האם הוכחה השערת רימן?
מתמטיקאי מאוניברסיטת פרדו הגיש הצעה להוכחת השערת רימן, אחת הבעיות הבלתי-פתורות הגדולות של זמננו. ההוכחה טרם נבדקה
המתמטיקאי לואי דה ברנאז', אשר ביצע בעבר ניסיונות אחדים לא-מוצלחים להוכיח את השערת רימן (Riemann), פרסם את הצעת ההוכחה בציבור בטרם פורסמה בכתב עת מדעי ובטרם נבדקה על ידי אחרים. הפרסום המהיר והנרחב בא להכריז על זכויותיו על ההוכחה, במקרה שיימצא אחר שיציע גרסה דומה.
פרס למוכיח ולא למפריך
זאת בשל פרס של מיליון דולר, אשר יינתן על ידי המכון המתמטי של קיימברידג', מסצ'וסטס, למי שיוכיח השערה זו. מעניין לציין, כי אם מישהו יפריך את השערת רימן הוא לא יזכה בפרס. ייתכן שהסיבה לכך היא שהוכחה היא עבודה מתמטית טהורה, בעוד שהפרכה יכולה להתקבל גם על ידי מחשב, שימצא דוגמה סותרת אחת.
השערת רימן, שהוצגה לראשונה בשנת 1859, לא הוכחה מעולם, גם לא על ידי ברנרד רימן עצמו שניסה לעשות זאת במשך שבע השנים שלאחר מכן, עד למותו בשנת 1866. זוהי השערה הנוגעת, בין השאר, למספרים ראשוניים ולאופן התפלגותם בין המספרים האחרים. ההשערה מתייחסת לפונקציה המכונה פונקצייית זיתא של רימן.
פונקציית זיתא
פונקציה זו היא בעלת חשיבות במתמטיקה ובפיזיקה, שלא כל תכונותיה נחקרו במלואן. האפסים של הפונקציה, כלומר הערכים שניתן להציב בה כך שהתוצאה תהיה אפס (דהיינו: "פתרונות" הפונקציה), מתחלקים לשני סוגים: "טריוויאליים", שהם כל המספרים השליליים הזוגיים (כמו -2, -4, -6), ולא-טריוויאליים, שהם מספרים מרוכבים.
מספר מרוכב הוא סכום של מספר "רגיל" כלומר ממשי, ומספר מדומה. מספר מדומה הוא שורש של מספר שלילי. השורש של 1- מסומן באות i. כך, למשל, השורש של 4- הוא 2i. מספר כמו 2.5+3i הוא מספר מרוכב, ונהוג להציגו כנקודה ב"מישור המרוכב", ואז הציר האופקי מייצג את החלק הממשי של המספר, והציר האנכי מייצג את החלק המדומה.
מספרים מרוככים
השערת רימן גורסת כי בהצגה מסוימת של פונקציית זיתא של רימן, הפתרונות המתקבלים הם כולם מספרים מרוכבים בעלי חלק ממשי השווה ל-1/2, וחלקים מדומים כלשהם. אם נציג את הפתרונות על גבי המישור המרוכב, נראה שכולם נמצאים על ישר אנכי, שערכו בציר הממשי ½. נראה כי רימן לא הגיע למסקנה זו בכוחה של אינטואיציה טהורה, אלא בחישוב ידני מדוקדק של חלק מפתרונות הפונקציה.
מה הקשר למספרים ראשוניים? השערת רימן קשורה קשר הדוק לטענה מתמטית אחרת, הנוגעת למספרים ראשוניים. זוהי טענה הנובעת מהשערת רימן (אם תוכח), אך היא הוּכחה כבר בעבר בדרכים אחרות. "משפט המספרים הראשוניים"prime number theorem מתייחס לשאלה, כמה מספר ראשוניים קיימים בטווח מסוים. למשל, כמה מספרים ראשוניים קיימים עד המספר 100? עשרים-וחמישה. וכמה עד המספר 1000? מאה-שישים-ושמונה. וכמה עד 10 בחזקת 10?
צפיפות ממוצעת
מתברר כי ניתן לקבל אומדן טוב באמצעות פונקציה שהיא אינטגרל על לוגריתם. המשמעות שלה היא מעין "צפיפות ממוצעת" של המספרים הראשוניים. ניתן לומר שלפי המשפט, ההסתברות שמספר כלשהוn הוא מספר ראשוני, נתונה לפי 1/log(n). קיימות עדיין בעיות בלתי-פתורות רבות הקשורות למספרים ראשוניים. המוטיבציה לפתירתן היא בחלקה אינטלקטואלית טהורה ובחלקה יישומית, מאחר שמספרים ראשוניים הם שימושיים במיוחד בהצפנה. בין השאלות הבלתי פתורות:
- כמה "זוגות" של מספרים ראשוניים, שההפרש ביניהם הוא 2, קיימים? זוגות הם, למשל, 3 ו-5, או 29 ו-31. ייתכן שקיימים אינסוף כאלה.
- האם לכל מספר n, קיים מספר ראשוני בטווח שבין n2 ו- (n+1)2?
המחקר של מספרים ראשוניים מתפתח אף באמצעים נומריים (באמצעות מחשב). באמצעים כאלה נמצא לאחרונה המספר הראשוני הגדול ביותר המוכר כרגע לאנושות, ולו 7 מיליון ספרות. את המספר, שהתפרסם ביוני השנה, ניתן להציג כ: 2 בחזקת 24,036,583 פחות אחד.
לפנייה לכתב/ת 
