שתף קטע נבחר

הכי מטוקבקות
    זירת הקניות
    פיתרון יצירתי: לימוד מתמטיקה באמצעות חידות
    כדי להיות טובים במתמטיקה לא מספיק רק לשנן נוסחאות משום שמתמטיקאי טוב הוא קודם כל פותר בעיות. אבל איך מחנכים לחשיבה מחוץ לקופסא? יוסי שלוסברג, מחבר הספר "המלכה והגולם: הרפתקאות מתמטיות ותעלומות מחשב", חושב שהתשובה מצויה בפתרון חידות ומציע לכם לנסות לפתור אחת

    פתרון בעיות, תכנון וחשיבה מופשטת הם חלק מן היכולות שאנו מזהים כ"אינטליגנציה אנושית"; זהו אותו שאר רוח שאנחנו מוצאים באדם ומחפשים אצל בעלי חיים מפותחים כמו שימפנזים ולווייתנים. האדם הוא "פותר בעיות" מעצם טבעו ומסיבה זו הצליחה האנושות ליצור בתקופה קצרה יחסית תרבות מפוארת ורבת הישגים.

     

    החוקר והמדען גם הם כמובן פותרי בעיות הנדרשים להציג חוקים ומודלים אשר יתארו את טבע העולם, וגם המתמטיקאי הוא פותר בעיות אשר תפקידו למצוא תבניות ומסגרות לישויות מתמטיות מופשטות.

     

    חוקרים להוראת המתמטיקה ולמדעי המחשב רואים בפתרון בעיות את עמוד התווך של העשייה היוצרת במתמטיקה ומרכיב מרכזי בלימודי המתמטיקה בבית הספר. המטרה העיקרית של לימוד המתמטיקה לפי גישה זו היא לפתח אצל התלמידים את היכולת לפתור בעיות - זהו ייעודו האמיתי של המתמטיקאי!

     

    בשנות השמונים הכריזו המועצה הלאומית האמריקנית למורי המתמטיקה (NCTM) והגוף הלאומי האמריקני למחקר, כי פתרון בעיות חייב להיות המוקד של הפעילות המתמטית בבית-הספר.

     

    גם מבחן פיז"ה המפורסם שבוחן בין השאר את רמת השכלתם של בני 15 במדינות שונות, אינו בוחן ידע ותכנים המצויים בתוכניות הלימוד אלא בודק עד כמה רכשו התלמידים כלי חשיבה כלליים ואת יכולתם להתמודד עם בעיות מורכבות ומיומנויות חשיבה מסדר גבוה. משנת 2003 כולל מבחן פיז"ה באופן מפורש את התחום "פתרון בעיות", אולם נשאלת השאלה כיצד על המורים להנחיל לדור הצעיר את היכולת החמקמקה הזו?

     

    חשיבה מחוץ לקופסה

    לפני שנים רבות, כשהייתי תלמיד כיתה ט' בבית הספר הטכנולוגי בבר-אילן, כללה מערכת השעות שלי נוסף על היסטוריה, מתמטיקה, ספרות ושאר מקצועות מוכרים מקצוע חדש הקרוי "לוגיקה". העביר את השיעור מורה צעיר, עולה מצרפת, שהציג לכיתה וחשף בפני לראשונה עולם של חידות קסומות הדורשות חשיבה לא שגרתית, מקוריות ו"יציאה מהקופסה".

     

    מאז עברו שנים וכיום אני מרצה בעצמי למתמטיקה ולמדעי המחשב. נוסף על הקורסים הרגילים שאני מעביר, אלגברה ליניארית, אוטומטים וחישוביות, ישנו קורס בחירה שאני מקיים במכללה להנדסה ירושלים הקרוי "חשיבה יצירתית דרך משחקים". בקורס זה נדרשים הסטודנטים להתמודד עם בעיות משחק ולהציע "אסטרטגיות ניצחון" מקוריות.

     

    למעשה, הן קורס הלוגיקה של המורה מצרפת והן הקורס שלי, מטרתם להנחיל לתלמידים כלים ושיטות ל"פתרון בעיות". על אף חשיבות הנושא, קורסים אלו אינם חלק מתוכנית הלימוד המסורתית והם מתקיימים כקורסי בחירה במקומות בודדים. שאלות ובעיות דומות מוצגות לפני יחידי סגולה במסגרת ה"אולימפיאדות לנוער" במתמטיקה ומדעי המחשב, ואפשר להיחשף לחלקם רק בספרי מתמטיקה פופולארית, הכתובים על פי רוב בשפה זרה. אז איך בכל זאת כדאי ללמד מתמטיקה?

     

    החידות מציעות פיתרון

    יש הטוענים כי במציאות של היום, כשלפני התלמידים פתוחים כלי חישוב ומאגרי ידע נרחבים, יש לוותר על לימוד המבוסס על שינון וזיכרון ולשנות כליל את שיטת הלימוד המבוססת על דרך זו.

     

    אני אינני מסכים עם גישה גורפת זו: המוח האנושי הוא (עדיין) המכונה המשוכללת ביותר שיש בנמצא ולרשותו זיכרון היכול לצרוב בתוכו כללים, חוקים ופרוצדורות מתמטיות. כל בוגר יסודי חייב לשלוט (לדוגמה) בלוח הכפל, וכל בוגר תיכון ראוי שידע את נוסחת השורשים של משוואה ריבועית ואל לו להיבהל (ולתלוש שערות) ממושגים כמו "לוגריתמים", "פונקציות טריגונומטריות" ו"אינדוקציה מתמטית".

     

    לא חייבים לזכור את כל כללי הלוגריתמים אך אין סיבה לא לדעת מהי הגדרת הלוגריתמים. אין צורך לזכור את כל הזהויות הטריגונומטריות, אך היכרות עם משפט פיתגורס והזהות הנגזרת ממנו אינה עניין מסובך. תלמיד שיתבסס רק על דפי נוסחאות המתלוות לבחינה ולא על זיכרון (חלקי) לא ידע "מה לחפש" וסופו שיכשל.

     

    יחד עם זאת, הפרוצדורות והכללים, שהם ה"משאבים המתמטיים", אינם מספיקים. קיומם של אלו בזיכרונו של התלמיד דומים לאיים המצויים בים שאין ביניהם כל קשר. אך אצל המומחה, להבדיל מן המתלמד, צריכים להתקיים רשת קשרים ענפה ונתיבי הפלגה בין האיים המבודדים.

     

    היכולת לקשר בין בעיות ולנקוט באסטרטגיות והיוריסטיקות פתרון שונות ומגוונות הן הבסיס להתמודדות של הלומד עם ה"עולם המתמטי". השפה המתמטית היא שפה מדויקת, אך פורמלית ויבשה, טך מתמטיקאים הניחנים ביכולת הפשטה "רואים" במספרים ובאובייקטים המתמטיים צורות מופלאות ומבנים מרשימים. הם לא מוכרחים להיות היחידים שניחנים ב"ראייה" הזו. חידות ובעיות יכולות ל"צבוע" את השאלות המספריות ולעשותן מוחשיות ונעימות גם אצל אלו שהמתמטיקה לא באה להם בקלות.

     

    פיתוי הנחש

    על מנת להדגים עניין זה, נקנח ברשותכם בבעיה מספרית ובתרגומה לחידה "צבעונית", שפתרונה ינתן תוך שימוש באסטרטגיה לפתרון בעיות.

     

    הבעיה המספרית

    עליכם להגיע מהמספר 7 למספר 150 בעזרת שימוש בפעולות +1 (קידום ב-1) ו- x2 (הגדלה פי שניים), כאשר נדרש כי מספר הפעולות יהיה מינימלי.

    דוגמה: 150, 75, 74, 73, 72, 71, 70, 35, 34, 17, 16, 15, 14, 7 (13 פעולות, אך אפשר להסתפק בפחות פעולות...)

     

    החידה ה"צבעונית": נשל הנחש

    נחש צעיר מגיח אל העולם כשאורכו 7 סנטימטרים, ובסוף ימיו הוא מגיע לאורך המכובד של 150 סנטימטרים. ידוע כי בכל השלה מגדיל הנחש את אורכו בסנטימטר אחד או לחילופין הנחש מגדיל את אורכו פי שניים. מה מספר ההשלות המינמלי שנדרשו לנחש בימי חייו. הציגו את אורך הנחש לאחר כל השלה.

     

    פיתרון

    הגישה הטבעית אצל כולנו היא להתקדם מן "ההתחלה אל הסוף" ובכל פעם לנסות "לתפוס מרובה" ולהגדיל את אורך הנחש פי שניים. בגישה זו תתקבל סדרת ההשלות:

    7, 14, 28, 56, 112, 113, 114, 115, 116, ... (ובצעדי +1)..., 148, 149, 150. ובסך הכל 42 השלות!!!

     

    גישה מרעננת ואסטרטגית פתרון מרכזית היא הסתכלות על הבעיה מ"הסוף להתחלה". לעיתים דווקא בכיוון זה שביל הפתרון הופך נהיר וברור. בכל פעם שאנו אוחזים מספר אי-זוגי ברור שהפעולה הקודמת הייתה +1. אולם כשלפנינו מספר זוגי כדאי שהפעולה הקודמת תהייה x2 (אלא אם מחצית המספר קטנה מן המספר התחילי, אז נבצע גם כן +1) וכך נחסוך בפעולות (נסו להוכיח זאת). כך נמצא את בקלות את סדרת ההשלות המבוקשת: 150, 75, 74, 37, 36, 18, 9, 8, 7. ובסך הכל 8 השלות.

     

    יוסי שלוסברג הוא מרצה במחלקה למדעי המחשב של המכללה למנהל, בממכלה להנדסה ירושלים ובאוניברסיטה הפתוחה. מחבר הספר "המלכה והגולם, הרפתקאות מתמטיות ותעלומות מחשב", בהוצאת עלו-עט.

     

    לפנייה לכתב/ת
     תגובה חדשה
    הצג:
    כל התגובות לכתבה "פיתרון יצירתי: לימוד מתמטיקה באמצעות חידות"
    אזהרה:
    פעולה זו תמחק את התגובה שהתחלת להקליד
    חשבון פשוט?
    צילום: jupiter
    "המלכה והגולם", עטיפת הספר
    עטיפת הספר
    מומלצים