שתף קטע נבחר

הכי מטוקבקות
    האם אלוהים הוא מתמטיקאי? פרק מספר
    ספרו החדש של מריו ליביו מציג את התעלומה שעמה התלבטו המוחות המקוריים ביותר במהלך הדורות – מדוע יש למתימטיקה עוצמה כה רבה? מימי קדם ועד להווה, מדענים ופילוסופים השתוממו על יכולתו של תחום כה מופשט, לכאורה, להסביר את העולם הטבעי באורח כה מושלם. קטע מהפרק הראשון

    לפני כמה שנים נתתי הרצאה באוניברסיטת קורנל. באחת משקופיותיה של מצגת הפאוארפוינט שלי הופיעה השאלה: "האם אלוהים הוא מתימטיקאי?" ברגע שהופיעה השקופית שמעתי את גניחתו של סטודנט מן השורה הראשונה: "אלוהים אדירים, אני מקווה שלא!"

     

    השאלה הרטורית שהצגתי לא הייתה ניסיון פילוסופי להגדיר את אלוהים למען שומעַי, וגם לא מזימה מחוכמת להטיל אימה על היראים ממתימטיקה. לא ולא, פשוט ניסיתי להציג תעלומה שעמה התלבטו אחדים מהמוחות המקוריים ביותר בהיסטוריה במשך דורות – הימצאותה של המתימטיקה בכל מקום ומקום, כמדומה, ועוצמתה הכול־יכולה. אלה הם ממין המאפיינים שהדעת מקשרת בדרך כלל עם האלוהות. כפי שהציג את הדברים הפיסיקאי הבריטי ג'יימס גִ'ינס (1877 – 1946): "היקום נראה כאילו עיצב אותו מתימטיקאי טהור". המתימטיקה נראית כמעט יותר מדי אפקטיבית בתיאורה ובהסברתה לא רק את הקוסמוס בכללותו, אלא גם אחדים ממפעליו המבולגנים ביותר של האדם.

     

    אין זה משנה אם מדובר בפיסיקאים המנסים לנסח תיאוריות של היקום, באנליסטים של הבורסה המקמטים את מצחם בניסיון לחזות מתי ייחלץ שוק המניות מהמשבר, בנוירוביולוגים הבונים מודלים של תפקודי המוח או בסטטיסטיקאים של המודיעין הצבאי החותרים לאופטימיזציה בהקצאת משאביהם: כולם כאחד משתמשים במתימטיקה. יתר־על־כן, גם כאשר הם משתמשים בפורמליזמים שפותחו בענפים שונים של המתימטיקה, הם עדיין מסתמכים על אותה המסגרת הכוללנית והמגובשת של המתימטיקה.

     

    מנין שואבת המתימטיקה את הכוחות המופלאים הללו, כוחות שפשוט לא ייאמנו? או כפי שתהה פעם איינשטיין, "כיצד ייתכן שהמתימטיקה, פרי המחשבה האנושית שאינו תלוי בהתנסות, מתאימה באורח כה מושלם לעצמים של המציאות הפיסיקלית?"

     

    אין שום חידוש בתהייה העמוקה הזאת. אחדים מהפילוסופים של יוון העתיקה, ובייחוד פיתגורס ואפלטון, הביעו זה־כבר את יראתם מפני יכולתה הנדמית של המתימטיקה לעצב את היקום ולהנחותו – בעודה מתקיימת, ככל שראו הם את הדברים, מעבר ליכולת האדם לשנותה, לכוון אותה או להשפיע עליה.

     

    הפילוסוף הפוליטי האנגלי תומס הוֹבּס (1588 – 1679) התקשה גם הוא להצניע את התפעלותו. בספרו לויתן הציג הובס באורח מרשים ביותר את מה שנראה לו כיסוד החברה והממשלה, ובחר בגיאומטריה כמופת לטיעון רציונלי: "אם כן, הואיל והאמת כל עיקרה – סידור נכון של השמות בחיוויינו, כל המבקש אמת מדוייקת צריך לזכור על מה מורה כל שם שהוא משתמש בו, ולייחד לו מקום בהתאם לכך; שאם לא כן, יסתבך במלים, כציפור בין ענפים משוחים בדבק־ציידים, שככל שתתאמץ להיחלץ, כן תיצמד יותר לדבק. לפיכך בגיאומטריה, המדע היחיד שהואיל האל עד עתה להנחיל למין האדם, מתחילים בני־האדם בקביעת ההוראות של מלותיהם. לקביעת הוראות זו קוראים הם הגדרוֹת, ומייחדים להן מקום בתחילת חישובם".

     

    אלפי שנים של מחקר מתימטי מרשים ושל הגות פילוסופית מושכלת הועילו רק במעט, יחסית, לשפיכת אור על חידת עוצמתה של המתימטיקה. אדרבה, במובן מסוים התעלומה אף העמיקה עוד יותר. לדוגמה, רוג'ר פֶּנרוֹז, הפיסיקאי המתימטי המהולל מאוקספורד, רואה בה כיום לא תעלומה יחידה, אלא משולשת. פנרוז מזהה שלושה "עולמות" שונים: עולם התפיסה המודעת, העולם הפיסיקלי ועולם הצורות המתימטיות האפלטוני.

     

    העולם הראשון הוא משכן כל הדימויים השׂכליים שלנו – כיצד אנו תופסים את פני ילדינו, כיצד אנו מתענגים על שקיעה עוצרת־נשימה, כיצד אנו מגיבים על מראות הזוועה של המלחמה. זהו גם העולם שבו מצויות האהבה, הקנאה והדעות הקדומות, כשם שמצויות בו תפיסותינו את המוסיקה, את ריחות האוכל ואת הפחד. העולם השני הוא זה שאנו נוהגים לכנותו בשם "המציאות הפיסית".

     

    פרחים ממשיים, גלולות אספירין, עננים לבנים ומטוסי סילון שוכנים בעולם הזה, וכמוהם גם גלקסיות, כוכבי לכת, אטומים, לבבותיהם של בבונים ומוחותיהם של בני־אדם. עולם הצורות המתימטיות האפלטוני, שיש לו בעיני פנרוז קיום ממשי לא פחות מזה של העולם הפיסיקלי והשׂכלי, הוא מכורת המתימטיקה. זהו העולם שבו תמצאו את המספרים הטבעיים 1, 2, 3, 4,..., את כל הצורות והמשפטים של הגיאומטריה האוקלידית, את חוקי התנועה של ניוטון, את תורת המיתרים, את תורת הקטסטרופה ואת המודלים המתימטיים של התנהגות הבורסה. ומכאן, מציין פנרוז, נובעות שלוש התעלומות.

     

    ראשית, עולם המציאות הפיסית מציית ככל הנראה לחוקים השוכנים למעשה בעולם הצורות המתימטיות. זוהי החידה שכה התמיהה את איינשטיין, כשם שהפליאה את הפיסיקאי יוג'ין וִיגנֶר (1902 – 1995), חתן פרס נובל: "נס התאמתה של שפת המתימטיקה לניסוחם של חוקי הפיסיקה היא מתנה נפלאה שאיננו יכולים להבינהּ, כשם שאיננו ראויים לה. עלינו להכיר תודה עליה ולקוות שתישאר בתוקפה במחקרי העתיד – ואף תתרחב, לטוב ולרע, להנאתנו, אם כי אולי גם לתמיהתנו, אל תחומים נרחבים של הדעת".

     

    שנית, הרוח עצמה התופסת את הדברים – משכן תפיסותינו המודעות – מצליחה איכשהו להגיח מתוך העולם הפיסי. כיצד זה נולדת הרוח, פשוטו כמשמעו, מתוך חומר? האם נצליח אי־פעם לנסח תיאוריה של פעולת התודעה אשר תהיה מגובשת ומשכנעת ממש כמו, נאמר, התיאוריה האלקטרומגנטית שבה אנו מחזיקים עכשיו?

     

    ולבסוף, המעגל נסגר באורח מסתורי. אותן רוחות התופסות את הדברים, מסוגלות באורח פלא לזכות בגישה אל העולם המתימטי, על־ידי־כך שהן מגלות או יוצרות ומנסחות במפורש אוצר של צורות ומושגים מתימטיים מופשטים.

     

    פנרוז אינו מציע הסבר אף לאחת משלוש התעלומות הללו. תחת זאת הוא מסכם את הדברים בלשון לקונית: "בלי ספק יש בפועל לא שלושה עולמות אלא אחד, שאת טיבו האמיתי איננו יכולים כלל לראות כרגע". בהודאה זו יש הרבה יותר ענווה מאשר בתשובתו של המורה במחזה "מקץ ארבעים שנה" (פרי עטו של המחבר האנגלי אלן בֶּנֶט) על שאלה דומה במקצת:

     

    פוסטר: עניין השילוש לא לגמרי ברור לי, המורה.

     

    המורה: שלושה שהם אחד, אחד שהוא שלושה, פשוט לגמרי. אם יש לך עוד ספקות, גש למורה למתימטיקה.

     

    למען האמת, התהייה עוד הרבה יותר סבוכה מכפי שתיארתי אותה עד כה. למעשה, יש שני פנים להצלחתה של המתימטיקה בהסברת העולם הסובב אותנו (הצלחה שאותה כינה ויגנר "האפקטיביות הבלתי־סבירה של המתימטיקה"), וכל אחד מהם מדהים יותר ממשנהו.

     

    ראשית, ישנו ההיבט שנוכל לכנותו "פעיל". כשהפיסיקאים משוטטים במבוכיו של הטבע, המתימטיקה היא הנר לרגליהם – הכלים שהם מפתחים ומשתמשים בהם, המודלים שהם בונים וההסברים שהם מפיקים, כל אלה הם מתימטיים בטבעם. ולכאורה, זהו נס בפני עצמו.

     

    ניוטון צפה בתפוח נופל, בירח ובגיאות ובשפל על שפת הים (אם כי אינני משוכנע שהוא ראה שפת ים מימיו...) – הוא לא צפה במשוואות מתימטיות. ובכל זאת עלה בידו, איכשהו, להפיק מכל תופעות הטבע הללו חוקי טבע ברורים, מצומצמים ומדויקים במידה שלא תיאמן. בדומה לכך, כשניגש הפיסיקאי הסקוטי ג'יימס קלַרק מַקסוֶול (1831 – 1879) להרחיב את מסגרת הפיסיקה הקלסית כך שתחבוק את מלוא התופעות החשמליות והמגנטיות שהיו ידועות בשנות השישים של המאה התשע־עשרה, הוא עשה זאת באמצעות ארבע משוואות מתימטיות בלבד.

     

    חִשבו על כך לרגע. הסברת אוסף של תוצאות ניסויים באלקטרומגנטיות ובאור, שבעבר מילאה כרכים שלמים, הצטמצמה לארבע משוואות קצרצרות. תורת היחסות הכללית של איינשטיין מדהימה עוד יותר – זוהי דוגמה מושלמת לתיאוריה מתימטית מדויקת במידה יוצאת מן הכלל ועקבית המתארת דבר־מה בסיסי מאין כמוהו, מבנה המרחב והזמן.

     

    אבל יש גם צד "סביל" לאפקטיביות המסתורית של המתימטיקה, והוא מפתיע עד־כדי־כך שההיבט ה"פעיל" מחוויר לעומתו. מושגים ויחסים שהמתימטיקאים חוקרים רק למען המתימטיקה הטהורה – בלי שום מחשבה כלל על יישומם – מתגלים כעבור עשרות שנים (ולפעמים מאות שנים) כפתרונותיהן הלא־צפויים של בעיות המעוגנות במציאות הפיסיקלית! כיצד ייתכן הדבר?

     

    ראו לדוגמה את סיפורו המשעשע במקצת של המתימטיקאי הבריטי התימהוני גודפרי הרולד הַארדִי (1877 – 1947). הוא התגאה מאוד בכך שעבודתו אינה אלא מתימטיקה טהורה, ואף הכריז בהטעמה: "שום תגלית מתגליותַי, אין בה וקרוב לוודאי שלעולם לא יהיה בה, במישרין או בעקיפין, לטוב או לרע, שמץ של תועלת לטובת העולם".

     

    וראו זה פלא – טעות הייתה בידו. אחת מעבודותיו התגלגלה והפכה להיות חוק הארדי־ויינברג (הקרוי על שמם של הארדי ושל הרופא הגרמני וילהלם ויינברג), עיקרון בסיסי המשמש את הגנטיקאים בחקר האבולוציה של אוכלוסיות. במילים פשוטות, חוק הארדי־ויינברג קובע שאם אוכלוסייה גדולה מזדווגת באורח אקראי (ואם אין בה הגירה, מוטציה וברירה), אזי הרכבה הגנטי נשאר קבוע מדור לדור.

     

    אפילו עבודתו המופשטת לכאורה של הארדי בתורת המספרים – חקר תכונותיהם של המספרים הטבעיים – מצאה יישומים לא־צפויים. ב־1973 השתמש המתימטיקאי הבריטי קליפורד קוֹקס בתורת המספרים לפריצת דרך חשובה בהצפנה.

     

    תגלית קוקס גם הפריכה עוד אחת מהצהרותיו של הארדי. בספרו המפורסם "התנצלותו של מתימטיקאי", שיצא לאור ב־1940, הכריז הארדי: "איש לא מצא עדיין תכלית צבאית כלשהי שתורת המספרים משרתת אותה". אין צורך לומר ששוב הייתה טעות בידו. להצפנה יש חשיבות מאין כדוגמתה בתקשורת צבאית. ובכן, אפילו הארדי, אחד ממבקריה החריפים ביותר של המתימטיקה היישומית, "נגרר" (על אפו ועל חמתו, מן הסתם, אילו היה עדיין בארצות החיים) ליצירתן של תיאוריות מתימטיות שימושיות.

     

    וזוהי רק ההתחלה. קפלר וניוטון גילו כי כוכבי הלכת במערכת השמש שלנו נעים במסלולים שצורתם אליפטית – אותן עקומות עצמן שחקר אלפיים שנה לפני־כן המתימטיקאי היווני מֶנֵייכמוֹס (שהיה כנראה בן אמצע המאה הרביעית לפנה"ס). הסוגים החדשים של גיאומטריות שתיאר גאורג פרידריך ברנהרד רִימָן (1826 – 1866) בהרצאתו הקלסית מ־1854, התברר, היו בדיוק הכלים שנדרשו לאיינשטיין כדי להסביר את מארג הקוסמוס.

     

    "שפה" מתימטית הקרויה תורת החבורות, שאותה פיתח נער הפלא אֶוָורִיסט גָלוּאָה (1811 – 1832) רק כדי לבדוק אם משוואות אלגבריות מסוימות הן פתירות או לא־פתירות, משמשת כיום פיסיקאים, מהנדסים, בלשנים ואפילו אנתרופולוגים לתיאור כל הסימטריוֹת שבעולם.

     

    זאת ועוד, החשיבה על תבניות של סימטריה מתימטית הפכה, במובן ידוע, את כל התהליך המדעי על ראשו. במשך מאות שנים, הדרך להבנת פעולתו של הקוסמוס התחילה באיסוף עובדות בתצפית או בניסוי, ומתוכן, בשיטות של ניסוי וטעייה, חתרו המדענים לניסוחם של חוקי טבע כלליים. הדרך הייתה קבועה – תצפיות מקומיות תחילה, ובהמשך בניית התצרף פיסה אחר פיסה.

     

    משהובהר במרוצת המאה העשרים שבבסיס מבנהו של העולם התת־אטומי מצויות מתכונות מתימטיות מוגדרות היטב, החלו הפיסיקאים של זמננו ללכת בדרך ההפוכה בדיוק. הם הציבו את עקרונות הסימטריה המתימטית בפתיחה, טענו כי חוקי הטבע ואבני הבניין של החומר צריכים לנהוג לפי מתכונות מסוימות, והסיקו את החוקים הכלליים מתוך הדרישות הללו. מנין יודע הטבע שעליו לציית לסימטריות המתימטיות המופשטות הללו?

     

    ב־1975 ישב מיץ' פייגנבאום, שהיה אז פיסיקאי מתימטי צעיר במעבדה הלאומית לוס אלמוס, והשתעשע במחשבון הכיס שלו, HP-65. הוא בדק את התנהגותה של משוואה פשוטה, והבחין כי רצף מספרים מסוים שהופיע בחישוביו הולך ומתקרב בהתמדה אל מספר מסוים אחד: ...4.669. למרבה השתוממותו, כשבדק משוואות אחרות, שב והופיע אותו מספר מסקרן. לא עבר זמן רב בטרם הגיע פייגנבאום לכלל מסקנה שתגליתו מייצגת משהו אוניברסלי, המציין איכשהו את המעבר מסדר לכאוס, אף־על־פי שלא עלה בידו להסבירו.

     

    שלא במפתיע, הפיסיקאים גילו ספקנות רבה בהתחלה. אחרי ככלות הכול, מדוע צריך מספר אחד ויחיד לאפיין התנהגות המופיעה במערכות שונות לגמרי זו מזו? אחרי חצי שנה של שיפוט מקצועי, נדחה המאמר הראשון שביקש פייגנבאום לפרסם בנושא זה. אבל זמן לא־רב אחר־כך נמצא בניסוי כי כאשר מחממים הליום נוזלי מלמטה, הוא מתנהג בדיוק בדרך שמנבא הפתרון האוניברסלי של פייגנבאום. ועוד נמצא שאין זו המערכת היחידה המתנהגת כך. המספר המופלא של פייגנבאום הופיע גם במעבר מזרימה סדירה של זורם לזרימה מעורבלת, ואפילו בהתנהגות המים היוצאים מברז דולף.

     

    רשימת המקרים שבהם "הטרימו" המתימטיקאים את צורכיהם של תחומים שונים בדורות מאוחרים יותר מתארכת הלאה והלאה. אחת הדוגמאות המרתקות ביותר של משחק הגומלין המסתורי והלא־צפוי בין המתימטיקה לבין העולם הממשי (הפיסי) מצויה בתולדותיה של תורת הקשרים – החקר המתימטי של קשרים במובנה הפשוט ביותר של המילה, כגון קשר סבתא.

     

    הקשר המתימטי דומה לקשר בחוט, אלא ששני קצות החוט מאוחים יחדיו. עד כמה שהדבר נשמע מוזר, את הדחף העיקרי לפיתוחה של תורת הקשרים במתימטיקה סיפק מודל שגוי של האטום שפותח במאה התשע־עשרה. גם אחרי שנזנח המודל – רק כעשרים שנה אחרי הולדתו – המשיכה תורת הקשרים להתפתח, כענף אלמוני יחסית של המתימטיקה הטהורה. והנה, הפלא ופלא, המפעל המופשט הזה מצא לו פתאום יישומים נרחבים בזמננו, בתחומים המשתרעים מהמבנה המולקולרי של הדנ"א ועד לתורת המיתרים – הניסיון למזג את העולם התת־אטומי עם הכבידה.

     

    אני עומד לחזור לסיפור המופלא הזה בפרק 8, משום שההיסטוריה המעגלית שלו היא אולי ההמחשה הטובה ביותר לדרכים שבהם עשויים ענפי מתימטיקה לצמוח מתוך ניסיונות להסביר את המציאות הפיסית, להמשיך בדרכם אל תוך נבכיה המופשטים של המתימטיקה ולחזור שוב, במפתיע, אל כור מחצבתם.

     

    הקטע המובא כאן הוא מתוך הפרק הראשון בספרו של מריו ליביו, מחבר רבי המכר חיתוך הזהב ושפת הסימטריה, "האם אלוהים הוא מתימטיקאי". תרגם מאנגלית: עמנואל לוטם , הוצאת אריה ניר

     

    לפנייה לכתב/ת
     תגובה חדשה
    הצג:
    אזהרה:
    פעולה זו תמחק את התגובה שהתחלת להקליד
    צילום: אבי בליזובסקי
    פרופסור מריו ליביו
    צילום: אבי בליזובסקי
    עטיפת הספר
    עטיפת הספר
    מומלצים