שתף קטע נבחר
אתם שיתפתם
    זירת הקניות
    איך לגרום לכולם להרוויח. מורשת ג'ון נאש
    כולנו יכולים להיעזר בתיאוריות של המתמטיקאי גיבור "נפלאות התבונה", שהרחיב את תורת המשחקים ונהרג בתאונת מונית. איך שיתוף פעולה מקדם את כל הצדדים, מתי מרוויחים מלשתוק והאם כדאי להתחיל עם הבלונדינית?

    המתמטיקאי זוכה פרס נובל ג'ון נאש, שנהרג שלשום (שבת) בתאונת דרכים, הספיק להשאיר מאחוריו מורשת מרשימה של תיאוריות מתמטיות. אף שמדובר ברעיונות שנהגו לפני עשרות שנים, הן עדיין עומדות בלב הגיאומטריה המודרנית, כמו גם בתחומי טופולוגיה, משחקים ומשוואות דיפרנציאליות, וכך קבעו את מקומו של נאש בהיסטוריה.

     

    נאש (86) ואשתו אלישיה (82) נהרגו בזמן שנסעו במונית בכביש ראשי בניו ג'רזי: הנהג איבד שליטה במהלך עקיפה והמכונית הוטחה במעקה בטיחות. על פי הדיווח המשטרתי, בני הזוג ככל הנראה לא חגרו חגורות בטיחות, והועפו מחוץ למכונית.

    ג'ון נאש (צילום: Peter Badge / Typos1) (צילום: Peter Badge / Typos1)
    ג'ון נאש(צילום: Peter Badge / Typos1)
     

    נאש היה ידוע בעיקר בזכות פריצת הדרך שלו בתחום תורת המשחקים, שאפשר להגדיר אותה בתור חקר של אסטרטגיות שבאמצעותן מנצחים במשחק החיים – במיוחד כאשר לא ידוע מה עושים המתחרים והאופציות השונות לא תמיד נראות מבטיחות. נאש אמנם לא המציא את תורת המשחקים, המתמטיקאי ג'ון ון ניומן אחראי לממצאים החלוציים בתחום בחצי הראשון של המאה ה-20. אך ב-BBC נכתב כי נאש הרחיב את הניתוח של ון ניומן אל מעבר ל"משחק סכום-אפס" ו"מנצח/מפסיד", והפך את המצבים הנחקרים למורכבים יותר, שבהם בין היתר כל המשתתפים יכולים להרוויח, או שכל המשתתפים יכולים להפסיד.

     

    המושג המרכזי ביותר בתרומתו של נאש לתחום הוא "שיווי-משקל נאש", שלפיו ישנו מצב יציב שבו לאף אחד מהשחקנים לא משתלם לשנות את האסטרטגיה שלו אם שאר השחקנים אינם משנים את האסטרטגיה שלהם. למעשה מדובר במצב של משחקים שאינם סכום-אפס, שבהם עשויים השחקנים להרוויח אם ישתפו פעולה ביניהם, ולהפסיד אם לא ישתפו פעולה.

     

    הוא הוכיח כי פתרון זה יהיה תלוי בכמות התועלת - במובנו הכלכלי של מושג זה - שמייחס כל שחקן לזכייה, אך לא יהיה תלוי בפונקציית התועלת הפרטית של אחד משני השחקנים. בתנאי שלא ייתכן מצב שבו שני השחקנים יכולים לזכות ביותר תועלת מכפי שהיו מקבלים מפתרון נאש, ניתן להוכיח כי יש רק פתרון נאש יחיד לכל משחק כזה.

     

    דילמת האסיר: עדיף לשתוק או להודות?

    דוגמה פשוטה הממחישה את התיאוריה הזו היא התיאוריה המפורסמת הנקראת "דילמת האסיר". שני קושרים קשר לאותו הפשע נעצרים ומוצעת לכל אחד מהם עסקה: "אם תודה ותעיד נגד השותף שלך, נשחרר אותך ונפיל את כל התיק עליו – עשר שנים בכלא". אם אף אחד מהם לא "ידבר" לא יוכלו התובעים לבנות תיק רציני נגד אף אחד מהם וכל אחד יבלה שנה אחת בכלא. אם השניים יודו אז התובעים כלל לא יצטרכו את העדויות שלהם ושניהם יישלחו לשמונה שנים בכלא.

     

    במבט ראשון, נראה ששמירה על זכות השתיקה היא האסטרטגיה הנבונה ביותר, שכן אם שניהם יעשו זאת, שניהם ייצאו מהסיפור די בזול. אך לפי חישוב "שיווי-משקל נאש", סביר יותר שהשניים יודו במעשה. בעיה מסוג זה נקראת "משחק אי-הדדיות", שמשמעו שהאסירים לא יכולים לבטא את כוונותיהם זה בפני זה. מבלי לדעת מה האסיר השני עתיד לעשות, כל אחד מהם מתמודד עם הבחירה הבאה: להודות – ולעמוד בפני חופש או שמונה שנים בכלא, או לשתוק – ולעמוד בפני שנה בכלא או עשר שנים בכלא.

     

    המחשת התיאוריה: האופציות השונות העומדות בפני האסירים ()
    המחשת התיאוריה: האופציות השונות העומדות בפני האסירים
     

     

    כאשר מסתכלים על הבעיה מנקודת מבט זו, נראה שלהודות היא האופציה הטובה יותר. האסיר גם יודע שהאסיר השני עומד בפני אותה דילמה עם אותם נתונים, ולכן יש לו את אותה המוטיבציה להודות בפשע, כך שהוא בעצמו לא ירצה כבר לשמור על זכות השתיקה. יתר על כן, שינוי האסטרטגיה ולבסוף החלטה לשתוק יהוו למעשה צעד רע – ומאסר ממושך אף יותר – אלא אם האסיר השני החליט פתאום לעשות זאת גם כן. ללא כל תקשורת בין השניים הדבר יהיה ניחוש מסוכן למדי, ולכן, האסטרטגיה הזו היא התגלמות "שיווי-משקל נאש".

     

    הסרט "נפלאות התבונה", שמבוסס על חייו של נאש, מנסה להביא אל המסך את אופן חשיבתו של נאש בתחום המשחקים בסצנה שבה המתמטיקאי, שאותו מגלם השחקן ראסל קרואו, נמצא בבר ביחד עם שלושה חברים, והם כולם מהופנטים בידי צעירה בלונדינית שצועדת אל תוך הבר יחד עם ארבע חברות.

     

    בעוד חבריו מתלוצצים מי מהם יצליח לכבוש את לבה של הבלונדינית, נאש גורס שעליהם לעשות את ההיפך הגמור: להתעלם ממנה. "אם כולנו נלך על הבלונדינית", הוא אומר בקטע שמובא כאן, "אנחנו נחסום זה את זה ואף אחד מאיתנו לא יצליח להשיג אותה. לאחר מכן נפנה לחברות שלה, שידחו אותנו כי אף אחת לא אוהבת להיות בחירה שנייה. אבל מה אם אף אחד לא יתחיל עם הבלונדינית? כך לא נעמוד אחד בדרכו של האחר ולא נעליב את הבנות האחרות. זו הדרך היחידה שבה כולנו ננצח".

    ראסל קרואו, גילם את דמותו של נאש (צילום: רויטרס) (צילום: רויטרס)
    ראסל קרואו, גילם את דמותו של נאש(צילום: רויטרס)

     

    הסצנה הזו ממחישה היטב את הדילמות והתכסיסים שבתורת המשחקים, אך ב"ניו יורק טיימס" מבהירים כי לא באמת מדובר בדוגמה טובה "לשיווי-משקל נאש". כאשר ארבעה גברים רודפים אחרי ארבע ברונטיות, כל אחד מהגברים יכול לפתע להתפתות לרדוף דווקא אחרי הבלונדינית, מהלך שיכול להניב לו תוצאה רצויה יותר באם חבריו יחליטו שלא לשנות את האסטרטגיה שלהם. אך גם הסיפור הזה ממחיש את תרומתו של נאש לעולם הזה – יש הרבה מעבר למשחק סכום אפס, ישנם שיקולים רבים, ופעמים רבות פעולה מינורית של שחקן אחד היא הרת גורל עבור שחקן אחר.

     

    שיווי המשקל המפורסם של נאש הפך לאחת מהתיאוריות החשובות ביותר בניתוחים כלכליים בעולם, והוא אף מצא את דרכו לסייע בשלל תחומים אחרים, בהם מחשבים, ביולוגיה אבולוציונית ובינה מלאכותית. לאחרונה אף השתמשו בתיאוריות של נאש כדי לבחון פרשיות שחיתות במדינות שונות בעולם ואף כדי לנסות ולפתור את המשבר הכלכלי החמור ביוון.

     

    התיאוריות של נאש כמובן זכו גם לביקורת במרוצת השנים, והן נחקרו לעומק וגם שונו מעט עם הזמן. כיאה לשיווי משקל, האיזון שבין הדיוק לאוניברסליות הוא שהפך את המושג היפה והטבעי הזה לאיתן.

     

    לפנייה לכתב/ת
     תגובה חדשה
    הצג:
    אזהרה:
    פעולה זו תמחק את התגובה שהתחלת להקליד
    מומלצים