אלכסיי אנטין, איגור שלוחין
האולימפיאדה הבינ"ל למתמטיקה
את הנבחרת מרכזים ומנחים פרופ' שי גירון וד"ר שוני דר, באוניברסיטת חיפה והישגיה באולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית בשנים האחרונות מכובדים ביותר: במשך חמש השנים 2000 עד 2004, הצליחה הנבחרת להתברג ברבעון העליון בדרוג המדינות (כלומר להיות ברשימת עשרים המדינות המובילות). בין ההישגים הבולטים היו המקום ה 11 בשנת 2000, והמקום ה 14 השנה). בשנים אלה זכו כל חברי הנבחרת במדליות (4 מהן הן מדליות זהב).
התחרות מתרחשת בשני אולמות, כאשר כל אחד עובד בנפרד – כמו מבחן בגרות.
במהלך שני ימים של תחרות מקבלים המתחרים בכל יום שלוש שאלות שעליהם לפתור, בזמן של 4.5 שעות.
מתמודדים כמעט 500 בני נוער, מ-85 מדינות. ישראל שלחה 6 נציגים לאולימפיאדה, אחד זכה בזהב, אחד בכסף, השאר בארד. את מדליית הזהב מקבלים 40 הראשונים בתחרות, לא בהכרח מי שפתר את כל השאלות.
התרגילים מהתחרות מאד מופשטים. למשל - למצוא את כל המספרים הטבעיים שיש להם כפולה בה הספרות מסודרות זוגי-אי זוגי-זוגי-אי-זוגי פתרון: למעשה, כל מספר שלא מתחלק בעשרים, יש לו כפולה כזו.
שאלה נוספת – הכי קשה שהייתה בתחרות - להוכיח איזה סוג של מלבנים יכולה צורה מסוימת לכסות בלי רווחים.
השנה היו בארץ 8 מועמדים ו-2 בחרו לא לנסוע. בדרך כלל בוחרים את המועמדים מתוך התחרויות הארציות. קהל היעד של הפרויקט הוא תלמידי תיכון בארץ, בעלי מוטיבציה וכשרון למתמטיקה. באולימפיאדה מותר להשתתף עד גיל 19-20.
איך מתכוננים? הנבחרות היותר מקצועניות עושות מחנות אימונים. הישראלים מתכנסים בטכניון או באונ' חיפה ופותרים כמה שאלות... אין תקציב ליותר מזה.
שאלה מתוך ההכנה לאולימפיאדה:
בעיית הביליארד
כדור משוגר במהירות יחידה בזוית 45 מעלות מהקודקוד השמאלי התחתון של מלבן שרוחבו 2004 יחידות וגובהו 2005 יחידות. בכל פעם שהוא פוגע באחת הצלעות, הוא מוחזר לפי הכלל: "זווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה" (ראה ציור). יש להוכיח שכעבור זמן סופי הכדור יחזור לקודקוד ממנו שוגר.
פתרון
נבנה שורה המורכבת מ-2005 עותקים של המלבן הנתון, ואח"כ נשכפל שורה זו 2004 פעמים. ריצפנו באמצעות המלבן המקורי רבוע בעל צלע באורך 2004*2005. כדי לדעת מהו מיקום הכדור בכל זמן, ניתן באופן שקול להתבונן במיקום כדור המשוגר מהפינה השמאלית התחתונה של הריבוע המרוצף בזוית 45 מעלות, ע"י בחינת מיקומו ב"מרצפת" המלבנית בה הוא נמצא כרגע. ברור אם כן, שלפי התיאור האחרון הכדור יגיע לפינה הימנית העליונה בזמן סופי (שווה לאורך האלכסון) ופירוש הדבר הוא שהכדור המקורי חזר לנקודת ההתחלה.
השאלה נלקחה מתוך תחרות גרוסמן הנערכת בטכניון, ומנוהלת ע"י פרופ' איתי שפריר ופרופ' שי גירון
המעוניינים להשתתף בתחרות בשנה הבאה יכולים להקיש כאן
או לשלוח מייל לכתובת הבאה: shay@math.haifa.ac.il
אלכסיי אנטין, ואיגור שלוחין, הזוכים במדליות זהב וארד באולימפיאדת המתמטיקה הבינ"ל, התארחו בתכנית מספר 135
