קיפולי נייר ומתמטיקה: המוזרויות של פלקסגונים

חוקרים מהאקדמיה, אמני נייר, מחנכי מדע ממכון דוידסון לחינוך מדעי ותלמידי בית ספר מצטיינים שיתפו פעולה במחקר מדעי ראשון מסוגו. יחידת החדשנות של מכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע, אירח לשבוע שלם מתמטיקאים, מומחים מהארץ ומחו"ל, אוריגמיסטים ופאזליסטים, אנשי חינוך מתמטי, עובדי המכון ונבחרת של תלמידי חטיבות ביניים ותיכון מצטיינים כדי לחקור ביחד את הקשר המרתק בין קיפולי נייר ומתמטיקה באחת מיצירות אמנות הנייר שמשמש קוסמים - הפלקסגון. הכנס הוא פרי החזון והיוזמה של מנהל יחידת החדשנות במכון דוידסון לחינוך מדעי, ד"ר יוסי אלרן.

צפו בסרטון של ד״ר יוסי אלרן, מנהל יחידת החדשנות של מכון דוידסון לחינוך מדעי

כדי להבין מה זה בכלל פלקסגון, צריך לחזור קצת אחורה בזמן. הכל החל בשנת 1939 כשארתור סטון (Arthur Stone), תלמיד מחקר מאנגליה, ארז את מזוודותיו בספרי מתמטיקה וקלסרים ועזב לאוניברסיטת פרינסטון שבארצות הברית. מתוך שעמום, החל סטון, שלימים יהפוך למתמטיקאי מוכשר, לשחק עם רצועות נייר ישרות.

הוא נהג לקחת רצועה, לקפל אותה במספר מקומות וליצור צורות הנדסיות מעניינות. בין הצורות שגילה היה משושה מיוחד ומעניין, אותו כינה ״פלקסגון״ (flexagon). הפלקסגון המשושה של סטון - היה שטוח עם צד עליון כלפי מעלה, אותו ניתן לצבוע למשל בצבע אדום, וצד תחתון כלפי מטה, אותו ניתן לצבוע בצבע כחול. אלא שלהפתעתו הרבה סטון גילה שהפלקסגון שלו מסתיר בין קיפוליו צד נוסף, באותה צורה (משושה) ובאותו שטח כמו הצדדים האחרים, אותו אפשר לצבוע בצבע שלישי, למשל צהוב.

סטון הצליח לחשוף את הצד הצהוב ובו בזמן להסתיר את הצד הכחול באמצעות צביטה וקיפול של המשושה. פעולה רציפה של צביטות וקיפולים חשפה בזו אחר זו באורח מחזורי ואינסופי, את שלושת הצדדים (הצבעים) של הפלקסגון. מהלכי הקיפול והצביטה של הפלקסגון מכונים היום ״פלקסים״. סטון מיהר לשתף את תגליתו עם חבריו בפרינסטון, בריינט טוקרמן (Bryant Tuckerman) לימים מתמטיקאי חשוב, ג׳ון טוקי (John Tukey), לימים סטטיסטיקאי, מתמטיקאי וכימאי וריצ׳רד פיינמן (Richard Feynman), תלמיד מחקר בפיזיקה, שלימים יזכה בפרס נובל, על תגליותיו בתחום הפיזיקה של חלקיקים.

תוך זמן קצר, גילו החברים עשרות סוגים של פלקסגונים, והם אף הקימו "ועדת פלקסגונים" כדי לחקור אותם. טוקרמן שאל מושגים מתורת הגרפים כדי לתאר את המצבים השונים של הפלקסגונים על גבי "מפת מצבים", הידוע היום בשם דיאגרמות טוקרמן או דיאגרמות פלקסגון.

פלקסגון(צילום: מכון דוידסון לחינוך מדעי)

דיאגרמות אלו היוו השראה לדיאגרמות אחרות בתכלית - דיאגרמות פיינמן ששימשו אותו במחקריו בפיזיקה של חלקיקים. ועדת הפלקסגונים לא פרסמה מעולם את עבודתם היסודית על פלקסגונים, אולם הם החלו לעניין אנשים לא רק מהקהילה המתמטית, אלא בעיקר אמנים וקוסמים שראו בהם פוטנציאל ליצירת ארנקי פלא שמסוגלים "להעלים" שטרות של כסף.

מאמרים מדעיים, נייר ומספרים 

למרות הזמן הרב שעבר מאז גילה סטון את הפלקסגון, נערך מעט מאוד מחקר המשך ורק ספרים בודדים פורסמו, רובם ספרות פופולארית. אולם, לאחרונה, חל שינוי במגמה ומכון דוידסון החליט להצטרף למגמה באמצעות קיום סדנה ייחודית לחקר משותף בידי חוקרים ותלמידים. סדנת ניל שור למתמטיקה יצירתית התקיימה בחודש שעבר והודרכה בידי אן שוורץ (Ann Schwartz) חוקרת פלקסגונים מניו-יורק, סקוט שרמן (Scott Sherman) מסיאטל, חוקר בתחום מדעי המחשב אשר כתב מחולל פלקסגונים מקוון יחיד מסוגו וד״ר יוסי אלרן, מנהל יחידת החדשנות של מכון דוידסון לחינוך מדעי ומומחה למתמטיקה "יצירתית" (recreational math).

בארבעת ימי הסדנה, שהתקיימה בסמיכות לכנס משחקי חשיבה השנתי של מכון דוידסון, ישבו החוקרים והתלמידים יחד סביב שולחנות, עמוסים בגזרי נייר, מספרים ונייר דבק, לצד מאמרים מדעיים, נוסחאות ומחשבים ניידים.

מעבר לחוויה בלתי נשכחת וחשיפה בלתי אמצעית לעבודתו של החוקר, הסדנה הניבה תגליות מתמטיות חדשות, ביניהן "פלקס" חדש שמערבב בין חלקי פנים שונים של פלקסגונים, ונוסחה חדשה ליצירת פלקסגון מאבני בניין מתמטיים בינאריים.

בנוסף, יצרו המשתתפים מגוון משחקים ופעילויות כמו פלקסגון עם בעיות הדומות לבעיית הקובייה ההונגרית ופלקסגון חשמלי. משחקים ופעילויות אלו ישמשו את תכניות מכון דוידסון בפעילויותיו השונות בחינוך המתמטי. מעבר להנאה שבדבר, המשחק בפלקסגונים מחדד את החשיבה היצירתית ומעניק לכל מי שמשחק בהם תחושה "פיזית" וחיבור לרעיונות שונים במתמטיקה. למעשה, הפלקסגונים מחברים כל לומד לתחומים מורכבים במתמטיקה כמו תורת הקבוצות, טופולוגיה וקומבינטוריקה בגישה של התנסות ״hands-on״. במובן מסוים, האינטרדיסציפלינריות הן של הנושא, והן של צורת הלמידה תוך מחיקה של גבולות בין הלומד והחוקר ובין מתמטיקאי ואומן הם אולי סנונית ראשונה של שינוי בחינוך המתמטי והמדעי הן בהיבט התוכני והן בהיבט הפדגוגי, שאמור לקרב את מה שנלמד בבית הספר ומעבר לו אל מה שמתהווה בימינו במסדרונות מכון ויצמן ואחרים - שיתופי פעולה בין-תחומיים ורב-גילים.

סדנת הפלקסגונים התקיימה בזכות מימון שהורכב מתרומה של ניל שור, גראנט מטעם שגרירות ארה"ב וכן מתקציב מכון דוידסון.