פרדוקס הערמה
האם הוצאה של גרגר חול אחד מערמת חול מסוגלת להפוך אותה ללא-ערמה? אם לא – כיצד ייתכן שאם נתמיד להוציא ממנה גרגר אחר גרגר, אף על פי שאף אחד מהם אינו גורם לשינוי בפועל, בכל זאת נישאֵר בסופו של דבר בלא ערמה?
הפרדוקס
בדומה לפרדוקסים של זנון, גם פרדוקס הערמה הוא פרדוקס עתיק יומין, שהוצג לראשונה במאה ה-4 לפנה"ס על-ידי יוּבּוּלידֶס (Eubulides) ממילֶטוס, שהיה בן זמנו של אריסטו. פרדוקס זה מעלה את התהייה כיצד סדרת שינויים קטנים ובלתי מורגשים מסוגלת להצטבר לשינוי גדול ומשמעותי.
כך, למשל, אם מונחת בפנינו ערמת חול, האם אפשרי הדבר שלאחר הוצאת גרגר חול אחד בלבד ממנה יחדל אוסף הגרגרים להיות ערמה? הדבר נראה בלתי סביר, שכן גרגר חול אחד אינו מסוגל להפוך ערמה ללא-ערמה (וגם להפך: אין זה סביר שתוספת של גרגר חול אחד לאוסף גרגרים, אשר אינו גדול מספיק להיקרא ערמה, יהפוך אותו לפתע לערמה).
אולם, אם לאחר הוצאת גרגר חול אחד מערמת חול, אוסף הגרגרים הנותר מהווה עדיין ערמה, הרי שגם הוצאה של גרגר נוסף ממנו לא תשנה את מעמדו כערמה, וכך גם הוצאת הגרגר הבא, וכן הלאה. אך כאשר נישאר עם מספר גרגרי חול קטן ביותר (נאמר גרגרים בודדים, או אפילו גרגר יחיד), בוודאי שלא נרצה לקרוא למה שנותר ערמה. כיצד ייתכן, אם כן, שהוצאת גרגרי החול מהערמה הפכה אותה ללא-ערמה אם השינוי לא התרחש בפועל אף באחד מהשלבים?
וריאציות על הפרדוקס
פרדוקס זה ניתן להחלה על כל מושג עמום, כלומר, כזה שגבולות החלתו אינם חדים. המושג "ערמה", למשל, הוא מושג עמום, משום שאין מספר גרגרים מוגדר, שממנו ואילך אוסף גרגרים נתון נחשב לערמה. כך גם המושג "קירח": אין כמות מדויקת של שערות, אשר אם ראשו של אדם אינו מתהדר בה, הוא נחשב לקירח. על כן אפשר להחיל את הפרדוקס גם על מושג זה: אם נתלוש שערה מראשו של אדם אשר איננו קירח, אין זה סביר שפעולה זו תהפוך אותו לקירח.
כלומר, תלישה של שערה אחת מראשו של אדם שאינו קירח אינה משנה את מעמדו ככזה. אך אם נמשיך בתהליך, בסופו של דבר מספר השערות על ראשו של אותו אדם יהיה כה קטן (למשל, שערה אחת בלבד), שאיש לא יפקפק בקירחותו. ושוב: איך ייתכן שתלישה של שערה אחר שערה מראשו של אדם הפכה אותו מלא-קירח לקירח, אם אף אחת מהשערות הנתלשות לא גרמה בפועל לשינוי זה? (על כן פרדוקס הערמה נקרא לעתים גם "פרדוקס הקירח".)
באופן דומה, ילד שגדל ביום אחד אינו הופך לפתע לאדם מבוגר (אם אדם נחשב למבוגר מהיום שבו הוא בר-מצווה, או מהיום שבו אין הוא עוד קטין בפני החוק, הרי שהמושגים "ילד" ו"מבוגר" אינם עמומים בהקשרם זה, ועל כן הפרדוקס אינו חל עליהם, אך אנו מתייחסים כאן למושגים "ילד" ו"מבוגר" בהקשרם הביולוגי העמום). אם כן, כיצד ייתכן שחזרה מרובה על פעולה זו (גדילה ביום אחד) מביאה בסופו של דבר לַשינוי? הילד הופך לאדם מבוגר אף שאי-אפשר להצביע על יום מסוים בחייו שבו אירע שינוי זה.
הבעיה הלוגית
את פרדוקס הערמה אפשר לנסח גם כטיעון שרשרת, שלו המבנה הזה (שבו כל אות מייצגת טענה):
הנחה 1: A
הנחה 2: אם A אז B
הנחה 3: אם B אז C
.............................
הנחה אחרונה: אם Y אז Z
מסקנה: Z
אם כל אחת מהנחות הטיעון היא אמיתית, הרי שגם מסקנתו אמיתית, כלומר, זהו טיעון תקף. הדבר נובע מכך שאם שתי ההנחות הראשונות בטיעון אמיתיות, אפשר להסיק שגם טענה B אמיתית (מהלך לוגי זה נקרא בעגה המקצועית מוֹדוּס פּוֹנֵנְס). אם גם ההנחה השלישית אמיתית, הרי שבצירוף אמיתותה של טענה B אפשר להסיק שגם טענה C אמיתית, וכן הלאה. ניסוחו של פרדוקס הערמה כטיעון שרשרת נעשה כך:
הנחה 1: מיליון גרגרים מהווים ערמה
הנחה 2: אם מיליון גרגרים מהווים ערמה, אז גם מיליון חסר אחד גרגרים מהווים ערמה
הנחה 3: אם מיליון חסר אחד גרגרים מהווים ערמה, אז גם מיליון חסר שניים גרגרים
מהווים ערמה
................
ההנחה המיליון: אם שני גרגרים מהווים ערמה, אז גם גרגר אחד מהווה ערמה
מסקנה: גרגר אחד מהווה ערמה
ההנחה הראשונה בטיעון היא אמיתית (אם אינכם סבורים כך, התחילו את הטיעון ממספר גדול יותר של גרגרים), וכל שאר ההנחות אמיתיות על בסיס ההנחה שהוצאת גרגר אחד מהערמה אינה יכולה להפוך אותה ללא-ערמה. אבל מאחר שכל ההנחות בטיעון שרשרת זה הן אמיתיות, נובע שגם מסקנתו אמיתית, וזאת בניגוד לעובדה שאיש לא יכנה גרגר חול אחד "ערמה". אפשר כמובן לטעון שעצם העובדה שמסקנת הטיעון היא שקרית בעליל מצביעה על כך שלפחות אחת מהנחות הטיעון אף היא שקרית, אולם פירוש הדבר הוא, שקיים מספר מסוים n של גרגרי חול (או שערות). אוסף של n גרגרי חול כן מהווה ערמה (ואדם עם n שערות לראשו עדיין איננו קירח), אוסף של n-1 גרגרי חול כבר איננו ערמה (ואדם עם n-1 שערות לראשו כבר נחשב קירח), והדבר נראה לחלוטין בלתי סביר.
ניסיונות לפתור את הפרדוקס
רבות נכתב על פרדוקס זה, ומספר הניסיונות שנעשו לפתור אותו הוא עצום, אך לא קיים פתרון אלגנטי המוסכם על הכל. אציג אחדים מניסיונות אלו, ומראש אציין שככל השאר, גם הם שנויים במחלוקת.
פתרון הלוגיקה העמומה: הלוגיקה הקלאסית אינה מסוגלת לטפל במושגים עמומים. הלוגיקה הקלאסית עושה שימוש בשני ערכי-אמת בלבד: "אמת" ו"שקר". כלומר, טענה יכולה להיות או אמיתית או שקרית, אבל לא לקבל ערכי ביניים ולהיות, למשל, "לא לגמרי אמיתית, אבל גם לא לגמרי שקרית". ואולם, טענות חלוּת של מושגים עמומים כגון "ערמה", "קירח", "ילד" ורבים אחרים אינן יכולות להשתייך לקטגוריה זו.
אנו לא תמיד בטוחים אם אוסף גרגרים נתון ראוי להיקרא ערמה; יש אנשים שנאמר עליהם שהם אמנם לא ממש קירחים, אבל הם די קרובים לזה; ולגבי נערים בתחום גילים די רחב אנו נאמר שאין זה נכון לכנותם "ילדים", אף כי אין הם עדיין מבוגרים במלוא מובן המילה. אם כן, אדם יכול להיות קירח לגמרי, קצת קירח, לא כל-כך קירח ובכלל לא קירח, ועל כן הטענה "אדם זה הוא קירח" יכולה שלא להיות אמיתית אך גם לא שקרית, ומן הראוי לאפשר לה לקבל ערכי ביניים בין אמת לשקר.
לוגיקה כזו, העושה שימוש בדרגות שונות של אמת, נקראת לוגיקה עמומה, והפונים אליה כדי לפתור את הפרדוקס יגידו שהטענה "n גרגרים מהווים ערמה" אינה תמיד או אמיתית או שקרית, אלא בעלת דרגת אמת התלויה ב-n, כלומר, במספר הגרגרים באוסף (ככל שמספר הגרגרים גדול יותר כך דרגת האמת של הטענה גבוהה יותר). מכאן שגם לכל אחת מההנחות בטיעון השרשרת שהצגנו לעיל יש דרגת אמת שונה.
להנחה "אם מיליון גרגרים מהווים ערמה אז גם מיליון חסר אחד גרגרים מהווים ערמה" יש אמנם דרגת אמת גבוהה, אך להנחות הבאות אחריה יש דרגות אמת הקטֵנות בהדרגה (והתלויות בערכי-האמת של מרכיביה), ועל כן הטיעון כמכלול אינו מוביל למסקנה שגם גרגר אחד מהווה ערמה. אם כן, המעבר מ"ערמה" ל"לא-ערמה" אינו קורה בבת-אחת, אלא באופן הדרגתי, והפרדוקס נוצר רק כאשר מנסים להחיל (ובאופן בלתי ראוי) את הלוגיקה הקלאסית על מושגים עמומים.
לא כל ההנחות בטיעון השרשרת אמיתיות: ישנם אוספים של גרגרים שנתקשה להחליט אם הם ראויים להיכלל במושג "ערמה" (או אנשים שנתקשה להחליט לגביהם אם הם קירחים או לא). אולם, אם ידחקו בנו לבחור בין שתי החלופות: "ערמה" או "לא-ערמה" ("קירח" או "לא-קירח"), הרי שקיים מספר מסוים של גרגרים (של שערות), שלגביו נקבע, אף כי בהיסוס רב, שהאוסף הוא ערמה (האדם איננו קירח). לאחר הוצאת גרגר אחד מהאוסף (תלישת שערה אחת), ניאלץ לקבוע, ושוב בהיסוס רב, שמה שנשאר לפנינו כבר איננו ערמה (אדם זה הוא קירח עכשיו).
אמנם, מספר מסוים זה של גרגרים (שערות) עשוי להשתנות מאדם לאדם ואף מניסוי לניסוי עבור אותו אדם, אך המעבר מערמה ללא-ערמה (מלא-קירח לקירח) אכן קורה באחד משלבי התהליך. העובדה שנראה לנו בלתי סביר שהוצאה של גרגר אחד (תלישה של שערה אחת) עשויה לגרום לשינוי בתפישתנו את חלות המושג נובעת מכך, שמתוך מספר האפשרויות העצום קשה לנו לדמיין את המספר המדויק של גרגרים (שערות) שיביא אותנו לשינוי בתפישה, בייחוד לאור העובדה ששינוי זה הוא כה זעיר שקביעתנו מלווה בהיסוס רב.
הסבר שני המרכיבים: כאשר מוציאים מערמת חול גרגר אחר גרגר, ואנו נדרשים בכל שלב לקבוע אם אוסף הגרגרים שנותר הוא עדיין ערמה, אנו עושים זאת על בסיס שני מרכיבים הכרתיים: המרכיב האחד הוא השוואת אוסף הגרגרים הנותר לתפישתנו הסובייקטיבית את המושג "ערמה", והמרכיב האחר הוא השוואת אוסף זה למצבו בשלב הקודם, טרם הוצא ממנו הגרגר האחרון. ההנחה "אם n גרגרים מהווים ערמה אז גם n-1 גרגרים מהווים ערמה", היא אמיתית ביחס למרכיב השני בלבד. כלומר, טיעון השרשרת תקף משום שכל אחת מהנחותיו היא אמיתית ביחס למרכיב ההכרתי השני: השינוי משלב לשלב הוא כה זעיר עד שאיננו מסוגלים להבחין בו.
אולם, מאחר שקביעתנו בפועל מושפעת גם מהמרכיב ההכרתי הראשון (השוואת מצב האובייקט לתפישתנו הסובייקטיבית את המושג), ייתכן שבהגיע מספר הגרגרים לכמות מסוימת, נקבע ביחס לתפיסתנו את המושג "ערמה", כי אוסף הגרגרים כבר אינו "ערמה".
לפנייה לכתב/ת 
