איך הפך משפט פרמה לכזה חשוב?

הגיע, אם כן, הזמן, להגיד משהו קונקרטי יותר על משפט פרמה ועל תולדות הניסיונות להוכיחו. אסקור עתה בקצרה כמה אבני דרך מרכזיות בסיפור, ומיד יתברר שמאז כתב פרמה בשולי ספרו, מעט לאחר 1630, ועד 1984, כמות המחקרים החשובים שכללו תרומה שקשורה ישירות לבעיית פרמה היתה מועטה יחסית.

לעומת זאת כמות ההוכחות השגויות והמופרכות שנוסחו בידי חובבים, ולעתים אף בידי מתמטיקאים מקצועיים, היתה גדולה מאוד. יתרה מזאת: נראה שלאורך כל התקופה הזאת, מתמטיקאים מובילים הצהירו הצהרות חד-משמעיות על כך שמדובר בבעיה שולית שחבל לבזבז עליה זמן ואנרגיה.

בסביבות 1630 כתב פרמה את טענתו בשולי הכרך של האריתמטיקה של דיופאנטוס תוך כדי עיון בו, אך, מפאת קוצר היריעה, הוא לא כתב את ההוכחה שהתיימר שהיתה בידו. הדרמה שנוהגים לשַוות לסיפור מתחילה ממש באקט הזה, המוזר מעט בעינינו. אבל חשוב להדגיש מראש שפרמה נהג באופן דומה במקרים רבים.

התוצאה שהפכה למפורסמת כל כך עם השנים לא היתה בשום אופן היחידה (ובוודאי שלא החשובה ביותר מנקודת ראותו של פרמה אז) שאותה רשם בשוליים של ספר. למעט מקרה אחד, פרמה לא פרסם בחייו שום תוצאה מתמטית שאליה הגיע! יתרה מזו, התנהלותו האופיינית בנושאים אלה מובילה אותנו למסקנה אפשרית, שמהר מאוד הוא הבין שההוכחה "הראויה לציון", שאליה התכוון, לא היתה נכונה.

אכן, פרמה נהג לשלוח לעתים תכופות תוצאות מתמטיות חדשות לחבריו, תוך שהוא מאתגר אותם למצוא בעצמם את ההוכחות הדרושות. אלא שדווקא את התוצאה הקשורה במשפטו המפורסם הוא שלח כחידה לחבריו רק עבור המקרים n = 3 ו-n = 4.

לעומת זאת, ככל הידוע ממכתביו, את המקרה הכללי של ההשערה פרמה לא הזכיר מעולם מלבד ההערה הידועה בשולי הספר. ייתכן, אם כן, שאת ההוכחה לשני המקרים הראשוניים פרמה אכן ידע, או חשב שידע, ולא מופרך לשער (אם כי אין לכך סימוכין ישירים) שזמן מה לאחר הרישום בשוליים הוא הבין שאין בידו הוכחה למקרה הכללי.

בין כך ובין כך, ברור שפרמה לא ייחס להשערה הזו מעמד מיוחד, והכינוי "המשפט האחרון" מתברר לעתים כמטעה: אין הכוונה למשפט האחרון שפרמה כתב או רמז לאמיתותו, אלא לטענה האחרונה שנותרה ללא הוכחה מבין השערותיו הרבות.

חלק גדול מהישגיו החשובים של פרמה בתורת המספרים נודעו ברבים בזכות פועלו של בנו סמואל. ב-1670 פרסם סמואל פרמה מהדורה של התרגום לצרפתית של האריתמטיקה של דיופאנטוס, ובה כלל הערות ומכתבים של אביו. סמואל פרמה חשש שאלמלא הפרסום הזה הישגים אלה יפלו לתהום הנשייה.

הודות למהדורה הזו אנו מכירים לא רק את המשפט המפורסם, אלא גם אחרים נוספים. אבל מכל מורשתו של פרמה בתורת המספרים אנו מכירים באופן ישיר רק הוכחה אחת, והיא ההוכחה לטענה הדומה באופיה לטענתו המפורסמת.

הטענה קובעת כי "לא קיימים שלושה מספרים שלמים חיוביים, x, y, z המקיימים את התבנית  z c בחזקת 2 += y בחזקת 2 + x בחזקת 2, ואשר בנוסף על כך, מקיימים את התנאי ש- xy/2 הוא מספר ריבועי (כלומר, חזקה שנייה של מספר טבעי כלשהו)."

תוצאה זאת היא מעניינת לא רק משום שהיא מאפשרת הצצה אל מכלול הבעיות שהעסיקו את פרמה, ושממנו "המשפט האחרון" איננו אלא רק דוגמה אחת, אלא בעיקר משום שממנה ניתן לגזור הוכחה אפשרית למקרה n = 4 של ה"משפט האחרון" (הגם שפרמה עצמו לא כתב הוכחה כזו).

אבל מה שחשוב עוד יותר הוא, שהוכחתו של פרמה הצביעה על דרך כללית שתאפשר לפתור בעיות רבות נוספות בתורת המספרים. המדובר הוא בשיטה שמכונה "שיטת הירידה האינסופית" (infinite descent), המייצגת עיקרון פשוט להבנה, אם כי לא תמיד פשוט להפעלה הלכה למעשה, ושבאמצעותו מוכיחים טענות על מספרים טבעיים, על דרך הסתירה.

נניח שברצוננו להוכיח שתבנית מסוימת לא מתקיימת לעולם עבור שום מספר שלם חיובי m. כדי להפעיל את "שיטת הירידה האינסופית" אנו מניחים שהטענה נכונה עבור מספר שלם חיובי מסוים m ואז מחפשים דרך לגזור, מן ההנחה הזאת, שהטענה בהכרח מתקיימת גם עבור מספר שלם חיובי אחר, m′, שהוא קטן מ-m.

ברור שאם הצלחנו בכך, הרי שבאותה דרך ניתן יהיה למצוא מספר שלם חיובי נוסף m′′, שהוא קטן מ-m′, וכך אפשר יהיה ליצור, כביכול, סדרה אינסופית יורדת של מספרים שלמים חיוביים. הפרוצדורה הזאת מביאה אותנו לסתירה, משום שיש מספר שלם חיובי קטן ביותר, 1, ולכן "סדרה אינסופית יורדת של מספרים שלמים חיוביים" היא סתירה מניה וביה.

ובכן, כאשר יש בידנו הוכחה לגבי המקרה n = 4 מתבררת גם עובדה נוספת, חשובה מאוד אף היא: כדי להוכיח את המשפט בכלליותו, מספיק להוכיח את המשפט עבור המספרים הראשוניים.

אכן, בהינתן מספר שלם חיובי כלשהו m, אילו מצאנו שלושה מספרים שלמים x, y, z המקיימים איקס בחזקת ארבע אם פלוס ווי בחזקת ארבע אם שווה זד בחזקת ארבע אם, הרי שמצאנו שלושה מספרים שלמים xm, ym, zm המקיימים את התבנית של משפט פרמה עבור n = 4, בניגוד למה שהוכח עבור המקרה הזה. נובע מכך, שמשפט פרמה הוא נכון עבור כל חזקהn שמתחלקת ב-4.

מצד שני, אם n > 2, ו-n איננו מתחלק ב-4, הרי ש-n הוא מספר שאיננו חזקה של 2, ולכן הוא מתחלק במספר ראשוני כלשהו p, נניח n = pm. ברור עתה, שעל מנת להוכיח שאין שלושה מספרים שלמים x, y, z המקיימים איקס בחזקת אן פלוס ווי בחזקת אן שווה זד בחזקת אן, מספיק להוכיח זאת עבור איקס בחזקת פי פלוס ווי בחזקת פי שווה זד בחזקת פי.

מעתה ואילך, אם כן, הודות לרעיון של פרמה עצמו ומה שמשתמע ממנו, הוכחת המשפט הכללי מחייב אותנו להוכיח רק את המקרה של המספרים הראשוניים. זה נראה על פניו כצמצום משמעותי מאוד של מרחב האפשרויות להוכחה, אבל עד מהרה התברר שעדיין ההוכחה הכללית של ההשערה היתה רחוקה מאוד.

לאחר פרסום המהדורה ע"י סמואל פרמה ב-1670, ועד 1753, מתמטיקאים כמעט ולא התעסקו בבעיות שפרמה השאיר אחריו, ובאופן ספציפי לא התעסקו כלל במה שנקרא מאוחר יותר "המשפט האחרון".

ב-1753 מופיע אוילר בסיפור. אוילר היה מתמטיקאי פורה באופן שהדעת מתקשה להבין. הוא עסק בכל תחומי המתמטיקה והפיזיקה בתקופתו, ובין היתר גם בתורת המספרים. חשוב לציין שבתקופת אוילר לא היה ממש תחום מובחן שנקרא בשם הזה, "תורת המספרים", אלא אוסף בעיות מורכבות פחות או יותר שנחשבו לחלק מן האריתמטיקה.

השם "אריתמטיקה גבוהה" נשאר בשימוש עד סוף המאה הי"ט (ואף מעבר לזה), אם כי כבר אז ביחד עם המונח המוכר לנו היום "תורת המספרים". אוילר קרא את ספרו של פרמה, ראה שיש שם חומר מעניין, פתר חלק מהבעיות, וחלק אחר לא פתר. הבעיה שמעסיקה אותנו כאן שייכת לחלק שאוילר לא פתר.

במכתב לידידו גולדבך טען אוילר שהצליח להוכיח את המשפט עבור החזקה n = 3. ההוכחה שלו התבררה כשגויה, והבעיה שבה לא ניתנת לתיקון בקלות. ואולם, הרעיונות שדרושים לצורך התיקון אכן מופיעים במקומות אחרים בעבודתו, ולכן יש צדק מסויים באמירה שאוילר הוכיח את המקרה n = 3 של המשפט האחרון של פרמה.

המשפט של פרמה

התחנה הבאה בסיפור מתרחשת ב-1770 בעבודתו של עוד מתמטיקאי בולט מאוד, ז'וזף לואי לגראנז' (Joseph Louis Lagrange 1736 - 1813). כמו אוילר, גם לגראנז' עסק בתחומים רבים ומגוונים, כולל תורת המספרים. הוא הוכיח משפט אחר שפרמה השאיר לא מוכח, שגם בו אוילר ניסה את כוחו ללא הצלחה.

המשפט אומר: "כל מספר שלם ניתן לכתיבה כסכום של לא יותר מאשר ארבעה מספרים ריבועיים." הנה אם כן מצב העניינים לאשורו: פרמה השאיר מאחוריו בעיות רבות, ומסוגים שונים. חלקן נפתרו במהירות יחסית, ואילו חלק אחר דרש זמן רב יותר, אפילו שמתמטיקאים חשובים, כמו אוילר, התמודדו איתן. סינג כותב שאוילר "הודה בכישלונו".

למעשה, לא היתה שום סיבה לאוילר להתמקד בקשיים שמצא דווקא בבעיה הזאת, ולהכריז על כישלון. רק כעבור זמן מה, ככל שניסיונות רבים לא צלחו, בעוד שיתר הבעיות התחילו לקבל פתרון כזה או אחר, התבררה בהדרגה ההשערה הזאת כבעלת משמעות מיוחדת, משמעות שלא קשורה לחשיבות בולטת ומובנת מאליה. כל חשיבותו של המשפט האחרון של פרמה, מכאן ואילך, היתה נעוצה ברצון לפתור בעיה שאחרים נכשלו בה.

איקס בחזקת אן פלוס ווי בחזקת אן שווה זד בחזקת אן אזי אחד משלושת המספרים הנ"ל מתחלק ב-n.

לתוצאה הזו היתה השלכה עמוקה, כאשר היא חילקה את המשפט לשני מקרים נפרדים, שיילוו את תולדות המשפט בהמשך דרכו:

מקרה 1 – אין שלושה מספרים שלמים חיוביים z, y, x אשר מקיימים איקס בחזקת אן פלוס ווי בחזקת אן שווה זד בחזקת אן כאשר אף לא אחד מהשלושה אינו מתחלק מתחלק ב- n מקרה 2 – אין שלושה מספרים שלמים חיוביים z, y, x אשר מקיימים איקס בחזקת אן פלוס ווי בחזקת אן שווה זד בחזקת אן, כאשר אחד ורק אחד מן השלושה מתחלק ב- n.

ההפרדה הזו אפשרה התקדמות משמעותית בהוכחה: ז'רמיין עצמה הוכיחה את מקרה 1 עבור כל הראשוניים הקטנים מ-100, ואילו לז'נדרה הרחיב את הוכחותיה לכל הראשוניים הקטנים מ-197. מקרה 2 התגלה כקשה הרבה יותר. מקרה 2 עבור n = 5 הוכח רק ב-1825 בעבודות נפרדות ומשלימות של לז'נדרה ודיריכלה.

אותו דיריכלה הוכיח ב-1832 את מקרה 2 עבור n = 14, וזאת במסגרת מאמציו להוכיח עבור n = 7. המקרה n = 7 התברר כקשה מעל המצופה וההוכחה שלו הושגה ע"י לאמה (Gabriel Lamé 1795-1870) רק ב-1839.

אנחנו נמצאים כבר 200 שנה לאחר הניסוח המקורי של פרמה, ובידנו לא הרבה יותר מאשר אוסף של תוצאות נפרדות, ומספר טכניקות שפותחו, אם כי לאו דווקא לצורך הוכחת המשפט עצמו. משפט סופי ז'רמיין הוא תוצאה מכובדת וחשובה שהפוטנציאל שלה מתברר מהר מאוד.

כמה מתמטיקאים מתחילים כבר לחשוב שיש פה בעיה משמעותית, אם אחרי 200 שנה עוד לא פתרו אותה. האקדמיה הצרפתית למדעים בפריז הציעה פרס כספי ומדליית זהב עבור ההוכחה, אבל הבעיה הוכנסה לרשימת הפרס הגדול של האקדמיה (Grand Prix) רק ב-1857, אז הוא הוענק לקומר, מסיבות שיתבררו בהמשך.

ההוכחה של לאמה עבור המקרה n = 7 היתה קשה למדי, והיא אולי הראשונה שכללה פיתוח של טכניקות חדשות שנועדו האופן ספציפי להתמודד עם ההוכחה הזו. אותו לאמה יהיה מעורב בפרשת הדרכים המשמעותית ביותר של הבעיה לאורך המאה הי"ט, אשר התרחשה ב-1847 בפריז. אבל לפני שנגיע לפרשה הזאת, עלינו לחזור אחורה ולהסתכל על פועלו של עוד ענק שהוזכר רק ברמז, קארל פרידריך גאוס.

• לאתר של ליאו קורי לחצו כאן 
• לחלק הראשון של המאמר לחצו כאן
• לחלק השני של המאמר לחצו כאן
• לחלק השלישי של המאמר לחצו כאן

ד"ר ליאו קורי הוא ראש המכון להיסטוריה ולפילוסופיה של המדעים והרעיונות ע"ש כהן באוניברסיטת תל-אביב. עיקר מחקרו ופרסומיו עוסקים בהיסטוריה והפילוסופיה של המתמטיקה המודרנית. ד"ר קורי עורך את כתב העת Science in Context אשר רואה אור ב- Cambridge University Press.