מספרים ראשונים ומספרים בלתי-פריקים

כדי להבין את שאלת הפירוק היחיד לגורמים ראשוניים ואת גודל ההפתעה שזומנה לחברי האקדמיה הפריזאית ב-1847, עלינו לחזור למאה השלישית לפנה"ס, לספרי האריתמטיקה ב"אלמנטים" של אווקלידס. בספר השביעי של ה"אלמנטים" מוגדר מספר ראשוני באופן המוכר לנו היום, כמספר שמתחלק אך ורק בעצמו ובמספר 1, או במילים אחרות, כאי-פריקות של המספר לגורמים ראשוניים.

בין המשפטים הרבים שמטפלים שם במספרים ראשוניים מופיע המשפט הבא: "אם מספר ראשוני מחלק מכפלה של שני מספרים שלמים, הרי שהוא מחלק את אחד הגורמים במכפלה". כך למשל, 3 מחלק את 42, ואם אנו מפרקים את 42 לשני גורמים (למשל, 6, ו-7), הרי ש-3, שהוא מספר ראשוני, חייב לחלק את אחד מהם, במקרה הזה את 6.

לעומת זאת, אם ניקח את 6, שאיננו מספר ראשוני אבל מחלק את 42, ואם נחלק את 42 לשני גורמים, למשל 21 ו-2, הרי ש-6 איננו חייב לחלק את אף אחד מן הגורמים הנ"ל. מאז ימיו של אווקלידס התכונה המסויימת הזו נתפשה כאיפיון מחייב של כל מספר ראשוני, ולמעשה כשקולה להגדרה הבסיסית יותר, דהיינו, תכונת האי-פריקות לגורמים.

אחת המסקנות החשובות הנובעות בקלות מסך המשפטים של אווקלידס על אודות המספרים הראשוניים הוא מה שמכונה היום "המשפט היסודי של האריתמטיקה", הקובע כי כל מספר שלם ניתן לכתיבה כמכפלה של גורמים ראשוניים בדרך אחת ויחידה (למעט סדר הגורמים). זו תוצאה המוכרת לכול, עוד מבית הספר יסודי, כאשר מפרקים מספר לגורמים לצורך מציאת מכנים משותפים לשברים.

בפועל, הראשון שניסח והוכיח בצורה מסודרת את המשפט היה גאוס, והוא גם הראשון שניסח והפעיל אותו על מערכת מספרים שונה ממערכת המספרים השלמים. אכן, גאוס הוכיח את המשפט היסודי של האריתמטיקה עבור השלמים הגאוסיאנים, אותם הגדרתי לעיל. מובן שלצורך זה הוא היה צריך להגדיר מיהם הראשוניים של מערכת השלמים הגאוסיאנים, ובעשותו כן גאוס הניח כמובן מאליה את השקילות בין שתי ההגדרות של הראשוניים.

כאשר דנו קושי, ליוּביל ולאמה בהוכחת משפט פרמה המבוססת על פירוק לגורמים xn + yn = (x + y) (x + ry) (x + r2y) … (x + rn-1y), ובשאלה אם הפירוק הזה הוא פירוק יחיד, הם הרחיבו טיעונים מהסוג שגאוס הפעיל בהוכחתו הדומה בתחום השלמים הגאוסיאנים.

אכן, הגאוסיאניים בנויים באמצעות המספר i המקיים את התנאי 1- = 2i, ולכן 1 = 4i, ואילו בפירוק הנ"ל מופיע מספר אי-זוגי n ומספר אחר r המקיים 1 = rn. כמו גאוס, הם גם הניחו את השקילות בין שני המושגים של ראשוניות במערכת נתונה. כאן מקור ההפתעה, שהרי בפועל, כפי שהראה קומר, ההנחה הזאת פשוט איננה נכונה!