לחיות עם האי ודאות

ודאות מלאה קיימת כביכול רק לגבי אירועים בעבר, אך גם תחושה זו אינה מדויקת. ודאות יכולה להתקיים לגבי אירועים, כמו למשל יום הפלישה של כוחות הברית בחוף נורמנדי במלחמת העולם השנייה, או התאריך המדויק שבו הוטלה הפצצה האטומית על הירושימה, אבל אין הסכמה מלאה לגבי תרומתם וחיוניותם של שני אירועים אלה לסיום המלחמה.

העבר משתנה

העדר ההסכמה נובע מהאפשרות לפרש אירועים בדרכים שונות ולייחס להם לפיכך משמעות שונה, ומאחר שמשמעותו של אירוע חשובה בדרך כלל מהכרוניקה שלו, יוצא שאין ודאות בשאלה הכי מרכזית: מהי שרשרת האירועים בעבר האחראית למצב בהווה. העבר משתנה בהתאם למשמעויות שאנו מייחסים לו בהווה; המשמעויות משתנות בהתאם לפירושים הניתנים לאירועים; הפירושים מתחלפים בהתאם לתפיסות חברתיות, פסיכולוגיות, כלכליות והיסטוריות משתנות.

האי ודאות איננה אפוא תקלה פרטית או מקומית בחיי אדם ועמים, אלא תופעה כללית, חובקת עולם, חובקת אפילו אלים. כך, למשל, מההתערבות של אלוהים עם השטן בפרשת איוב מתחייב ששניהם יהיו שרויים בדרגה מסוימת של אי ודאות, זאת כדי למנוע מהם לדעת מראש את תוצאותיה.

התערבות מוצדקת

שכן אם אלוהים היה יודע בוודאות שהוא עתיד לנצח בהתערבות, אזי הסבל הנורא שהוא הסב לאיוב הוא לא רק מפגן סר טעם של אכזריות לשמה, אלא גם מעשה מיותר לחלוטין, כיוון שבהתחשב בידע המוחלט שלו, התערבותו עם השטן מוצדקת אך ורק אם תוצאתה לוטה באי ודאות.

יתר על כן, אלוהים אינו מודע (וגם זה סוג של אי ודאות) לעובדה שהוא נופל במלכודת ערמומית שהשטן פרס לרגליו, המבטיחה מראש את הפסדו גם אם יזכה בהתערבות. שכן אם כדי להוכיח את אמונתו השלמה של איוב בו, כמהות הטוב העליון, עליו לעולל לאיש זה ולבני משפחתו סבל נורא כל כך, אזי מושג הטוב העליון מתרוקן מתוכנו המוסרי, כפי שהשטן אכן טוען מימים ימימה.

כמו בעולם הקוואנטי

תומס הוא צלם אופנה לונדוני מצליח. צילומיו עוסקים לכאורה באריגים ובבגדים, למעשה הם מוכרים לצופים זוהר, מסתורין ופיתוי. כמו העיר תמרה "בערים הסמויות מעין" של איטלו קאלווינו, שהעין לא רואה בה דברים, אלא סמלים של דברים, כך גם עבודתו של תומס: היא הופכת בדים ואנשים לסמלים של משאלות ולמושאים של תשוקות.

הצילומים של תומס

כמשקל נגד לדימוים ולאשליות של עולם האופנה, מכין תומס אלבום שצילומיו עוסקים בעולם הממשי ובאנשים ממשיים: פועלים בבתי חרושת, אביונים בבתי תַמְחוּי, עצמים, נופים ושאר צילומים העוסקים בדברים האמיתיים ולא בסמליהם. בחיפושיו אחרי תמונות טבע יוצא תומס לצלם בפארק עירוני בשעות בין ערביים.

הפארק שומם מאדם, להוציא זוג אוהבים המטייל על כר הדשא. משהו בהתנהגות האשה הצעירה, הדוחפת-מושכת את בן זוגה המבוגר, צד את עינו של תומס. הוא עוקב אחריהם בסתר עם מצלמתו, עד שהאשה מגלה את נוכחותו. היא רצה אליו בבהלה ותובעת ממנו את סרט הצילום. תומס מסרב, אבל בהגיעו לסטודיו ממתינה לו האשה האלמונית, ושוב היא מפצירה בו לתת לה את סליל התשלילים.

צילומים מסתוריים

תחינותיה מעוררות את סקרנותו. הוא מוסר לה סליל אחר ונפטר ממנה. תמיהתו גוברת במהלך פיתוח התמונות במעבדתו. אווירה של מסתורין שורה על התמונות התמימות לכאורה של זוג האוהבים. במיוחד צדה את עינו אחת התמונות שמראה את הזוג מחובק חיבוק אוהבים, אבל ראש האשה מופנה לעבר שיח לשמאלה במבט דרוך ומתוח מאין כמוהו.

מציאות ממשית, לכאורה

תומס חוזר לפארק, למקום הגופה, להוכחה האולטימטיבית, אבל הגווייה כבר לא שם. לכאורה, התצלום שנותר בידו מהווה ראיה למעשה הרצח, שהרי הוא מציג גוויית אדם בפארק. אבל כאשר הוא מראה את התצלום לידידתו, היא נזכרת בציוריו המופשטים של חברה, ביל. תומס נבוך. ביל נהג לומר לו, שציוריו המופשטים מקבלים משמעות בעיניו רק אחרי שהוא מסיים אותם.

כמו נסי מלוך נס

הייתכן שגם הוא מעניק לכתם הלבן משמעות שלא קיימת בהם אלא בעיני רוחו? למה יאמינו לו שהכתם הלבן והמוארך הזה מעיד על מה שבאמת קרה בפארק יותר מאשר הצילום המפורסם והשנוי במחלוקת מלוך נס שהתיימר במשך 58 שנים לשמש הוכחה חותכת לקיומה של המפלצת האגדית באגם?

תומס ניצב מול מגבלה צילומית, שהוא - כצלם מקצועי - היה אמור להכירה: שקיים לא רק גבול תחתון לכושר ההפרדה (רזולוציה) של הצילום, אלא גם גבול עליון, גבול שמעליו חדל התצלום לספק מידע, כי כל הגדלה נוספת אך מרחיקה את כתמי המידע השחורים של התצלום זה מזה ומגדילה את השטח הלבן ביניהן, לובן ריק ממידע ולפיכך לא תורם דבר להבנת האובייקט המצולם.

כמו 400 ירחים

אפשר להמחיש עניין זה על ידי התמונות שהתקבלו מחללית התצפית "קובי", ששוגרה לחלל ב-1989. כל נקודה בתמונות של "קובי" תפסה מקום שווה ערך ל-400 ירחים בגודל הלבנה שלנו. אי לכך, הגדלת התמונות לא יכולה להביא תועלת למי שמחפשים בהם ירחים חדשים או אפילו כוכבי לכת בגודל כדור הארץ שלנו.

שאלת הגבולות

שאלת הגבולות היא עניין מרכזי מאוד, אשר על כן ראוי להתעכב עליו. פעולת ההגדלה כרוכה בדרך כלל לא רק ברווח מידעי, כי אם גם באובדן מידע, משל חוק שימור המידע חל גם על הרחבת הידע שלנו. כך, למשל, הגדלת הרזולוציה של החומר לרמה מולקולרית מאפשרת לנו להכיר טוב יותר את המבנה הפנימי שלו, אבל במחיר אובדן התכונות הייחודיות לו כחומר (צורה, אלסטיות וצבע).

הוא הדין ברמת ההגדלה הבאה, המעבירה אותנו ממולקולות לאטומים. אנו לומדים להכיר את האפיונים הייחודיים לאטומי ברזל, מים, מלח וסוכר, אבל אנחנו מחסירים את התכונות הייחודיות למולקולות שלהם. עובדה, האטומים של נתרן וכלור, שמתרכובתם נוצרת מולקולה של מלח שולחני, אינם מלוחים.

דיאלוג של רווח והפסד

המציאות והמידע מקיימים ביניהם דיאלוג של רווח והפסד בכל רמת הגדלה: האטום מאבד את תכונותיו הייחודיות עם הגדלת ההפרדה לרמת החלקיקים מהם הוא מורכב (האלקטרונים, הניטרונים והפרוטונים). החלקיקים עצמם נדבקים בעמימות שלא הייתה להם ברמה הקודמת, שכן בעולם התת-אטומי האמירה "זה מורכב מזה" אינה בהכרח נכונה, מאחר שמהאנרגיה הגבוהה המתקבלת בהתנגשות בין שני חלקיקים יכולים להיווצר חלקיקים חדשים.

עמימות זו, האופיינית לבעיית הגבולות, הייתה גם מנת חלקו של תומס. ההגדלות (Blow Up) החוזרות ונשנות שעשה בתצלומיו הרחיבו את הכתם הלבן החשוד, אך לא הגדילו את המידע. כרבים לפניו, הוא לא היה מודע לכך שההגדלה האחרונה חצתה את גבול האינמידע.

חוויית האינמידע

גבול זה, מסתבר, קיים בכל הרמות של המציאות הפיסיקלית. טייסים ואסטרונאוטים מתנסים בחוויית האינמידע בשובם מהחלל, שעה שהם צופים מגובה 40 אלף ק"מ בגבולותיהן של מדינות. מגובה כזה, אורך קו החוף של מדינת ישראל הוא כמילימטר אחד; מגובה 20 אלף ק"מ מתחילים לראות את מפרץ חיפה; ככל שמתקרבים, קו החוף מסגיר יותר ויותר מידע על עצמו.

מפרצונים, לגונות, מצוקים, חוליות, עצים ואפילו סלעים. אבל ברמת ההגדלה הבאה בסקירה רגלית של החוף) המקום מתמלא עצמים וצורות שלא נראו בשלב הקודם, אבל במחיר אובדן קו החוף, שכן כל גל המתנפץ בחוף או נסוג ממנו מאריך ומקצר לסירוגין את קו החוף. השלב הבא של ההגדלה, מצב רביצה על החוף, מספק לנו מידע מעניין על גודלם, צורתם, הרכבם וצפיפותם של גרגירי החול, אבל במחיר אובדן הפרספקטיבה של החוף בכלל ושל קו החוף בפרט.

שאלה של קנה מידה

מאזן הרווח והפסד המידעי פועל לא רק בכל שלב משלבי ההגדלה, אלא גם בכל שלב משלבי ההקטנה. במפה בעלת קנה מידה של אחד למיליון, למשל, קו החוף של ישראל עשוי להיות קצר בעשרות קילומטרים מאשר במפה של 1:20,000, זאת משום שבקנה המידה הגדול יותר מופיעים אלפי עיקולים ומפרצונים, אשר בקנה המידה הקטן ממנו פי 50 לא נרשמים כלל. השאלה מהו אורך החוף שלנו היא חסרת מובן, מאחר שהתשובה תלויה בקנה המידה שמשתמשים בו. מסקנה, אורך החוף איננו גודל קבוע.

כאן המקום להציג את הגיאומטריה הפרקטלית, תורה שפותחה בשנות ה-70 של המאה שלנו על ידי המתמטיקאי בנואה מנדלברוט, אשר העניקה לממדים מעמד חדש. הגיאומטריה המלווה אותנו מימי הפיתגוראים היוונים הצמידה ממדים שלמים לצורות הגיאומטריות השונות: לקו ממד אחד, למרובע שניים, לקוביה שלוש.

אבל בטבע אין בנמצא כמעט קווים, מרובעים, משולשים, פירמידות וכדורים בעלי ממדים מושלמים. בטבע, אין עצים הנראים כמו משולשים ירוקים ואין גבעות חלקות כמו חצאי כדורים. בטבע, קווים אינם ישרים, אלא מפותלים. לפעמים מתעקלים סביב עצמם, חזור והתעקל פעמים אינספור, ויוצרים אגב כך שרבוט מקווקו, שרבוט שכבר לא ניתן להגדירו כבעל ממד אחד.

בריטניה הפרקטלית

איך שלא נסתכל עליו, הוא יותר מקו ופחות משטח, ועל כן לא ניתן לבטא את הממד שלו על ידי מספר שלם, אלא במספר ועוד משהו, כלומר פרקטל. כי תכונה אופיינית של צורה פרקטלית היא שהממד שלה מבוטא על ידי מספר לא שלם, כמו למשל קו החוף המפורץ מאוד של בריטניה, העומד על 1.25 ממדים, משהו בין קו לשטח.

אבל פרקטלים הם לא רק קווי חוף, הם גם קווי המתאר המפותלים של עלוות העצים ושל גושי עננים, הם התצורות של פיזור הכוכבים בגלאקסיות ושל פריסת הסימפונונים בריאה, של כלי הדם בגוף ושל תאי העצב במוח. כל הקווים, השטחים והגופים הללו יוצרים צורות ומבנים גיאומטריים המבוטאים בשברי ממדים.

למה הפרקטליות התגלתה כה מאוחר

תמיהה: אם הפרקטליות כה שכיחה בטבע, מדוע גילינו אותה רק בשנות ה-80 של המאה ה-20? למה החזקנו אלפי שנים בדעה השגויה שהטבע בנוי מקווים בעלי ממד אחד, משטחים בעלי שני ממדים ומגופים בעלי שלושה ממדים? ובכן, האמת היא שהממדיות הפרקטלית התגלתה כבר במאה הקודמת, אבל מעבר לעובדה שאיש לא חשב אז על היבטיה המעשיים של תופעה זו, ספק אם ניתן היה לגבש תפיסה פרקטלית ללא סיועם של המחשבים האלקטרוניים.

יתירה מזו. לאדם, מאז עמד על דעתו, היה צורך עז ודחוף להבין את העולם סביבו לא רק בקטגוריות מיתיות, כי אם גם במונחים רציונליים. התנאי להבנה זו הוא פישוט המציאות המורכבת לצורות ולמודלים הניתנים לטיפול מתמטי נוח.

קביעת הפיתגוראים

כאמור, כבר הפיתגוראים קבעו שיש לייחס לקווים, למרובעים ולקוביות ממדים המבוטאים במספרים שלמים. לקביעה זו נודעה חשיבות רבה, מעבר להיבטים היישומיים. כי אם המציאות עשויה מצורות מושלמות בעלות ממדים שלמים, משמע ניתן לחשב בשכלנו את המבנים והצורות המאכלסים אותה והבונים את גופיה, להשליט עליה חוקים לוגיים ואסתטיים ולשלוט באמצעותם בטבע.

לא מקרה הוא שהצורות הראשונות בעלות ממדים חריגים, שיצאו תחת ידם של מתמטיקאים במאה ה19-, כונו "מפלצות" ונדחו כעיסוק אזוטרי, שכן בתכונותיהם המוזרות הם איימו על העולם המסודר, הלוגי והאסתטי של הגיאומטריה הקלאסית, ששורשיה נטועים בחמש האידיאות הצורניות של פיתגורס ואפלטון, ואשר ארבע בהן מזוהות עם ארבעת היסודות של אמפדוקלס (אש, אדמה, אוויר ומים).

רידוד המציאות כאסטרטגיה יעילה

אמנם, תרגום המורכבות הצורנית של הטבע לגיאומטריה של משולשים, ריבועים, קוביות וכדורים מרדדת את המציאות, אבל היא אפשרה לקדמונינו לפתור בעיות מעשיות בתחומי ההנדסה והאסטרונומיה, כמו למשל לחשב מרחקים, למדוד גבהים, לנווט ספינות, לעשות פרצלציות של חלקות אדמה, לבנות מנופים ולחפור תעלות.

יתרה מזו, רידוד המציאות התגלה כאחת האסטרטגיות היעילות והמצליחות ביותר בתולדות החשיבה המדעית, שכן היא ניטרלה את מושא המחקר מטרחנותם של "רעשים" זניחים (כמו למשל השפעת כוח הכבידה על החלקיקים התת-אטומיים הזעירים). תהליך הרידוד סלל את הדרך לבניית מודלים "נקיים" העומדים בדרישות הניסוי, החיזוי והצפייה.

בהתאם לעיקרון הקוסמולוגי

כך, למשל, בהתאם לעיקרון הקוסמולוגי, שנוסח על ידי אינשטיין ופרידמן, היקום הוא הומוגני (דומה בכל מקום) ואיזוטרופי (דומה בכל כיוון). על פי מרקוס צ'ון , שתי סיבות ניצבות מאחורי ניסוח העיקרון הקוסמולוגי. א) קשה מאוד לפתור את המשוואות המסובכות של אינשטיין ביקום לא "חלק". יתר על כן, "אי אפשר לפתור במדויק את משוואות אינשטיין ביקום שהחומר בו מפולג באופן פרקטלי", אומר (שם) האסטרונום סיילוס לאביני. ב) ידיעה קלושה (באותה עת) של המבנים הגדולים המאכלסים את היקום.

אידיאליזציה של הצורות

אסטרטגיית הפישוט קצרה כאמור הצלחה מדהימה, אף שהעלימה את העובדה שהצורות הגיאומטריות הקלאסיות, בעלות הממדים השלמים, הן הפשטות של המציאות ולא המציאות עצמה, הן יצירי דמיוננו ולא ישויות אותנטיות של הטבע, קרי: הן אידיאליזציה של הצורות בעולם המוחשי.

אצל אפלטון האבחנה בין הדברים הנתפסים בתבונה הצרופה לבין הדברים הנתפסים בחושים הייתה גלויה ומפורשת: "מה שנתפס בכוח המחשבה, המסתייעת בהסבר הגיוני, הרי זה קיים תמיד ללא שינוי; ואילו מה שהוא עניין לסברה המסתייעת בתחושה נטולת הגיון, הרי זה המתהווה וכלה, ולעולם איננו קיים קיום של אמת". ("טימיאוס", כתבי אפלטון, יוסף ג' ליבס).

אנשי המערה של אפלטון

יחס זה בין העולם הנקלט בחושינו - המתהווה תמיד, מתכלה ונשחת - לבין עולם ההוויה הנצחי, הבלתי משתנה - שהכניסה אליו היא דרך התבונה הצרופה והמתמטיקה - מקבל ביטוי מקסים במשל המערה של אפלטון. במשל, בני אדם שוכנים במערה תת-קרקעית, כבולים מלידתם בשוקיהם ובצוואריהם באופן כזה שאינם יכולים להסב ראשם לאחור. כל שהם יכולים לראות הוא הקיר שלפניהם.

מאחוריהם, במרחק מה מהם, דולקת אש, ובינה לביניהם עוברים אנשים המוסתרים על ידי חומה, אבל פִּסְלֵי אנשים ובעלי חיים שהם נושאים מעל ראשיהם מוקרנים על הקיר כצללים. מאחר ששוכני המערה לא ראו בימי חייהם אלא את הצללים שעל הקיר, הם מדמים לחשוב שצללים אלה, והצלילים היוצאים כביכול מפיהם, הם הדברים האמיתיים, "הדברים עצמם", ולא העתקים של המקור, כלומר ההשתקפות הפחותה והנחותה שלהם.

• המאמר נכתב בשנת 1989
  

• לקריאה בחלק השני של המאמר לחצו כאן
  

• לקריאה בחלק השלישי של המאמר לחצו כאן