איך מזהים מטבע מזויף?
כמה שקילות צריך כדי לגלות מטבע מזויף 1, מתוך ערמה של 12 מטבעות? הצטרפו אלינו לאתגר חשיבתי
חידות רבות עוסקות בזיהוי חפץ (מטבע, גולה וכדומה) מזויף מבין חפצים אמיתיים (או אמיתי מבין מזויפים). ההבדל היחיד בין האמיתי למזויף הוא במשקל – בכל שאר התכונות (גודל, צורה, צבע וכדומה) הם זהים. על כן, יש להשתמש בשקילה כדי לאתר את החפץ המזויף.
ישנם כמה סוגים של בעיות שקילה. בעיה נפוצה במיוחד דורשת מהפותר למצוא את משקלו של גוף במאזני כפות במספר השקילות הקטן ביותר האפשרי. למשל, הבעיה הזאת:
שאלה: נתונים שלושה מטבעות, מהם אחד מזויף, אבל לא ידוע אם הוא כבד יותר מהאחרים או קל יותר. מותר לבצע שתי שקילות באמצעות מאזניים. איך נזהה את המטבע המזויף? האם הוא כבד יותר מהאחרים או קל יותר?
פתרון: נקרא למטבעות מטבע א', מטבע ב' ומטבע ג'. נשווה בין המשקלים של א' ו-ב'. כעת יש לנו שתי אפשרויות:
• אפשרות 1: אם המשקל שווה, אזי ג' הוא המזויף. כדי לדעת אם המטבע המזויף הוא קל או כבד מהאחרים, נבצע שקילה שנייה שבה נשווה בין א' ל-ג'.
o אם א' כבד מג', סימן שהמטבע המזויף (ג') קל יותר ממטבע אמיתי.
o אם א' קל מג', סימן שהמטבע המזויף (ג') כבד יותר ממטבע אמיתי.
• אפשרות 2: אם המשקלים שונים (א' כבד מב' או ההפך, ב' כבד מא'), צריך לבצע שקילה נוספת כדי לגלות את המטבע המזויף. נניח שראינו שמטבע א' כבד מב'. בשקילה זו נשווה בין א' לג'.
o אם המשקל שווה, אזי ב' הוא המזויף, והוא קל יותר ממטבע אמיתי.
o אם ג' קל מא', אז א' הוא המזויף והוא כבד יותר ממטבע אמיתי.
הערות:
א. אין אפשרות שבשקילה האחרונה ג' יהיה כבד מא', כי אז לשלושת המטבעות יהיו משקלים שונים – וזה סותר את תנאי השאלה.
ב. אם בשקילה הראשונה א' היה קל מב', פשוט משנים את השמות שנתנו למטבעות בהתחלה, הופכים את א' לב' וב' לא' ופותרים באותו אופן.
שיטה זו היא שיטה כללית, ואפשר להרחיב אותה למספר גדול יותר של מטבעות (אתם אכן מוזמנים לפתור בעיה דומה בהמשך...).
לכאורה נראה, שכדי למצוא מטבע מזויף מתוך עשרה מטבעות נדרשות ארבע שקילות )אם איננו יודעים אם המטבע המזויף קל או כבד מהאמיתי). הנחה זו נכונה אם אנחנו שוקלים את המטבעות לפי האלגוריתם שהוצג כאן, ואולם, אפשר לשנות טקטיקה ובעזרת שלוש שקילות בלבד למצוא מטבע מזויף מתוך עשרה. למען האמת, אפשר אפילו למצוא מטבע מזויף מתוך 12 מטבעות בעזרת שלוש שקילות בלבד!
הרעיון העומד בבסיס הבעיה הזאת הוא שאפשר לבחור את המטבעות שאותם נשקול באופן כזה, שבחלק מהשקילות משתמשים במטבעות שכבר גילינו שהם אמיתיים. נדגים זאת בשאלה שלהלן:
שאלה: נתונים 12 מטבעות, וצריך למצוא מביניהם אחד השונה במשקלו מכל האחרים (נקרא לו מטבע מזויף), ואף לקבוע אם הוא קל או כבד יותר מהאחרים. מותר לנו לעשות זאת בעזרת שלוש שקילות על מאזני כפות.
פתרון: נסמן את 12 המטבעות באותיות א, ב, ג, ד, ה, ו, ז, ח, ט, י, כ, ל.
בשקילה הראשונה נשווה בין משקלי המטבעות א', ב', ג', ד' (כולם ביחד) לבין משקלי המטבעות ה', ו', ז', ח' (כולם ביחד). יש שלוש תוצאות אפשריות:
א. שני הצדדים מאוזנים (המשקלים שווים)
ב. הרביעייה א'+ב'+ג'+ד' כבדה יותר מהרביעייה ה'+ו'+ז'+ח'
ג. הרביעייה א'+ב'+ג'+ד' קלה יותר מהרביעייה ה'+ו'+ז'+ח'
נניח ששקלנו על כפות המאזניים את שתי הרביעיות א'+ב'+ג'+ד' מול ה'+ו'+ז'+ח', והמאזניים התאזנו. במקרה זה, נמשיך לשקילה השנייה, והפעם ניקח את א' עם ט', מול י' עם כ'. בעזרת שקילה זו והשקילה שלאחריה אפשר למצוא את המטבע המזויף.
סוג נוסף של בעיות שקילה הציג המתמטיקאי והחידונאי הצרפתי בן המאה ה-16 קלוד גספר באשה דה מזיריאק (Bachet de Méziriac). באשה חיבר ספרים רבים שעסקו בחידות ושעשועי מתמטיקה. ספרים אלה, שהיו מן הראשונים מסוגם, היוו בסיס לרוב הספרים בנושאים אלה שנכתבו בשנים מאוחרות יותר.
באחד מספריו מופיעה בעיית שקילה מעניינת: מהו המספר הקטן ביותר של משקולות שונות שצריך כדי לשקול משקל כלשהו בין 1 ל-40 ק"ג, במאזני כפות?
במבט ראשון נראה, כי אפשר להשתמש בשש המשקולות: 1 ק"ג, 2 ק"ג, 4 ק"ג, 8 ק"ג, 16 ק"ג ו-32 ק"ג, כדי לשקול כל חפץ שמשקלו נע בין 1 ק"ג ל-40 ק"ג. לדוגמה: אם נשים שק של תפוחי אדמה שמשקלו 11 ק"ג בכף אחת של המאזניים, נוכל לאזן אותו בעזרת שלוש המשקולות: 1 ק"ג, 2 ק"ג ו-8 ק"ג, שנשים בכף האחרת של המאזניים.
המשקולות שבהן השתמשנו הן כולן חזקות של 2 (מספרים בינאריים). אחת התכונות המעניינות של מספרים בינאריים היא שאפשר ליצור בעזרתם את כל המספרים השלמים באמצעות פעולת החיבור, מבלי להשתמש במספר (בינארי) יותר מפעם אחת, ולפיכך, משקולות "בינאריות" מתאימות לפתרון החידה.
אולם, אפשר לשפר את הפתרון לבעיה של באשה אם ניעזר ב"טריק" קטן. עד עכשיו הקפדנו לשים את המשקולות בצד אחד בלבד, ואת החפץ שאותו שוקלים בצד האחר. אבל אם נשים את המשקולות משני צדי המאזניים, נוכל לפתור את הבעיה עם ארבע משקולות שונות בלבד. מבחינה מתמטית נשתמש בפעולת חיבור, וגם בפעולת החיסור! לא נרצה, כמובן, להרוס לכם את הכיף, ולכן השארנו לכם לפתור בעיה זו בעצמכם בהמשך. רק נרמוז שהפעם משתמשים במספרים טרנאריים, והמבין יבין.
ובינתיים, אנו ממליצים לכם לשקול בכובד ראש, ולנסות לפתור את השאלות שלהלן, מהקל אל הכבד...
1. נתונים 9 מטבעות. אחד מהם מזויף, אבל לא ידוע אם הוא כבד יותר מהאחרים או קל יותר. איך נמצא את המטבע המזויף בעזרת שלוש שקילות?
2. נתונות 3 ערמות, בכל ערמה 5 מטבעות. מבין הערמות יש ערמה אחת של מטבעות מזויפים, או שאין בכלל מטבעות מזויפים. ידוע שמטבע אמיתי שוקל 20 גרם, ומטבע מזויף שוקל 17, 18 או 19 גרם. כיצד, בעזרת שקילה אחת, נוכל לגלות את ערמת המטבעות המזויפים (אם יש ערמה כזו)?
3. מהן ארבע המשקולות שבעזרתן אפשר לפתור את חידת באשה, וכיצד אפשר לשקול בעזרתן משקל של גוף שיכול להיות כל מספר שלם בין 1 ל-40 ק"ג?
בהצלחה.
הכתבה התפרסמה במלואה בגיליון יוני של מגזין "גליליאו "
לפנייה לכתב/ת 
