המשפט של פרמה באמת חשוב?

לכתבה באתר של ליאו קורי לחצו כאן

"המשפט האחרון של פרמה" היה צירוף מילים מוכר ורב-משמעות עבור מתמטיקאים בכל העולם עוד בסוף המאה הי"ט. מאז 1994 הוא הפך גם לנחלתם של ציבור גדול מאוד של קוראים ברחבי העולם כולו, וביתר שאת אחרי 1997 עם הופעת ספרו הפופולרי של סיימון סינג בשם זה.

סינג עשה שירות בל-ישוער להפצה בקרב קהל רחב ומגוון של ידע מתמטי איזוטרי למדי, השמור בדרך כלל ליודעי ח"ן בלבד. זו סיבה מספקת לשבח אותו על פועלו. יחד עם זאת, קריאה מדוקדקת יותר בספרו חושפת כמה חולשות מעניינות הראויות לביאור והבהרה, ועל כך אנסה לעמוד במאמר הזה.

במאמר אציג את המשפט ואת חלק מהניסיונות להוכחתו בהקשר ההיסטורי שלהם, ובדרך זו אנסה להבהיר סוגיה רחבה יותר הקשורה בו, דהיינו, "מה הופך שאלה כלשהי לבעיה מתמטית חשובה".

הבעיה החשובה ביותר

סינג הציג בפני הקוראים דרמה סוחפת ורוויית מתח, שבמרכזה עומדת "הבעיה החשובה ביותר בתולדות המתמטיקה", כביכול. תולדות המתמטיקה הן פחות דרמטיות ממה שמשתמע מסיפורו של סינג. ואולם, הן הרבה יותר עשירות ומפתיעות.

הודות לסיימון סינג ולאינסוף מאמרי הסקירה שנכתבו על ספרו המצליח, סיפור המסגרת מוכר די הצורך. מדובר בבעיה שנוסחה בתחילת המאה ה-17, על-ידי פייר דה פרמה (1601-1665 Pierre de Fermat), משפטן בהשכלתו, פעיל בפוליטיקה המקומית של עיר מגוריו טולוז, ובעל התעניינות עמוקה ורצינית בתרבות הקלאסית בכללותה ובפרט במתמטיקה של היוונים.

ערב אחד, התעמק פרמה בקריאתו בספר ה"אריתמטיקה" של דיופאנטוס מאלכסנדריה, מתמטיקאי יווני חשוב שחי במאה השלישית לספירה. פרמה הגיע לבעיה פשוטה ויפה, שדיופאנטוס פתר בספרו: "לחלק מספר ריבועי נתון לשני מספרים ריבועיים".

משוואה דיופאנטית

זוהי בעיה טיפוסית המייצגת את אלה שבהן נהג דיופאנטוס לעסוק, דהיינו, בעיה שמטרתה למצוא מספר שלם אחד או יותר, המקיימים תנאים מסויימים. בימינו, משוואה שעבורה יש לחפש פתרונות שלמים בלבד מכונה "משוואה דיופאנטית", ממש לכבודו.

ובכן, בעת שעיין פרמה בבעיה הזו של דיופאנטוס, נחה עליו ההשראה והוא כתב בשולי הספר: "בלתי אפשרי הוא שקובייה תיכתב כסכום של שתי קוביות, או שחזקה רביעית תיכתב כסכום של שתי חזקות רביעיות.

או, באופן כללי יותר, שכל מספר שהוא חזקה גבוהה משתיים ייכתב כסכום של שתי חזקות מאותו סוג." אם נכתוב זאת בסמלים אלגבריים, טענתו של פרמה קובעת שעבור כל מספר n שלם וגדול מ-2, אין שלושה מספרים שלמים z, y, x המקיימים את התבנית: x בחזקת n פלוס y בחזקת n שווה z בחזקת n.

ההערה הנוספת של פרמה

מה שמעניין עוד יותר, ומהווה נקודת פתיחה לכל הסיפור המרתק הזה, היא ההערה הנוספת שפרמה כתב לאחר קביעתו, לאמור: "מצאתי הוכחה ראויה ממש לציון לעובדה הזו, אלא ששולי הספר צרים מלהכילה". הדעה המקובלת היום על הכול היא, שעל אף שפרמה האמין באמת ובתמים שאכן היתה בידו ההוכחה כאשר כתב את הדברים, לא ייתכן שבאמת כך היה.

מילת המפתח כאן היא, כמובן, "שוליים". אילו עמדו לרשותו שוליים רחבים יותר ייתכן שהסיפור כולו לא היה מתקיים. ייתכן שפרמה היה מבין בעצמו, אילו ניסה לכתוב את פרטי ההוכחה, שיש בעיה כלשהי עם מה שנראה לו על פניו כטיעון מתמטי שלם ונכון. מצבים כאלה הם נחלתו היומיומית של כל מתמטיקאי.

ייתכן, לעומת זאת, שאילו כתב את מה שהוא חשב כהוכחה נכונה והדבר היה מתפרסם מאוחר יותר יחד עם ההערה שלו, אחרים היו מבינים מיד את הבעיה שבה. אין לדעת כמובן, ומדובר כאן בשאלת "אילו" שתיוותר לעולם פתוחה. אבל לצורך ההיסטוריה כפי שהיא באמת התפתחה, עלינו לברך על צרות השוליים שעמדו לרשות פרמה.

החלק השני

החלק השני של סיפור המסגרת מתרחש ב-1993 באוניברסיטת קיימברידג' אשר באנגליה, כאשר מתמטיקאי מאוניברסיטת פרינסטון, בשם אנדרו ויילס (Andrew Wiles), הציג בפני קהל של מומחים פעורי-פה הוכחה מקיפה ולטענתו סופית להשערה הישנה של פרמה, לאחר יותר מ-250 שנה לניסוחה.

נכון אמנם, שכעבור זמן מה התברר שהוכחתו של ויילס סבלה מפגם לא טריוויאלי, שדרש תיקון לצורך השלמתה. אבל התיקון הגיע כעבור כשנה, כשויילס נעזר לצורך זה באחד מתלמידיו, ריצד'רד טיילור. ספרו של סינג מספר את קורות המשפט והינסיונות להוכחה, מאז שפרמה הגה אותו קצת אחרי 1630 ועד הצגת ההוכחה המלאה באוגוסט 1994.

הידיעה על הוכחתו של ויילס התקבלה בהפתעה ובשמחה בקהילה המתמטית העולמית. אין בכך תימה. הרבה פחות מובנת מאליה היא העובדה שהדבר התפרסם בעמוד הראשון של הניו-יורק טיימס, בגיליון של ה-24 ליוני, 1993, בכותרת הראשית, בזו הלשון: "At last, shout of Eureka, in Age Old Math Mystery".

סלברטאי ושמו סיימון סינג

ברור שרק אירוע מדעי יוצא דופן יכול היה לזכות לתשומת לב בולטת כל כך, והיה מי שחשב שיש טעם להזדרז ולהציג בפני קהל רחב ככל האפשר פרטים נוספים והסבר שווה לכל נפש על אודות המשפט ותולדותיו. הספר הפופולרי הראשון שיצא לאור בעקבות ההוכחה של ויילס היה ספרו של אמיר אקסל (Aczel) " Fermat's Last Theorem" (1996).

אבל מי שזכה לפרסום הגדול, לתהילה, וייתכן שגם לתמלוגים לא מבוטלים, היה סיימון סינג. ספרו יצא גם כסרט דוקומנטרי עטור פרסים של ה BBC, ומספיק לבקר באתר האינטרנט המושקע שלו כדי להיווכח במעמדו הנוכחי כסלבריטאי.

ההצלחה המסחרית הגדולה של ספרו מציבה תעלומה מסוג אחר עבור היסטוריונים של המתמטיקה, מקצועיים וחובבים כאחד, התוהים עתה איך אפשר לחבר רב-מכר בתחומי העניין האיזוטריים במעט שלהם, כך שיגיעו למחזורי מכירות המתקרבים לאלה של סינג.

לפענח את הסוד

לא רבים יפענחו את הסוד הזה, אבל אין ספק שרבים מנסים בעקבותיו. אכן, בשנים האחרונות ראו אור ספרי פופולריזציה העוסקים בנושאים הקשורים במתמטיקה ובפיזיקה, בתדירות ובכמויות חסרות תקדים.

סינג עצמו הזדרז לנסות שוב את מזלו במחזות, בסרטים, ובספרים נוספים, שהראשון בהם, על אודות תולדות ההצפנה, The Code Book, ראה אור כבר ב-1999, ונמכר אף הוא במחזורים נאים.

בין הנושאים שזכו מיד למספר ספרים, יש אחד הקשור לבעיה לא פתורה נוספת בתורת המספרים, הלא היא "השערת רימן" (Riemann Hypothesis), שעליה נרחיב בהמשך. בין הספרים שעוסקים בבעיה זו ניתן להזכיר The Music of the Primes מאת מרכוס דה סוטוי (de Sautoy), ו-Prime Obsession מאת ג'והן דרבישייר (Derbyshire).

עד כמה הבעיה היא באמת בעיה

בעוד עטיפת ספרו של סינג מכריזה שמדובר בַ"מסע האֶפי אחר הפתרון של הבעיה המתמטית החשובה ביותר" (בעיית פרמה), דרבישייר מציין שבעיית רימן היתה ה"בעיה הבלתי-פתורה הגדולה ביותר של המתמטיקה" (The greatest unsolved problem of mathematics).

אצל הקורא התמים עשויה להתעורר השאלה באיזו מידה אנחנו נמצאים אמנם מול בעיה מתמטית חשובה, בין אם מדובר במשפט פרמה, או בבעיית רימן, או כל בעיה אחרת, ואיך נקבע המעמד הזה המיוחס להן.

שאלה זו מתחדדת עוד יותר לנוכח ספר אחר שראה אור לאחרונה, ובו עיסוק ב"שבע החידות המתמטיות הבלתי-פתורות הגדולות של תקופתנו" (The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of our Time), מאת קית' דוולין (Keith Devlin).

דרך אחרת לעושר

הבעיות שדוולין מתאר בספרו אינן בחירתו החופשית, והכתרתן בתואר המפואר שבספר אף היא איננה פרי יוזמתו של המחבר. מדובר ברשימה שנקבעה בשנת 2000 ע"י ועדת מומחים מטעם המכון קליי למתמטיקה (Clay Mathematics Institute) במסצ'וסטס, ואשר הצמידה תג מחיר עסיסי של מיליון דולר למי שיפתור כל אחת מן הבעיות הנ"ל.

למותר לציין שמי שמחפש דרך מהירה אל העושר מוטב לו שיחפש נתיבים חלופיים, קלים יותר להגשמה (כגון הגרלת הלוטו או השקעה מושכלת בנסדא"ק), ושלא יסתמך על יכולתו לפתור אחת הבעיות הנ"ל. בהמשך עוד ארחיב מעט על הרשימה הזאת ושורשיה ההיסטוריים.

כדי לחתום את הסקירה המקדימה הזאת אזכיר ספר נוסף, העוסק בבעיה השייכת לתחום מתמטי אחר לחלוטין והמכונה "בעיית צביעת המפה" או "בעיית ארבעת הצבעים": "ארבעה צבעים מספקים" (Four Colors Suffice : How the Map Problem Was Solved), מאת רובין וילסון (Robin Wilson).

כמה צבעים למפה?

השאלה שעומדת כאן על הפרק היא האם ניתן לצבוע בצורה "נכונה" כל "מפה אפשרית" בארבעה צבעים בלבד? "מפה אפשרית" פירושה בהקשר הזה כל חלוקת פני כדור לאזורים סגורים, או "מדינות".

"צביעה נכונה" פירושה כאן שאין במפה שתי מדינות בעלות גבול משותף, אשר נצבעו באותו צבע. קל מאוד לראות שישנן מפות שלא ניתן לצבען באופן "נכון" בשלושה צבעים בלבד. כך למשל במפה הפשוטה הבאה:

המשפט של פרמה

עוד ב-1852 הועלתה ההשערה שכל מפה אפשרית ניתנת לצביעה בארבעה צבעים בלבד (וראו: ג'ודי טל – "שאלה של צבע", גליליאו 51, עמ' 60 – 62). מתמטיקאים רבים ניסו את כוחם בהוכחת ההשערה, אבל הוכחה מלאה לכך ניתנה רק ב-1977 ע"י קנת' אפל ו-וולפגנג האקן (Appel Kenneth ו-Wolfgang Haken).

חובת השימוש במחשב דיגיטלי

הפתרון של אפל והאקן היה מעניין לא רק משום שפתר בעיה שעמדה פתוחה שנים רבות כל כך, אלא משום שהוא חייב שימוש במחשב דיגיטלי באחד משלביו המכריעים. לא אוכל לתת כאן תיאור מפורט של הפתרון הזה, ולהשיב לשאלה מדוע פתרון כזה מחייב שימוש במחשב.

אבל חשוב להדגיש שעצם הרעיון של שימוש כזה מעלה שאלות חשובות ומסקרנות על המהות של הוכחה מתמטית בכלל, ולגבי השאלה אם הפתרון של אפל והאקן נכנס לקטגוריה הזו של הוכחה.

בדוגמאות שהזכרתי לעיל, הניסיון להגדיר בעיה כזו או אחרת כבעיה מתמטית חשובה, ואף "החשובה מבין כל הבעיות המתמטיות", מופיע במסגרת מאמצים שיווקיים של ספרי פופולריזציה. אבל השאלה מהי בעיה מתמטית חשובה מעסיקה בהחלט, ובמובנים רבים, את המתמטיקאי הפעיל.

מה הופך בעיה מתמטית לחשובה

המובן המיידי והפשוט ביותר הוא זה הקשור בבחירת בעיית מחקר שבה יחליט כל מתמטיקאי, החל משלב הדוקטורט שלו ולאחר מכן במשך הקריירה כולה, להקדיש את מאמציו. גם היסטוריונים של המתמטיקה מתעניינים בשאלה הזו במסגרת עבודתם.

למשל, כאשר הם מנסים להבין את התהליכים שהובילו לפיתוח רעיונות או תיאוריות שונות. במאמר הזה אדון בקצרה בשאלה מה הופך בעיה מתמטית לחשובה, ואקשור אותה לסיפור על המשפט האחרון של פרמה והניסיונות להוכיח אותו.

במקום שאנסה להגדיר בעצמי בעיה מתמטית חשובה מהי, אתַלה באילנות גבוהים, ואסתמך על דייויד הילברט (David Hilbert 1862-1943), מתמטיקאי גרמני שהיה אחד המשפיעים ביותר על המתמטיקה כולה בתחילת המאה העשרים.

יחד עם הצרפתי ז'ול אנרי פונאקרה (Jules Henri Poincaré 1854-1912), הילברט היה אחרון האוניברסליסטים שיכלו לטעון לראייה מקיפה ושלמה של תחום המתמטיקה ושל קשריו עם הדיסציפלינות השכנות, ובעיקר הפיזיקה.

הילברט נתן את דעתו המפורטת בנוגע לשאלה מהי בעיה מתמטית חשובה בנאום מפורסם שנשא ב-1900 בפני באי הכנס הבינלאומי השני של המתמטיקאים שהתקיים בפריז. כאשר הוזמן לשאת את אחת ההרצאות המרכזיות בכנס, הילברט לא הסתפק בהצגת תמונה מעודכנת של תחום זה או אחר בדיסציפלינה, כמקובל בדרך כלל בהזדמנות החגיגית הזו, אלא העז "להרים את המסך ולהציץ אל העתיד".

23 בעיות

הוא קבע רשימה של עשרים ושלוש בעיות שלדעתו חייבות להעסיק, ויעסיקו, את החוקרים במאה שנפתחה אז. רשימה זו הפכה לציון דרך בתולדות המתמטיקה, ויותר ממתמטיקאי אחד קנה את תהילתו כאשר פתר, או אפילו קידם את הפתרון, לאחת מהבעיות שברשימה.

לא ניכנס כאן לתיאור כל הבעיות שברשימה, אבל מעניינת אותנו דווקא ההקדמה שבהרצאתו של הילברט ובה הסבר כללי על מהותן של בעיות במתמטיקה. הנה מה שהילברט אומר:

קשה להפריז במשמעות העמוקה של בעיות מסוימות למען התקדמותה של המתמטיקה בכלל, ובתפקיד החשוב שהן משחקות בעבודתו של כל חוקר וחוקר. כל עוד ענף מדעי מציע שפע בעיות לפתרון, הרי שהוא חי וקיים. מחסור בבעיות בענף מתמטי מבשר את הכחדתו הקרבה או את עצירת התפתחותו העצמאית.

נשמת אפן של התיאוריות

קשה עד בלתי-אפשרי לנחש אל-נכון מראש מה ערכה האמיתי של בעיה נתונה; ובכל זאת ניתן לתהות אם ישנם קריטריונים כלליים המציינים בעיה מתמטית ראויה לשמה. מתמטיקאי צרפתי זקן אמר: תורה מתמטית לא תיחשב לשלמה ומוגמרת אם היא לא פוּתחה לרמת בהירות כזו שאתה יכול להסבירה לאדם הראשון שתפגוש ברחוב.

ואם נכון הדבר עבור תורה מתמטית הרי שהוא נכון שבעתיים כאשר מדובר בבעיה מתמטית שתיחשב למושלמת, שכן הברור והמובן בפשטות מושכים את תשומת לבנו, בעוד המורכב דוחה אותה. הילברט מצהיר, אם כן, שהבעיות הלא פתורות הן נשמת אפן של התיאוריות המתמטיות.

תורות מתמטיות ראויות לשמן מפותחות כתשתית לפתרון בעיות חשובות ומוגדרות היטב, יותר מאשר כמטרה בפני עצמה. נכון הוא, שלעתים קרובות, הפיתוח עצמו של התיאוריות הללו מוביל לבעיות חדשות שיש להן עניין בפני עצמן. אבל עדיין הילברט לא אמר מה מבדיל בין בעיה חשובה יותר לבין החשובה פחות. את זאת הוא אומר בהמשך:

מגדלור בדרך לאמת

בעיה מתמטית חייבת להיות קשה כדי שתפתה אותנו, אך לא בלתי-מושגת פן היא תלעג למאמצינו. עליה להיות כמגדלור המאיר שבילים מפותלים המובילים אל האמת, וכתזכורת מתמדת לעונג שבפתרון המוצלח. מתמטיקאים של המאות הקודמות היו רגילים להקדיש את עצמם בקנאות ובלהט לפתרון של כמה בעיות קשות מובחרות.

אזכיר כאן רק את בעיית המורַד המהיר ביותר. זו בעיה חשובה מאוד שהציע יוהנס ברנולי (Bernoulli) בתחילת המאה ה-18. "הניסיון מלמד" – הצהיר אז ברנולי – "שהמוחות הנשגבים יתרמו לקידום המדע אם רק יעמדו בפניהם בעיות קשות ובו-בזמן מועילות."

הוא קיווה לזכות בהוקרת העולם המתמטי אם ילך בדרכם של אנשים כמו מרסן (Mersenne), פסקל (Pascal), פרמה, ויוויאני (Viviani) ואחרים, ואם יציב בפני האנליסטים הבולטים של זמנו לאמור: המתמטיקאים בעיה שבאמצעותה יוכלו למדוד כבאבן בוחן את ערכן ואת כוחן של השיטות שאותן פיתחו.

בעיית המורד המהיר ביותר

הנה, אם כן, דוגמה מובהקת לבעיה חשובה, "בעיית המורַד המהיר ביותר": מהו המסלול המחבר בין שתי נקודות נתונות בגבהים שונים, שאותו יעבור בזמן הקצר ביותר כדור המשוחרר בנקודה הגבוהה. ברור שהמסלול חייב להיות קצר ככל הניתן.

ואולם על המסלול הזה לאפשר לכדור לצבור מהירות מספקת תחת האפקט של התאוצה הגרוויטציונית, ולכן המסלול הקצר ביותר האפשרי, כלומר הקו הישר, לא יספק את התשובה הרצויה. מדובר בבעיה כלל וכלל לא פשוטה, והיא נוסחה כאשר החשבון האינפיניטסימלי היה בראשית דרכו.

היא ממש שימשה כאחד המדדים המשכנעים ביותר לגבי כוחן של הטכניקות החדשות שהתפתחו באמצעות החשבון הזה, והיא לא הותירה ספק לגבי יעילותו. יתר על כן, הטכניקה שפותחה על-ידי ברנולי כדי לפתור את הבעיה יצר בעצמה תחום חדש לחלוטין, חשבון הווריאציות, מאתגר מאוד וגדוש בבעיות קשות, שעד היום מספק תעסוקה למתמטיקאים מוכשרים רבים ומשמש כלי מרכזי לפיזיקה המתמטית.

הילברט עצמו הפך לאחד האמנים הגדולים של התחום בתקופתו, וברשימת הבעיות שלו מ-1900 אנו מוצאים גם כאלו העוסקות בשיפור ובחידוד הטכניקות הקשורות בו.

ד"ר ליאו קורי הוא ראש המכון להיסטוריה ולפילוסופיה של המדעים והרעיונות ע"ש כהן באוניברסיטת תל-אביב. עיקר מחקרו ופרסומיו עוסקים בהיסטוריה והפילוספיה של המתמטיקה המודרנית. ד"ר קורי עורך את כתב העת Science in Context אשר רואה אור ב- Cambridge University Press.