כשאנחנו חושבים על מערכת השמש, עולה בראשנו ציור מסודר: שמש באמצע, סביבה טבעות עגולות, ועל כל טבעת כוכב לכת שמתקדם בנימוס. ביוון העתיקה, המעגל נחשב לצורה המושלמת, והשמיים נתפסו כמחוז נשגב ונעלה, בעיקר בכך שהוא שונה מהעולם הארצי, שבו דברים נופלים, נשברים ומתבלים. לכן היה זה הכרחי בעיני אריסטו ופילוסופים אחרים שתנועת גרמי השמים תהיה מעגלית. תפיסה זו שלטה באסטרונומיה יותר מאלף שנה, עד לתחילת המהפכה המדעית במאה ה-17.
כבר במאה השנייה לספירה ניסח האסטרונום היווני תלמי מודל שבו כדור הארץ נמצא במרכז. כדי להתאים אותו לתנועת כוכבי הלכת שנראתה בשמיים, הוא תיאר מעגלים קטנים שמרכזיהם נעים על מעגלים גדולים. מאות שנים לאחר מכן, ככל שהתצפיות נעשו מדויקות יותר, נדרשו עוד ועוד התאמות והמודל נעשה מסורבל. במאה ה-16 הראה האסטרונום הפולני ניקולאוס קופרניקוס שכוכבי הלכת סובבים סביב השמש, לא הארץ.
עוד כתבות באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי:
שינה: מה נכון ומה רק נשמע נכון
האם בינה מלאכותית פתרה את אחת הבעיות המפורסמות ביותר במתמטיקה?
מה מחסל את המרבדים הירוקים באגם?
ואולם, מיקומי כוכבי הלכת שהוא חזה עדיין היו פחות מדויקים מהמעגלים על מעגלים של תלמי. בראשית המאה ה-17, מתמטיקאי ואסטרונום בשם יוהנס קפלר (Kepler) הבין שהבעיה חבויה בהנחה שמסלול שמימי חייב להיות מעגלי.
בחינה מדודקת של הנתונים הניבה את תמונת העולם החדשה. יוהנס קפלר (מימין), טיכו ברהה ואייזק ניוטון
(מקורות: Smithsonian Institute ,Jackes II de Gheyn, Godfrey Kneller , National Portrait Gallery, Public Domain)
קפלר עבד עם נתוני התצפית המדויקים של טיכו ברהה (Brahe), בעיקר על מאדים. קפלר חישב היכן מאדים אמור להיראות לפי המודל המעגלי של תלמי והשווה את התחזית למדידות. בכמה נקודות נותר פער של עד שמונה דקות קשת, גדול מדי ביחס לדיוק המדידה של ברהה. אחרי שנים של חישובים וניסיונות, קפלר מצא שצורת האליפסה מתאימה למדידות. בשנת 1609 הוא פרסם את התוצאה בספרו “אסטרונומיה חדשה”. החוק הראשון שלו, שמופיע בספר, קובע שכוכבי הלכת נעים באליפסות, והשמש נמצאת באחד משני המוקדים של האליפסה.
קפלר גם הבין שכוכב לכת אינו נע באותה מהירות לאורך כל הדרך, ומהירותו משתנה ברציפות לאורך המסלול. היא מגיעה לשיאה בנקודה הקרובה ביותר לשמש, הפריהליון, ולערכה הנמוך ביותר בנקודה הרחוקה ביותר, האפהליון. זהו החוק השני של קפלר: דמיינו שני קווים המחברים את השמש למיקומו של כוכב הלכת בתחילתו ובסופו של פרק זמן מסוים. שני הקווים וקטע המסלול שביניהם תוחמים גזרה. בפרקי זמן שווים, השטחים של הגזרות האלה שווים.
המשפט הזה נשמע קצת גיאומטרי, אבל המשמעות שלו פשוטה: קרוב לשמש רצים, רחוק ממנה משוטטים. שביטים מדגימים את זה בצורה דרמטית במיוחד: בעוד שמרחק כדור הארץ מהשמש משתנה מכ־147.1 לכ־152.1 מיליון קילומטרים – פער של כ־3.4% – המרחק של שביט האלי נע בין כ־87.8 מיליון ועד לכ־5.27 מיליארד קילומטרים מהשמש, הבדל של בערך פי 60. כך שביטים יכולים לבלות שנים ארוכות בקור בשוליים הרחוקים של מערכת השמש, ואז לחלוף במהירות ליד השמש כאילו נזכרו פתאום שהם מאחרים לפגישה.
כוכבי לכת מוסללים
לפני שמבינים למה המסלול הוא אליפסה, קודם צריך להבין מה בכלל מחזיק גוף במסלול. כמעט שמונים שנה אחרי שקפלר פרסם את שני חוקיו הראשונים, הגיע אייזק ניוטון (Newton) והראה מה עומד מאחוריהם. ב-1687 הוא ניסח את חוקי התנועה והכבידה, והראה שכוח שמושך אל מרכז אחד יכול ליצור בדיוק את האליפסות שקפלר תיאר.
אם השמש מושכת את כדור הארץ בכוח הכבידה, מדוע איננו נופלים לתוכה? התשובה הקצרה היא שאנחנו כן נופלים, כל הזמן, אבל גם נעים הצידה במהירות גדולה מאוד. בלי כבידה, כדור הארץ היה ממשיך בקו ישר אל האינסוף. ובלי מהירות משיקית, הוא היה נופל פנימה אל השמש. מסלול הקפה נוצר מהשילוב בין השניים: הכבידה מעקמת את הדרך פנימה, והתנועה הצידה גורמת לגוף להמשיך “להחמיץ” את השמש. אותו עיקרון פועל גם בתנועה של ירחים סביב כוכבי לכת ובתנועה של לוויינים סביב כדור הארץ.
אז מדוע המסלול איננו מעגל בכל זאת? מעגל מושלם אפשרי, אבל הוא דורש התאמה מדויקת מאוד. חוקי ניוטון מראים שלמרחק מסוים מהשמש יש בדיוק מהירות אחת שתשאיר גוף במסלול מעגלי. בכתיב מתמטי קצר היא נראית כך:(v = √(GM/r. כאשר G הוא קבוע הכבידה, M היא מסת השמש, r הוא המרחק מהשמש, ו-v היא המהירות הדרושה. זו המהירות שבה הגוף “מחמיץ” את השמש בדיוק במידה הנכונה: לא מתקרב אליה ולא מתרחק ממנה. אם הגוף נע קצת מהר יותר, קצת לאט יותר, או בזווית מעט אחרת, המרחק כבר אינו נשאר קבוע.
הכבידה של השמש מושכת אליה את כוכב הלכת, אבל הוא כל הזמן "מחמיץ" אותה בגלל התנועה הצדה. המאזן בין הכוחות משאיר את כוכב הלכת במסלול, וגם קובע את צורת המסלול
(איור: Alberto Rodríguez, Wikipedia CC BY 3.0)
כאן מתחילה האליפסה. ברגע שהמרחק מהשמש מתחיל להשתנות, הגוף נכנס למעין נדנדה כבידתית: כשהוא מתרחק, הכבידה מושכת אותו והוא מאט; כשהוא חוזר ומתקרב, הכבידה מאיצה אותו. התנועה הצידית ממשיכה לסובב אותו סביב השמש, ותנודת המרחק פנימה והחוצה מציירת מסלול סגור שאינו מעגל אלא אליפסה. במילים אחרות, האליפסה היא המסלול הטבעי של גוף שמהירותו קצת גבוהה או קצת נמוכה מהמהירות שתניב תנועה בדיוק במעגל.
לכל מסלול היקפי אפשר לחשב מספר אחד שמתאר את אופיו, אם הוא מעגלי או אליפטי: האקסצנטריות, שמסמנים באות e. כאשר e=0 המסלול הוא מעגל מושלם; כאשר e בין 0 ל-1 המסלול הוא אליפסה. ככל שהערך של e גדול יותר, האליפסה פחוסה יותר. רוב כוכבי הלכת במערכת השמש נעים באליפסות קרובות מאוד למעגל, עם e קטן מאוד, ולכן בהדמיות המקובלות כמעט לא רואים את ההבדל. אבל “כמעט מעגל” עדיין איננו מעגל. אילו מאדים נע במעגל מושלם, מרחקו מהשמש היה נשאר כ־228 מיליון קילומטרים. בפועל הוא מתקרב עד כ־207 מיליון קילומטרים ומתרחק עד כ־249 מיליון קילומטרים – הבדל של כ-20 אחוז, או אקסצנטריות של בערך 0.09.
מחול של כוחות
אם כך, למה המסלולים של כוכבי הלכת שלנו בכל זאת קרובים כל כך למעגל? כאן נכנסת ההיסטוריה של מערכת השמש. היא נוצרה לפני כ-4.6 מיליארד שנה מענן מסתובב של גז ואבק, שהשתטח לדיסקה סביב השמש הצעירה. בתוך הדיסקה הזאת חלקיקים התנגשו, נדבקו, התפרקו ושוב נבנו. התנגשויות וחיכוך עם הגז ריככו מסלולים פרועים מאוד ויישרו אותם למסלולים כמעט מעגליים. כך קרה שכוכבי הלכת שנותרו אחרי כל ההתנגשויות נעים ברובם באותו כיוון ובמסלולים מסודרים יחסית: לא מושלמים, אבל רגועים למדי.
כוכבי הלכת שנשארו לא מושפעים מהשמש בלבד. הם מושכים זה את זה מעט, במיוחד הענקים כמו צדק ושבתאי. ההשפעות האלה אינן הסיבה הבסיסית לקיום האליפסות, אבל הן משנות מעט את המסלולים לאורך זמן. מערכת השמש יציבה מאוד בקנה מידה של לוחות הזמנים האנושיים, אך היא אינה שעון קפוא. היא יותר כמו ריקוד מסודר מאוד, עם תיקוני צעדים זעירים.
מערכת השמש
(איור: Shutterstock)
המסלול של כדור הארץ מעגלי עוד יותר משל מאדים, והאקסצנטריות שלנו היא רק 0.0167. למעט האליפטיות של מסלול כדור הארץ יש גם השפעות יומיומיות על חיינו, אבל פחות ממה שנהוג לחשוב. רבים חושבים שעונות השנה נגרמות מכך שכדור הארץ מתקרב לשמש ומתרחק ממנה. זה נשמע הגיוני, אבל זה לא נכון. כדור הארץ קרוב ביותר לשמש דווקא בתחילת ינואר, בזמן שבחצי הכדור הצפוני חורף. הסיבה העיקרית לעונות היא נטיית ציר הסיבוב של כדור הארץ. האליפסה כן משפיעה מעט: כדור הארץ נע מהר יותר כשהוא קרוב לשמש, ולכן העונות אינן שוות בדיוק באורכן.
כיום, האליפסות של קפלר וניוטון הן כלי עבודה בכל הנוגע למחקר באסטרופיזיקה. כשמתכננים מסלול של לוויין, חללית לירח או משימה למאדים, לא “טסים ישר”, אלא מחשבים מסלולים אליפטיים, משנים מהירות ברגעים הנכונים, ומנצלים את הכבידה במקום לבזבז דלק על מלחמה בה. החלל הוא מקום גועש ובלתי צפוי שמאתגר את הבנתנו שוב ושוב. ובכל זאת, יש דבר אחד שאפשר לסמוך עליו: בין אם נסתכל על אחד הירחים המקיפים את צדק כאן בחצרנו האחורית, ובין אם נסתכל על שני כוכבים המקיפים זה את זה בריקוד וַלס שמימי במרחק אלפי שנות אור – האליפסה תהיה שם.
בסופו של דבר, המסלול האליפטי אינו מעגל שנשבר. הוא התשובה של הטבע לשאלה פשוטה: מה קורה לגוף שנמשך פנימה אבל נע מספיק מהר הצידה כדי לא להתרסק? אם המהירות והכיוון פגעו בדיוק במרווח צר, נקבל מעגל. כמעט בכל מקרה אחר – נקבל אליפסה: מסלול שבו הגוף מתקרב ומתרחק, מאיץ ומאט, וחוזר שוב לאותה נקודת התחלה. לא אידיאל גיאומטרי, אלא ריקוד מתמשך של משיכה פנימה, מהירות הצידה, וחזרה. קצת כמו צעד תימני שמימי.
בן שנהר, מכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע
