע מבעיה רק משום שאחרים נכשלו בה. היפוכו של דבר: מכך הוא יכול היה לשאוב רק עידוד ומוטיבציה ישירה.

אגדה אחרת מתייחסת לפרס הכספי שהוצע ב-1906 למי שיוכיח את משפט פרמה, ושעצם קיומו היה לאגדה לא פחות נפוצה מאשר הסיפור על משפט פרמה עצמו. הפרס, בגובה מאה אלף מארק דאז, נתרם כקרן ע"י יהודי-גרמני בשם פול וולפסקהל (1856-1906 Paul Wolfskehl), בן למשפחה אמידה של בנקאים. על פי הסיפור המקובל, שגם סינג שב ומזכיר בספרו, סיבת התרומה היתה קשורה לאהבה נכזבת שבעקבותיה שקע וולפסקהל בדיכאון עמוק עד כדי החלטת התאבדות.

וולפסקהל המדוכא לא מימש את תכנית ההתאבדות רק משום שבשעותיו האחרונות החל לדפדף בספרים העוסקים בניסיונות ההוכחה של המשפט, וכך שקע בהתעניינות הולכת וגוברת בהן, מה שבסופו של דבר הציל את חייו. על פי אותו סיפור, הקרן נתרמה לאוניברסיטת גטינגן, בה פעל הילברט, כאות הוקרה למתמטיקה ולמשפט עצמו שהציל את חיי וולפסקהל.

המשפט תרם להתפתחות הפיזיקה

ובכן, הילברט היה ממונה על קרן וולפסקהל ועל רווחיה, והוא עשה בהן שימוש משכיל לצורך ארגון כנסים חשובים בעירו, שרובם עסקו בפיזיקה תיאורטית, וחלקם היו ממש לאבני דרך בהיסטוריה של הפיזיקה בתחילת המאה העשרים. חשוב להדגיש, אם כן, שלמשפט האחרון של פרמה היתה תרומה חשובה ובלתי-צפויה, להתפתחות הפיזיקה המתמטית בתחילת המאה העשרים – וזו אמת לאשורה.

האגדה השנייה, שמסבירה מדוע לא ניסה הילברט להוכיח בעצמו את המשפט, מייחסת לו את התשובה המפורסמת: "למה לי לשחוט את התרנגולת המטילה ביצי הזהב?" כלומר: הילברט לא היה מעוניין, כביכול, שהבעיה תיפתר וש"ביצי הזהב" דהיינו, הכספים שהניבה קרן וולספקהל ייעלמו מידיו.

גם את המשפט הזה ייתכן כי הילברט אמר, אבל קשה מאוד להעלות על הדעת מצב שבו נפשו המתמטית של הילברט חשקה מאוד לעסוק בבעיה, ושִׂכלו האדמיניסטרטיבי מנע זאת ממנו. הטענה שמתמטיקאי כמו הילברט העדיף לא לפתור את "הבעיה החשובה ביותר בתחומו", כביכול, רק כדי להבטיח מקור הכנסה לפרוייקטים אחרים שרצה לקדם לא פחות אבסורדית מאשר הסברה שהוא ניסה לפתור את הבעיה רק משום שהוא היה זקוק לכסף של הפרס.

החשיבות לא מצדיקה מאמץ

הסקירה שאציג בהמשך תראה שאם הילברט לא הקדיש מאמצים ניכרים להוכיח את משפט פרמה, הרי שהסיבה לכך היתה פשוטה וברורה: הילברט לא סבר שהחשיבות האמיתית של הבעיה מצדיקה מאמץ כזה. אבל כדי להבהיר מעט בשלב זה את ההקשר הרחב יותר של רשימת הילברט, ושל מיקומן של בעיות חשובות, חשוב להתייחס לאחת הבעיות שהוא כן כלל, ואשר כבר הוזכרה לעיל, בעיית רימן.

המשפט של פרמה

כמו בעיית פרמה, גם בעיה זו קשורה בהשערה הנוגעת למספרים השלמים. בעיית רימן עלתה מתוך עבודתם של מתמטיקאים גדולים כגון אוילר, גאוס (Carl Friedrich Gauss 1777-1855), דיריכלה (Peter Lejeune Dirichlet 1805-1859) וְרימן (Bernhard Riemann 1826-1866), והיא העסיקה בהמשך מתמטיקאים בולטים אחרים שניסו בה את כוחם. כמו בבעיית פרמה, גם במרכזה של בעיה זו עומדת תבנית מספרים, המכונה במקרה הזה "פונקציית זטא":

רימן הראה כי קיים קשר הדוק בין המיקום של אותם מספרים s שעבורם הפונקציה הזאת שווה 0, לבין השאלה של התפלגות המספרים הראשוניים. חשוב לציין שהפונקציה מקבלת ערכים s שהם מספרים מרוכבים, וגם ערכי הפונקציה עצמה הם כאלה.

הנחת העבודה של רימן

זו עובדה מעניינת כשלעצמה, שכן מתברר שכדי לברר אחת השסוגיות המרכזיות הקשורות במספרים הראשוניים, שהם מספרים שלמים, אנו נעזרים בתחום של מספרים שלכאורה אין קשר נראה לעין בינם לבין השלמים. העבודה החשובה של רימן בתחום הזה התבססה על ההנחה שכל הערכים s המאפסים את הפונקציה יהיו מהצורה s = ½ + ai. כאן i מייצג את השורש הריבועי של 1- ואילו a מציין מספר ממשי כלשהו. השערת רימן, אם כן, היא הטענה שפוקנציית הזטא מתאפסת רק על ערכים של s שהם מהצורה הנ"ל.

הוכחת השערת רימן תחדיר סדר ויציבות בלתי צפויים לעולם הכאוטי לכאורה של המספרים הראשוניים. כל מתמטיקאי שהיה נדרש היום לחבר רשימה דומה לזו של הילברט ב-1900 היה כולל בה, ללא צל של ספק, את השערת רימן (ואכן היא כלולה ברשימה של מכון קליי משנת 200, לדוגמה).

בספרים שהזכרתי לעיל ימצא הקורא הסקרן תיאור מקיף של מסכת המאמצים המעניינים שנעשו ב-150 השנה האחרונות כדי להתמודד עם ההשערה, ויבין את מקור היוקרה שלה כבעיה מתמטית לא פתורה. אבל בתקופתו של הילברט הבחירה לא היתה מובנת מאליה באותה מידה ולו בשל מספר השנים הלא רב יחסית שבהן ההשערה היתה ידועה.

בעזרת רימן לפתור את גולדבך

הנה כי כן, הילברט ניצב בפני שתי בעיות לא פתורות וידועות בתחום דומה תורת המספרים ומחליט לכלול רק אחת מהן ברשימתו: רק את השערת רימן ולא את הוכחת משפט פרמה. האם ניתן ללמוד מכך משהו על הבנתו לגבי חשיבותן של בעיות בכלל? ובכן, הילברט עצמו ציין בהרצאתו ש"לאחר דיון מעמיק בנוסחת רימן למספרים ראשוניים נוכל אולי יום אחד לפתור בצורה מדויקת את בעיית גולדבך."

הכוונה כאן להשערה נוספת, לא מוכחת עד היום, בתחום תורת המספרים, שהועלתה ב-1742 על ידי המתמטיקאי כריסטיאן גולדבך (Christian Goldbach 1690-1764). על פי ההשערה, כל מספר זוגי ניתן לכתיבה כסכום של שני מספרים ראשוניים. הילברט הצביע כאן על מדד מובהק לחשיבותה של בעיה מתמטית, דהיינו, הרלוונטיות שלה לפתרון ולהבנה של מספר רב ככל האפשר של בעיות ותחומים מתמטיים אחרים.

לגבי הבעיה הבאה ברשימתו הילברט הוסיף וציין שהיא "לא פחות חשובה ומעניינת ואף בעלת תחום חלות רחב עוד יותר". כאמור, הילברט כלל ברשימה עוד בעיות שקשורות בתורת המספרים, וביניהן "חוקי ההדדיות מסדר גבוה", "מציאת קריטריון לפתרון אלגוריתמי של משוואות דיופנטיות" (כלומר משוואות שפתרונן מספרים שלמים בלבד), ובעיה אחרת בתחום המכונה "תבניות ריבועיות". כלומר: תורת המספרים תופסת מקום מרכזי בעולם שהילברט רוצה להציג כאתגר למאה החדשה, ובמרכזו ניצבות מספר בעיות חשובות, אבל הוכחת משפט פרמה איננה אחת מהן.

המון מאמצים, המון תוצאות

מעניין להיווכח שאפילו במבט לאחור, לאחר הוכחת ויילס וכפי שהדברים נראים היום, הילברט הוכיח חוש מידה מאוזן ביותר בעת בחירתו. אם בוחנים את התפתחות בעיית רימן לאחר 1900, אנו מבינים שהמאמצים שהושקעו בה הובילו לתיאוריות ולרעיונות רבים ומגוונים. ויותר חשוב: יש היום מספר רב של תוצאות שתלויות בנכונותה של השערת רימן.

כלומר, ההשערה היא יסוד ונקודת מוצא לתחום נרחב של רעיונות מתמטיים נוספים. הדבר גם נכון, ולעתים במידה רבה יותר, לבעיות האחרות שהילברט כלל ברשימתו (למשל בעיית 10, העוסקת באפשרות של מציאת אלגוריתם כללי לפתרון כל משוואה דיופאנטית נתונה). משפט פרמה, לעומת זאת, מציג תמונה אחרת, אותה אפרט בהמשך.

רשימת הבעיות של הילברט הציתה את דמיונם של מתמטיקאים רבים אז, וגם היום היא מוזכרת לעתים קרובות. כמו בכל פרק אחר בתולדות המתמטיקה חשוב לנתח את המעמד האמיתי של הרשימה באופן שקול ולתת לה את ערכה האמיתי ואת הכבוד המגיע לה, אבל גם להבין את הקשרה האמיתי ולשפוט אותה שיפוט מאוזן.

התאמת קריטריונים

מבלי שאנסה לעשות זאת במאמר הזה, חשוב לציין, למשל, שלא כל אחת מעשרים ושלוש הבעיות שברשימה תאמו את הקריטריונים של הילברט עצמו לבעיה חשובה. גם אמירתו של הילברט המצוטטת לעיל, שעל פיה תורה מתמטית, או בעיה, לא תיחשב לשלמה אם לא ניתן להסבירה לאדם הראשון שתפגוש ברחוב, תואמת מעט מאוד מן הבעיות שברשימה, והיא דווקא נכונה מאוד לגבי בעיית פרמה.

כוונתי היא לניסוח הבעיה, אבל בשום אופן לא להוכחת ויילס, שהבנתה דורשת מטען כבד מאוד של מתמטיקה רלוונטית וזמן פנוי בכמויות נכבדות כדי לרדת לסוף דעתו. אולי זו בעצם הסיבה מדוע הילברט הזכיר את בעית פרמה בהקדמה, על אף שהוא לא כלל אותה ברשימה עצמה. גם בהסתכלות לאחור לא כל הבעיות התבררו כחשובות באותה מידה, על פי כל קריטריון שנרצה לאמץ.

אתגר לדורות הבאים

כדי לסיים פרק זה ברצוני להצביע על כוחה ומעמדה של רשימת בעיות דוגמת זו של הילברט כעבור מאה שנים. אחד האתגרים שהילברט קבע לדורות הבאים בעצם ניסוח הרשימה שלו הוא הצורך לנסח רשימה דומה עם תחילת המאה הבאה. מכיוון שבשנת 2000 דובר בעצם בתחילת המילניום, ולא סתם של עוד מאה, הרי שהאתגר התברר כמכובד ומחייב שבעתיים.

מבין הניסיונות שנעשו בעניין הזה, הבולט והמוכר מכולם הוא זה של שבע הבעיות שנכללו ברשימה של מכון קליי. שלוש עובדות חשובות מבדילות בין שתי הרשימות, זו של הילברט ב-1900 וזו של מכון קליי בשנת 2000. העובדה הראשונה היא שבעוד הילברט חיבר לבדו רשימה בעלת תוקף גורף עבור המתמטיקה כולה, בשנת 2000 נדרשו מספר מתמטיקאים בולטים כדי לחבר רשימה בעלת תוקף וסמכות מקצועית דומים.

העובדה השנייה קשורה בפרס הגבוה שיינתן לפותרים, רעיון שהילברט לא העז לעלות על דעתו. העובדה השלישית היא המהירות שבה הרשימה הזו הפכה נחלתם לא רק של הקהילה המתמטית כולה, אלא של קהל עצום ורב של ציבור מתעניין, ללא זיקה מקצועית ישירה למתמטיקה.

עדויות לשינויים בדיסציפלינה

שלוש עובדות אלו מעידות כאלף עדים על השינויים העמוקים שחלו במאה השנים שחלפו בדיסציפלינה המתמטית, במעמדה הפנימי והציבורי, ובהקשר החברתי הרחב יותר שבה היא פועלת. מגבלות המקום לא מאפשרות לערוך כאן השוואה על מהות הבעיות והרכבן, מה שיכול להאיר היבטים מעניינים נוספים של ההתפתחות הזו.

כמו כן, רק העתיד יגלה אם לרשימה של מכון קליי תהיה השפעה דומה לזו שהיתה לרשימת הילברט. אבל בינתיים ניתן לקבוע בוודאות שמה שנותר משותף להילברט ולחברי הועדה של שנת 2000 היא ההבנה של מרכזיותן של בעיות לא פתורות לפיתוח הולך ונמשך של תורות ורעיונות מתמטיים, ושל המתמטיקה כולה כדיסציפלינה.

ד"ר ליאו קורי הוא ראש המכון להיסטוריה ולפילוסופיה של המדעים והרעיונות ע"ש כהן באוניברסיטת תל-אביב. עיקר מחקרו ופרסומיו עוסקים בהיסטוריה והפילוספיה של המתמטיקה המודרנית. ד"ר קורי עורך את כתב העת Science in Context אשר רואה אור ב- Cambridge University Press.