ראשוניים תמיד בראש

בני האדם החלו לחקור את תְּחוּם הַמִּסְפָּרִים כבר בראשית יְמֵי הַהִיסְטוֹרְיָה הָאֱנוֹשִׁית, מאותה תקופה שבה למדו לִסְפּור וְלִמְנוֹת. ולא תאמינו כמה מִסְפָּרִים הצליחו אותם חכמים קדומים לגלות - מִסְפָּרִים טבעיים, מִסְפָּרִים מַמָּשִׁיִּים, מִסְפָּרִים רַצְיוֹנָלִיִּים ועוד. בין כל אותן ערימות מִסְפָּרִים, שרבים נתקלים בהן בשיעורי החשבון, מסתתרים להם יצורים מוזרים ומשונים - המִסְפָּרִים הָרִאשׁוֹנִיִּים.

המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים טָרְדוּ אֶת שַׁלְוָתָם של גְּדוֹלֵי הַמָּתֶמָטִיקָאִים לאורך כל ההיסטוריה. טוֹבֵי הַמַּדְּעָנִים וְהַחוֹקְרִים בתחום ניסו לגלות במהלך השנים את סודם של אותם מִסְפָּרִים, אך ככל שחקרו יותר - כך גם הסתבכו יותר. אותם מדענים, שהצליחו לְשַׁגֵּר אָדָם לַיָּרֵחַ ולהמציא את פְּצָצַת הָאָטוֹם, לא הצליחו עד עצם היום הזה לְפַצֵּחַ את סוד המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים. למעשה, עד היום אין בידינו נוסחה, בעזרתה אפשר ליצור סידרה שכל אֲבָרֶיהָ רִאשׁוֹנִיִּים. אבל רגע, כדי להבין את החידה המרתקת ואת הסיבה לכך שטובי המוחות בעולם טרם הצליחו למצוא לה פתרון, כדאי שנבין מהו בכלל מספר רִאשׁוֹנִי.

מהו מספר רִאשׁוֹנִי?

ובכן, מספר רִאשׁוֹנִי הוא מספר שָׁלֵם, חיובי, הגדול מ-1 ומתחלק, ללא שְׁאֵרִית, בעצמו וב-1 בלבד. בטח כבר יצא לכם להכיר את המִסְפָּרִים 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 - הם למעשה המִסְפָּרִים הנמצאים בתחילתה של סדרת המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיים. כל המִסְפָּרִים הללו מתחלקים רק בעצמם וב-1 - נסו ותראו!

שאר המִסְפָּרִים נקראים בפי הַמָּתֶמָטִיקָאִים "מִסְפָּרִים פְּרִיקִים", כי ניתן לְפָרֵק אותם לגורמים. את המספר 12, למשל, ניתן לְפָרֵק לגורמים באמצעות פְּעולַּת כֶּפֶל (2*2*3=12), את המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים - לא! אז מה בעצם הבעיה? הרי מיד אפשר לראות שהמספר 2 מתחלק רק בעצמו וב-1, נכון? אבל מה תגידו על המספר 25567895432? האם הוא רִאשׁוֹנִי או לא? קצת קשה לחשב, נכון? ובכן, כדי להבין כיצד החלה חידת המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים לִקְרום עוֹר וְגִידִים, כדאי שנחזור אחורה, במנהרת הזמן, לְמֵאָה הַשְּׁלִישִׁית לִפְנֵי הַסְּפִירָה.

אבני היסוד של המִסְפָּרִים השלמים

כבר לפני יותר מ-2,000 שנה ידעו גְּדוֹלֵי המָּתֶמָטִיקָאִים בְּיָוָן הָעַתִּיקָה כי קיימים אֵינְסְפוֹר מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים, השונים בִּתְכוּנוֹתֵיהֶם משאר המִסְפָּרִים, אך הַכֵּלִים הַחֶשְׁבּוֹנִיִּים שהיו מצויים בידם לא אִפְשְׁרוּ להם לקבוע לְבֶטַח האם מספר מסוים הוא מספר רִאשׁוֹנִי או לא.

אחד המָּתֶמָטִיקָאִים הרִאשׁוֹנִים שעסק בתחום המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים היה המָּתֶמָטִיקָאי הַיְּוָנִי אוֹקְלִידְּס שֶׁחַי בְּאָלֶכְּסַנְדְּרִיָּה שֶׁבְּמִצְרַיִם בין השנים 330-260 לפני הספירה. אוֹקְלִידְּס, שנחשב לאחד משלושת המָּתֶמָטִיקָאִים הגדולים בדורו, הקדיש את חייו למתמטיקה ואף כתב ספר עָב כֶּרֶס בַּשֵּׁם "הָאֶלֶמֶנְטִים", בו ארגן באופן שִׁיטָתִי וברור את כל הידע המתמטי שהיה ידוע לבני דורו. ספר זה תורגם והודפס יותר מכל ספר אחר בהיסטוריה (כמעט כמו התנ"ך).

בין ההוכחות המתמטיות בספרו של אוֹקְלִידְּס ניתן למצוא גם משפטים מפורסמים שקשורים במִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים. משפט מפורסם אחד נקרא "המשפט היסודי של הָאָרִיתְמֶטִיקָה". משפט זה קובע כי כל מספר טבעי (המִסְפָּרִים שאנו סופרים כבר בגיל הרך) ניתן להציג על ידי מַכְפֵּלָה של מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים. למשל : 6=2X3 (2 ו-3 הם מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים), 42=6X7 (7 הוא מספר רִאשׁוֹנִי והמספר 6 מורכב ממכפלת 2 ו-3 שהם מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים).

ודאי נתקלתם בתופעה הזו של פירוק לגורמים כשניסיתם למצוא מְכַנֶּה מְשׁותָּף בתרגילי שְׁבָרִים בבית הספר. וכפי שאתם בטח רואים, המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים הם מעין אַבְנֵי יְסוֹד, או אם תרצו - מעין אֲטוּמִים שמרכיבים את המִסְפָּרִים הַשְּׁלֵמִים ומכאן חשיבותם הרבה בעיני המָּתֶמָטִיקָאִים.

רִאשׁוֹנִי עד אֵינְסוֹף

אבל זה עוד לא הכל... אוֹקְלִידְּס הצליח גם להוכיח כי קיימים אֵינְסוֹף מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים. איך הוא עשה זאת? פשוט מאוד, על דֶּרֶךְ הַשְּׁלִילָה. בואו נניח, למשל, כי קיימים רק שלושה מספרים רִאשׁוֹנִיִּים. כעת ניקח את כל המספרים הרִאשׁוֹנִיִּים (מהמספר הרִאשׁוֹנִי הקטן ביותר הקיים ואילך) ונכפיל אותם זה בזה (2X3X5= 30). לתוצאה נוסיף 1 (30+1=31). המספר שקיבלנו הינו מספר רִאשׁוֹנִי, מכיוון שהוא מתחלק אך ורק בעצמו וב-1. זוהי בעצם ההוכחה לְאֵינְסוֹפִיּוּתָם של המספרים הרִאשׁוֹנִיִּים, מכיוון שבכל פעם שנבצע את הפעולה הזו נגלה מספר רִאשׁוֹנִי שהוא גדול יותר מהמספר אותו קבענו בתחילה. כלומר: קיימים אֵינְסוֹף מספרים רִאשׁוֹנִיִּים!

תכונה נוספת של המספרים הרִאשׁוֹנִיִּים היא שהם אינם מופיעים בסדר קבוע בין כל המספרים הַטִּבְעִיִּים. בַּעֲשִׂירִיַּת המספרים הראשונה (1-10), למשל, ניתן למצוא ארבעה מספרים רִאשׁוֹנִיִּים (2,3,5,7). גם בעשירייה השנייה (10-20) נמצא ארבעה מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים (11, 13, 17, 19). בין 30-40, לעומת זאת, ניתן למצוא רק שני מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים (31, 37) ואילו בין 100-110 נמצא רק שלושה מִסְפָּרִים (101, 103, 109). מחקרים שנעשו לאחרונה בתחום אף הוכיחו כי ככל שעולים בסולם המִסְפָּרִים החיוביים כך הופכים המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים לנדירים יותר ויותר. תודו שזה קצת מבלבל, נכון? ובכן, כמו שכבר הבנתם לא רק אתם התבלבלתם - גם טובי המָּתֶמָטִיקָאִים הִתְקַשּׁוּ לעשות סדר בבלגן.

המסננת של ארתוסתנס

ארתוסתנס, שהיה אף הוא מָּתֶמָטִיקָאי יווני ידוע, היה הראשון שמצא שיטה פשוטה למציאת כל המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים הקטנים ממספר נתון כלשהו. איך הוא עשה זאת? לפניכם רשימה של כל המִסְפָּרִים הטבעיים מ-1 ועד למספר נתון כלשהו (למשל: 1-30).

11 12 13 1 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

המטרה היא למחוק את המִסְפָּרִים שאינם עונים על ההגדרה של מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים, כלומר: את אותם מִסְפָּרִים שמתחלקים רק בעצמם וב-1. ראשון יימחק המספר 1 מכיוון שהוא אינו מספר רִאשׁוֹנִי, אך גם אינו מספר פָּרִיק. עכשיו נסמן את המספר הרִאשׁוֹנִי הראשון ברשימה (2), ומכיוון שישנם עוד הרבה מִסְפָּרִים זוגיים שמתחלקים ב-2 (וזה אומר שהם ממש לא רִאשׁוֹנִיִּים) אז נמחק גם אותם מהרשימה. (וכך יורדים לנו המִסְפָּרִים- 4 ,6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30). בשלב הבא נסמן את המספר הרִאשׁוֹנִיִּים הבאים המוכרים לנו: 3, 5, 7. כעת נמחק את כל המִסְפָּרִים שמתחלקים ב- 3, 5 ו- 7 (וכך יורדים לנו המִסְפָּרִים: 9, 15, 21, 25, 27). ומה נשאר לנו בסוף? המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים כמובן: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

השיטה של ארתוסתנס מסננת את המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים מבין כל שאר המִסְפָּרִים ולכן נקראת "הַמְּסַנֶּנֶת של ארתוסתנס". שיטת הַמְּסַנֶּנֶת היא שיטה יעילה למציאת רשימה של מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים הקטנים ממספר נתון. אולם, כאשר מדובר במִסְפָּרִים גדולים במיוחד הדבר הופך למסובך וקשה עד מאוד.

ארוכה הדרך לפתרון

פִיסִיקָאִים ומָּתֶמָטִיקָאִים רבים ניסו במהלך השנים למצוא שיטות ונוסחאות טובות יותר לפתרון הבעיה. ביניהם אפשר למצוא את המָּתֶמָטִיקָאי הַצָּרְפָתִי המפורסם פֵיר דֶּה פֶרְמֵה, שנחשב לְאָבִי תּוֹרַת המִסְפָּרִים. פֶרְמֵה הוא זה שניסח לראשונה את הנוסחה הכללית למִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים. אולם, גם לַמְדָנוּתוֹ וְשַׁקְדָנוּתוֹ לא עזרו לו במקרה זה ונוסחתו התגלתה למרבה הצער כּשְׁגוּיָה. גם מָּתֶמָטִיקָאִים נודעים אחרים כמו גָּאוּס, מַרְטִין מֵרסֶן וְאוֹלְיֶר ניסו למצוא נוסחאות ופתרונות, אך לשווא...

כיום ניתן לבצע בעזרת המחשב חישובים למציאת מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים בזמן קצר יותר, אולם חידת המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים נותרה בלתי פתורה ועד היום לא נמצאה נוסחה מושלמת. חידת המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים תמשיך להטריד, ככל הנראה, גם את מוחם הקודח של הַפִיסִיקָאִים והמָּתֶמָטִיקָאִים בַּדּוֹר הַנּוֹכְחִי ובדורות הבאים, ומי יודע - אולי בעתיד תבוא גם חידה זו על פתרונה. ואם אתם תצליחו למצוא מספר רִאשׁוֹנִי משלכם... אנחנו מבטיחים לכתוב על כך בירחון. אז קדימה, צאו לדרך! המספר הרִאשׁוֹנִי הבא מחכה שתגלו אותו.

הידעתם? 

• המָּתֶמָטִיקָאי הידוע גָּאוס, שהיה חובב מושבע של מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים, נהג לבלות את כל זמנו הפנוי בחישובים למציאת עוד ועוד מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים. לדבריו, בכל פעם שהייתה לו רבע שעה פנויה – נהג לִמְנוֹת את כל המִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים בתוך אלף מִסְפָּרִים טבעיים רצופים
• למִסְפָּרִים הרִאשׁוֹנִיִּים יש גם מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים תאומים. אלו הם מִסְפָּרִים רִאשׁוֹנִיִּים שההפרש בינם לבין מספר רִאשׁוֹנִי אחר הוא 2 (למשל 7, 5 או 11, 13)
• המספר הרִאשׁוֹנִי הגדול ביותר שנמצא עד היום הוא מספר בעל 65,050 ספרות!