המספרים המוזרים ביותר בתורת המיתרים
מערכת מספרים שהומצאה במאה ה-19 ונשכחה מלב עשויה לספק את ההסבר הפשוט ביותר לשאלה מדוע ייתכן שליקום שלנו יש עשרה ממדים
אחת החלופות המוזרות ביותר היא מערכת האוֹקְטוֹניוֹנים. הם אמנם נזנחו במידה רבה מאז שנתגלו ב-1843, אבל בעשרות השנים האחרונות הם החלו למלא תפקיד חשוב ומסקרן בתורת המיתרים. ואכן, אם תורת המיתרים היא הצגה נכונה של היקום, הם עשויים להסביר את מספר הממדים שיש בו.
המדומה הופך לממשי
האוקטוניונים אינם מועמדים להיות היצירה המתמטית הטהורה הראשונה שלימים תהפוך לאמצעי שיאפשר לנו להבין יותר לעומק את היקום. הם גם אינם מועמדים להיות מערכת המספרים החלופית הראשונה שיתברר אחר כך שיש לה יישומים מעשיים. אם ברצוננו להבין מדוע, עלינו להתבונן ראשית כול במקרה הפשוט ביותר של מספרים - מערכת המספרים שאותה למדנו בבית הספר -מספרים שהמתמטיקאים מכנים מספרים ממשיים.
קבוצת כל המספרים הממשיים יוצרת קו, או ציר, ולכן אנחנו אומרים שאוסף המספרים הממשיים הוא חד-ממדי. נוכל גם להפוך את הרעיון הזה על ראשו: הציר הוא חד-ממדי מכיוון שאם ברצוננו להצביע על נקודה אחת עליו אנו זקוקים למספר ממשי אחד.
לפני המאה ה-16 המספרים הממשיים היו בבדידות מזהרת. ואז, בתקופת הרנסנס, מתמטיקאים שאפתניים ניסו לפתור צורות מורכבות יותר ויותר של משוואות, ואפילו ערכו תחרויות כדי לראות מי יצליח לפתור את הבעיות הקשות ביותר.
השורש הריבועי של מינוס אחד הוצג כעין נשק סודי בידי גֵ'רוֹלַמוֹ קַרדַנוֹ - מתמטיקאי, רופא, מהמר ואסטרולוג איטלקי. בשונה מאחרים הוא לא היסס, ובצעד נועז השתמש במספר המסתורי הזה כחלק מחישובים ארוכים יותר, שבהם התשובות היו מספרים ממשיים רגילים.
הוא לא ידע בביטחון מדוע התכסיס הזה פעל; הוא פשוט ידע שבאמצעותו הוא הגיע לתשובות הנכונות. קרדנו פרסם את רעיונותיו ב-1545, ופתח כך פולמוס שנמשך מאות שנים: האם השורש הריבועי של -1 קיים באמת, או שמא הוא תכסיס ותו לא? כמעט מאה שנים לאחר מכן נדרש לסוגיה לא פחות מאשר ההוגה רֶנֶה דֶקארְט, שהביע את פסק דינו כשהעניק למספר את התואר המזלזל "מדומה" (imaginary), שממנו נגזר הסימון המקובל היום: i.
ועם זאת, המתמטיקאים הלכו בעקבות קרדנו והתחילו לעבוד עם מספרים מרוכבים: מספרים מן הצורה a + bi, כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים רגילים. בסביבות 1806 הפיץ ז'אן-רובר ארגאן את הרעיון שמספרים מרוכבים מתארים נקודות במישור. כיצד מתאר הביטוי a + bi נקודה במישור? פשוט: המספר a אומר לנו את מיקום הנקודה על הציר ימין-שמאל, ואילו המספר b אומר לנו היכן היא מצויה על הציר מעלה-מטה.
באופן כזה אנחנו יכולים לראות בכל מספר מרוכב נקודה במישור, אבל ארגאן הלך צעד נוסף קדימה: הוא הראה כיצד אפשר לראות בכל הפעולות שאפשר לבצע עם מספרים מרוכבים - חיבור, חיסור, כפל וחילוק - מניפולציות גאומטריות במישור.
לפני שנסביר כיצד אפשר לראות בפעולות האלה מניפולציות גאומטריות, נתחיל בחימום קצר: נתבונן במספרים הממשיים. חיבור או חיסור של מספר ממשי מסיט את הציר הממשי ימינה או שמאלה. כפל או חילוק בכל מספר חיובי מותח או מכווץ את הציר. לדוגמה, הכפלה ב-2 מותחת את הציר פי 2, ואילו חלוקה ב-2 מכווצת אותו, מקרבת את כל הנקודות זו לזו למרחק קטן פי שניים ממה שהיה לפני כן. הכפלה במינוס 1 הופכת את הציר על פניו.
אותו הליך פועל במקרה של מספרים מרוכבים, עם כמה תוספות קלות ומפתיעות. חיבור של מספר מרוכב כלשהו, a + bi, לנקודה במישור - מסיט את הנקודה בשיעור a ימינה (או שמאלה), ובשיעור b למעלה (או למטה). כפל במספר מרוכב מותח או מכווץ אבל גם מסובב את המישור המרוכב.
בפרט, כפל ב-i מסובב את המישור רבע סיבוב. כך שאם אנחנו מכפילים ב-i פעמיים, אנחנו מסובבים את המישור חצי סיבוב מלא מנקודת ההתחלה ומגיעים לנקודה -1. חילוק הוא ההפך מכפל, ולכן אם ברצוננו לחלק, עלינו פשוט לכווץ במקום למתוח, או להפך, ואז לסובב בכיוון ההפוך.
כמעט כל מה שאפשר לעשות במספרים ממשיים אפשר לעשות גם במספרים מרוכבים. למעשה, רוב הדברים פועלים יפה יותר, כפי שידע קרדנו, מכיוון שאנחנו יכולים לפתור יותר משוואות בעזרת מספרים מרוכבים מאשר בעזרת מספרים ממשיים. אבל אם מערכת מספרים דו-ממדית מעניקה למשתמש כוח חישוב נוסף, מה לגבי מערכות בעלות מספר גדול עוד יותר של ממדים? למרבה הצער, מתברר שהרחבה פשוטה אינה אפשרית.
מתמטיקאי אירי עתיד לגלות את סודן של מערכות מספרים בעלות ממד גבוה יותר רק כעבור עשרות שנים. ורק כעת, מאתיים שנה לאחר מכן, אנחנו מתחילים להבין עד כמה רבה יכולה להיות עוצמתן.
האלכימיה של המילטון
ב- 1835, בגיל 30, גילה המתמטיקאי והפיזיקאי ויליאם רואן המילטון כיצד לטפל במספרים מרוכבים כזוגות של מספרים ממשיים. באותם ימים המתמטיקאים נהגו לכתוב את המספרים המרוכבים בצורה שהופצה על ידי ארגאן, a + bi, אבל המילטון ציין שמותר לנו גם לחשוב על המספר a + bi כעל לא יותר מדרך משונה קצת לכתוב שני מספרים ממשיים - לדוגמה (a, b).
הסימון הזה מקל עד מאוד על חיבור וחיסור מספרים מרוכבים - פשוט צריך לחבר או לחסר את המספרים המתאימים שבכל זוג. המילטון ניסח גם חוקים קצת יותר מסובכים לכפל ולחילוק מספרים מרוכבים, באופן ששומר על המשמעות הגאומטרית הנאה שגילה ארגאן.
לאחר שהמציא המילטון את המערכת האלגברית הזאת למספרים מרוכבים שהייתה לה גם משמעות גאומטרית, הוא ניסה במשך שנים רבות להמציא אלגברה גדולה יותר של שלשות, שתמלא תפקיד דומה בגאומטריה תלת-ממדית - מאמץ שמילא אותו בתסכול אינסופי.
הוא כתב פעם לבנו: "מדי יום, כשירדתי לארוחת הבוקר, אחיך הקטן (דאז) ויליאם אדווין, ואתה עצמך, נהגתם לשאול אותי: 'נו, אבא, אתה יכול להכפיל שלשות?' ותמיד נאלצתי להניד בראשי בעצב ולענות בעל כורחי: 'לא, אני יכול רק לחבר ולחסר אותן'". אף שבאותם ימים הוא לא היה יכול לדעת זאת, המשימה שנטל על עצמו הייתה בלתי אפשרית מבחינה מתמטית.
המילטון חיפש מערכת מספרים תלת-ממדית שבה הוא יוכל לחבר, לחסר, להכפיל ולחלק. האגוז הקשה הוא החילוק: מערכת מספרים שבמסגרתה אפשר לחלק קרויה אלגברה עם חילוק.
רק ב-1958 הצליחו שלושה מתמטיקאים להוכיח עובדה מדהימה שנחשדה כנכונה במשך עשרות שנים: כל אלגברה עם חילוק חייבת להיות בעלת ממד אחד (כלומר, רק המספרים הממשיים), שני ממדים (המספרים המרוכבים), ארבעה או שמונה ממדים. אם המילטון רצה להצליח, היה עליו לשנות את חוקי המשחק.
המילטון עצמו מצא פתרון ב-16 באוקטובר 1843 כשצעד עם אשתו לאורך התעלה המלכותית לכנס שהתקיים באקדמיה האירית המלכותית בדבלין, ופתאום הייתה לו הארה. אי אפשר לתאר סיבובים, מתיחות וכיווצים בשלושה ממדים בעזרת שלושה מספרים בלבד. הוא היה זקוק למספר רביעי, שייצור קבוצה ארבעה-ממדית המכונה קְוַוטֶרניונים, ושמוצגת בצורה a + bi + cj + dk. כאן, המספרים i, j ו-k הם שלושה שורשים ריבועיים שונים של -1.
לימים, תיאר המילטון את החוויה: "ברגע ההוא ובמקום ההוא ממש - שם הרגשתי כיצד מעגל המחשבה הגלוואני נסגר; והניצוצות שנשרו ממנו היו המשוואות היסודיות של הקשרים בין i, j ו-k; בדיוק בצורה שבה השתמשתי בהן מאז ועד היום".
בצעד ראוי לציון של ונדליזם מתמטי, הוא חקק את המשוואות האלו על האבנים של גשר בְּרוֹהַם. ועל אף שכיום הן קבורות תחת גרפיטי, הוצב שם לוח המנציח את התגלית.
כדי לכוון את המטוס, עלינו לשלוט בעִלרוּד, כלומר בזווית של המטוס ביחס לאופק. ייתכן שנצטרך לכוונן גם את הסִבסוב על ידי פנייה ימינה או שמאלה, כמו במכונית. ולבסוף, ייתכן שנצטרך לכוונן את הגלגול: זווית הכנפיים של המטוס. והמספר הרביעי שאנחנו צריכים משמש לתיאור מתיחה או כיווץ.
המילטון בילה את שארית חייו במחקר קדחתני של הקווטרניונים, וגילה שימושים מעשיים רבים עבורם. כיום, ברבים מן היישומים האלה הוחלפו הקווטרניונים בדודניהם הפשוטים יותר: וֶקטוֹרים, שאפשר לחשוב עליהם בתור קווטרניונים מן הצורה המיוחדת ai + bj +ck (המספר הראשון הוא פשוט אפס).
ועם זאת, עדיין נותר לקווטרניונים מקום: הם מספקים דרך יעילה לייצוג סיבובים תלת-ממדיים במחשב והם צצים בכל מקום שנדרשת פעולה כזו, החל ממערכת הבקרה שנועדה לשלוט בתנוחה של חללית ועד מנועים גרפיים של משחקי וידאו.
מדומים ללא סוף
אף על פי שיש לקווטרניונים יישומים מעשיים, אנחנו עדיין יכולים לשאול את עצמנו מהם, בעצם, j ו-k, אם בעצם כבר הגדרנו את השורש הריבועי של -1 וקראנו לו i. האם השורשים הריבועיים האלה של -1 קיימים באמת? האם אנחנו יכולים פשוט להמשיך להמציא עוד ועוד שורשים חדשים של -1, ככל שנרצה?
את ההשאלות האלה שאל חברו של המילטון מן המכללה, עורך דין ושמו ג'ון גרייבס, שההתעניינות שלו במתמטיקה, כחובב, היא שהביאה את המילטון מלכתחילה לחשוב על מספרים מרוכבים ועל שלשות.
ממש ביום שלמחרת הטיול הגורלי בסתיו 1843, שלח המילטון מכתב לגרייבס ובו תיאר את פריצת הדרך שלו. גרייבס השיב תשעה ימים לאחר מכן, ובמכתבו החמיא להמילטון על הרעיון הנועז אבל הוסיף: "עדיין יש במערכת משהו שטורד את מנוחתי. טרם גיבשתי השקפה ברורה בשאלה עד כמה אנחנו רשאים ליצור בשרירותיות מספרים מדומים, ולהעניק להם תכונות על-טבעיות". והוא שאל: "אם בעזרת האלכימיה שלך אתה מסוגל ליצור שלוש ליטראות זהב, מדוע עליך לעצור שם?".
כקרדנו לפניו, הניח גרייבס בצד את דאגותיו למשך זמן ארוך דיו כדי לאפשר לו לברוא, יש מאין, זהב משלו. ב-26 בדצמבר הוא כתב שוב להמילטון, ותיאר מערכת חדשה של מספרים בעלי שמונה ממדים, שאותם הוא כינה אוקטבות, וכיום הם מכונים אוקטוניונים. אבל גרייבס לא הצליח להצית את התעניינותו של המילטון ברעיונותיו.
המילטון הבטיח אמנם לדבר על האוקטבות של גרייבס באגודה האירית המלכותית - זו הייתה אחת הדרכים המקובלות אז לפרסם תוצאות מתמטיות - אבל הוא דחה שוב ושוב את העניין. ב-1845 הגאון הצעיר ארתור קיילי גילה מחדש את האוקטוניונים ופרסם אותם לפני גרייבס. מן הסיבה הזאת, האוקטוניונים מכונים לעתים גם מספרי קיילי.
מדוע המילטון לא אהב את האוקטוניונים? ראשית, הוא היה שקוע ראשו ורובו בחקירת תגליתו שלו, הקווטרניונים. כמו כן הייתה לו גם סיבה מתמטית טהורה: האוקטוניונים שוברים כמה מחוקיה היקרים של האריתמטיקה.
הקווטרניונים עצמם היו כבר קצת מוזרים. כשמכפילים מספרים ממשיים, לא משנה באיזה סדר עושים את זה: התוצאה של 2 כפול 3 שווה לתוצאה של 3 כפול 2, למשל. במקרה כזה מקובל לומר שהכפל חילופי, או קומוטטיבי. אותו דבר קורה במספרים מרוכבים. אבל קווטרניונים אינם קומוטטיביים. יש חשיבות לסדר ההכפלה.
הסדר משמעותי מכיוון שקווטרניונים מתארים סיבובים בשלושה ממדים, ובמקרה של סיבובים כאלה, הסדר משפיע על התוצאה. תוכלו לבדוק זאת בעצמכם. קחו ספר, הפכו אותו מלמעלה למטה (כך שעכשיו תתבוננו בכריכה האחורית), וסובבו אותו רבע סיבוב בכיוון השעון (במבט מלמעלה). כעת בצעו את שתי הפעולות האלה בסדר הפוך: קודם סובבו רבע סיבוב, ואז הפכו. המצב הסופי השתנה. התוצאה תלויה בסדר, ולכן סיבובים אינם קומוטטיביים.
האוקטוניונים הרבה יותר מוזרים. לא זו בלבד שהם אינם קומוטטיביים, הם אף שוברים עוד חוק אריתמטי מוכר: חוק הקיבוץ או החוק האסוציאטיבי, שלפיו (xy)z = x(yz).
כולנו מכירים פעולה לא אסוציאטיבית מלימודי המתמטיקה שלנו: חיסור. לדוגמה, התוצאה של (3-2)-1 שונה מן התוצאה של 3-(2-1). אבל אנחנו רגילים שכפל ניתן לקיבוץ, ומרבית המתמטיקאים עדיין מרגישים כך, אף על פי שהם התרגלו לפעולות לא אסוציאטיביות. סיבובים, למשל, ניתנים לקיבוץ, על אף שהם אינם ניתנים לחילוף.
אבל אולי הסיבה החשובה מכל להתעלמות היא, שבימיו של המילטון לא היה ברור איזו תועלת יש באוקטוניונים. קיים קשר קרוב בינם לבין גאומטריה של שבעה או שמונה ממדים, ואנחנו יכולים לתאר סיבובים בממדים האלה בעזרת מכפלות של אוקטוניונים.
במשך יותר ממאה שנה לא היה זה אלא תרגיל מחשבתי. יהיה צורך לחכות לפיתוח פיזיקת החלקיקים המודרנית - ובפרט תורת המיתרים - כדי לראות כיצד האוקטוניונים עשויים להיות שימושיים בעולם הממשי.
סימטריה ומיתרים
בשנות ה-70 וה-80 של המאה ה-20, פיתחו הפיזיקאים התיאורטיקנים רעיון שובה לב ביופיו המכונה סופר-סימטריה (אחר כך יבינו החוקרים שתורת המיתרים דורשת סופר-סימטריה).
על פי הרעיון הזה, היקום מפגין ברמות היסודיות ביותר סימטריה בין חומר לבין כוחות הטבע. לכל חלקיק חומר (כגון אלקטרון) מתלווה חלקיק נושא כוח. ולכל חלקיק כוח (כגון פוטון, החלקיק הנושא את הכוח האלקטרומגנטי) יש חלקיק חומר תואם.
הסופר-סימטריה כוללת בתוכה גם את הרעיון שחוקי הפיזיקה יישארו ללא שינוי אם נחליף בין כל חלקיקי החומר וחלקיקי הכוח. דמיינו לעצמכם שהיקום משתקף במראה מוזרה, שבמקום להחליף בין צד ימין לצד שמאל, היא הופכת כל חלקיק כוח לחלקיק חומר ולהפך.
אם הסופר-סימטריה נכונה, אם התיאור שהיא נותנת ליקום שלנו הוא אמיתי, הרי שיקום המראה הזה יתנהג באותו אופן כמו היקום שלנו. אף על פי שהפיזיקאים עדיין לא מצאו שום ראיה ניסויית מוצקה התומכת בסופר-סימטריה, התיאוריה הזאת כל כך מפתה ביופיה והביאה ליצירת כל כך הרבה מתמטיקה קסומה, עד שפיזיקאים רבים מקווים שהיא אמיתית ומצפים שכך אכן יתברר בסופו של דבר.
עם זאת, יש תיאוריות שאנחנו יודעים שהן נכונות - ואחת מהן היא מכניקת הקוונטים. ועל פי מכניקת הקוונטים, חלקיקים הם גם גלים. בגרסה הסטנדרטית, התלת-ממדית, של מכניקת הקוונטים, הגרסה שבה הפיזיקאים משתמשים מדי יום ביומו, סוג אחד של מספרים (המכונים ספינורים) מתאר את תנועת הגל של חלקיקי החומר. סוג אחר של מספרים (המכונים וקטורים) מתאר את תנועת הגל של חלקיקי הכוח.
אם אנחנו מעוניינים להבין את האינטראקציות שבין החלקיקים, עלינו לשלב בין השניים בעזרת כעין חיקוי חיוור ומסורבל של מכפלה. על אף שייתכן שהמערכת שאנו משתמשים בה כעת פועלת, אין היא אלגנטית ממש.
כחלופה, דמיינו לעצמכם יקום מוזר שאין בו זמן אלא רק מרחב. אם מספר הממדים של היקום הזה הוא אחד, שניים, ארבעה או שמונה, גם חלקיקי החומר וגם חלקיקי הכוח שלו יהיו גלים המתוארים על ידי מספר מסוג אחד ויחיד - כלומר, מספר מאלגברה עם חילוק, הסוג היחיד של מערכת המאפשר חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
במילים אחרות, בממדים האלו הווקטורים והספינורים מתאחדים: כל אחד ואחד מהם הוא פשוט מספר ממשי, מספר מרוכב, קווטרניון או אוקטוניון, בהתאמה. הסופר-סימטריה מתהווה מאליה, ומעניקה תיאור מאוחד של חומר וכוחות. מכפלה פשוטה מתארת אינטראקציות, וכל החלקיקים, לא משנה מאיזה סוג, משתמשים באותה מערכת מספרים.
ועם זאת, יקום המשחק שלנו אינו יכול להיות אמיתי, מכיוון שצריך להביא בחשבון גם את הזמן. בתורת המיתרים יש לשיקול הזה תוצאה מעוררת סקרנות. בכל רגע ורגע בזמן מיתר הוא עצם חד-ממדי, כמו עקומה או קו. אבל עם חלוף הזמן המיתר הזה מתווה מאחוריו משטח דו-ממדי.
ההתפתחות הזאת משנה את הממדים שבהם צומחת הסופר-סימטריה, על ידי הוספת שני ממדים - ממד אחד עבור המיתר וממד אחד עבור הזמן. במקום סופר-סימטריה בממד אחד, או בשניים, בארבעה או בשמונה ממדים, אנחנו מקבלים סופר-סימטריה בשלושה, בארבעה, בשישה או בעשרה ממדים.
במקרה, תיאורטיקנים של תורת המיתרים טוענים זה שנים שרק גרסאות עשר-ממדיות של התיאוריה ניחנות בעקיבות פנימית. שאר הגרסאות סובלות מפגמים המכונים אנומליות, שבהם חישוב של אותו דבר בשתי דרכים שונות נותן תוצאות שונות. בכל מצב שאיננו 10 ממדים, תורת המיתרים קורסת.
אבל תורת מיתרים 10-ממדית היא, כפי שראינו כעת, בדיוק הגרסה של התיאוריה העושה שימוש באוקטוניונים. לכן, אם תורת המיתרים נכונה, האוקטוניונים אינם שעשוע חסר תועלת: אדרבה, הם מספקים את הסיבה העמוקה לכך שליקום חייבים להיות 10 ממדים: ב-10 ממדים, חלקיקי החומר וחלקיקי הכוח מגולמים באותו סוג של מספרים - האוקטוניונים.
הממברנות מסבכות את התמונה
אבל אין זה סוף הסיפור. לאחרונה החלו הפיזיקאים ללכת אל מעבר למיתרים ולחקור ממברנות. לדוגמה, ממברנה דו-ממדית, המכונה גם ברנת-2, נראית כמו יריעה בכל רגע ורגע. עם חלוף הזמן, היא מסרטטת מאחוריה נפח תלת-ממדי במרחב-זמן.
בתורת המיתרים היינו צריכים להוסיף שני ממדים לאוסף הסטנדרטי של אחד, שניים, ארבעה ושמונה, ואילו כעת עלינו להוסיף שלושה. כך, כשאנו עוסקים בממברנות עלינו לצפות שהסופר-סימטריה תתהווה מאליה בארבעה, בחמישה, בשבעה וב-11 ממדים.
וכמו בתורת המיתרים מצפה לנו הפתעה: חוקרים אומרים לנו שתיאוריית M (בדרך כלל האות "M" מציינת "ממברנה") דורשת 11 ממדים - והדבר מרמז שבאופן טבעי כדאי לה להשתמש באוקטוניונים. לרוע המזל, אין איש מבין את תיאוריית M במידה מספקת שתאפשר אפילו לרשום את משוואותיה הבסיסיות (האות M מציינת גם את המילה "מסתורין"). קשה לומר איזו צורה בדיוק היא תלבש בעתיד.
וכאן עלינו להדגיש שעדיין אין לתורת המיתרים ולתיאוריית M תחזיות שאפשר לבחון אותן בניסוי. הן חלומות יפהפיים - אבל נכון לעכשיו, חלומות ותו לא. היקום שאנו חיים בתוכו אינו נראה 10-ממדי או 11-ממדי, ועדיין לא ראינו שום סימטריה בין חלקיקי חומר לחלקיקי כוח.
דייוויד גרוס, אחד המומחים המובילים בעולם בתורת המיתרים, מהמר נכון לעכשיו שהסיכוי לגלות ראיה כלשהי לסופר-סימטריה במאיץ ההדרונים הגדול ב-CERN עומד על 50%. הספקנים טוענים שהרבה פחות מכך. רק ימים יגידו.
האי-ודאות הזאת היא הסיבה לכך שעדיין אנחנו רחוקים מרחק רב מן הידיעה אם האוקטוניונים המוזרים ממלאים תפקיד יסודי בהבנת העולם שאנו רואים סביבנו, או שאינם אלא יצירה מתמטית יפהפייה ותו לא.
מובן שיופי מתמטי הוא מטרה ראויה העומדת לעצמה, אבל יהיה הרבה יותר נפלא אם יתברר שהאוקטוניונים שזורים בעצם מארג הטבע. כפי שמדגים סיפורם של המספרים המרוכבים ושל אינספור פיתוחים מתמטיים אחרים, זו ממש לא תהיה הפעם הראשונה שהמצאות מממלכת המתמטיקה הטהורה יספקו מאוחר יותר בדיוק את הכלים הנדרשים לפיזיקאים.
ג'ון ק' באאז (Baez) עוסק בפיזיקה מתמטית ופועל כיום במרכז לטכנולוגיות קוונטיות של סינגפור. לפני כן הוא חקר שאלות בפיזיקה יסודית.
ג'ון הוארטה (Huerta) מסיים את לימודי הדוקטורט שלו במתמטיקה באוניברסיטת קליפורניה בריוורסייד. עבודתו מטפלת ביסודות הסופר-סימטריה.
הכתבה המלאה התפרסמה בגיליון אוגוסט-ספטמבר של המגזין "סיינטיפיק אמריקן - ישראל" בהוצאת אורט.
לפנייה לכתב/ת 
