"אני נהנה לעבוד לבד אבל הרבה יותר נחמד לעבוד עם אחרים - במיוחד כי הם שואלים שאלות ומאתגרים אותי, והדבר שאני אוהב יותר מכול זה לענות על שאלות ולפתור בעיות".
כך, עם חיוך שובב והרבה ענווה, תיאר חתן פרס ישראל למתמטיקה לשנת תשפ"ו, פרופ' בנימין (בנג'י) וייס, מה מניע אותו כל בוקר, גם בגיל 85 ובעיצומה של מלחמה, ללכת לעבודתו במשרד קטן, מלא מקיר אל קיר בספרים ואוספי מאמרים, בקומת המרתף של מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית בירושלים.
10 צפייה בגלריה
הולך כל בוקר, גם בגיל 85 ובעיצומה של מלחמה, לעבודתו במשרד קטן בקומת המרתף של מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית בירושלים. בנימין וייס במשרדו
(צילום: ד"ר יוסי אלרן)
חשיבות העבודה עם אנשים הוזכרה שוב ושוב בריאיון שקיימתי איתו לרגל זכייתו. הנושא עלה פעמים רבות כל כך, עד כדי כך שקשה לעקוב אחרי רשימת המתמטיקאים הרבים שהוא עבד איתם, והקפיד לחלוק להם קרדיט נדיב ומפורט. גם כששאלתי אותו על המשמעות האישית שהוא מוצא בזכייה בפרס הוא ענה, "ששימחתי את המשפחה, את אשתי. שימחתי אותם מאוד".
עוד כתבות באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי:
מי צריך שיני בינה?
מדע בשירים עבריים – חידון מיוחד ליום העצמאות
לקטוף את הפירות של החדשנות הישראלית
מישיבה יוניברסיטי למכון איינשטיין למתמטיקה
בנימין וייס נולד בשנת 1941 בניו יורק לפנינה ואברהם וייס, שהיה מבכירי חוקרי התלמוד של המאה העשרים. כבר בילדותו התאהב במתמטיקה. ובמקביל ללימודיו התיכוניים השתתף בקורסים אקדמיים במתמטיקה ב"ישיבה יוניברסיטי", האוניברסיטה היהודית הידועה בניו יורק. לאחר מכן המשיך שם ללימודי התואר הראשון והשני.
את הצלחתו במתמטיקה הוא זוקף בין השאר לחזונם של בכירי המתמטיקאים שלימדו אז בישיבה יוניברסיטי, ביניהם יקותיאל גינסברג (Ginsburg) ואברהם גלברט (Gelbart). הם הקפידו על רמת לימודים גבוהה במתמטיקה, וגלברט אף הרחיק לכת והזמין את בכירי המתמטיקאים היהודים של ניו יורק באותם ימים להעביר קורסים מתקדמים במוסד. בין השאר הרצו שם ג'סי דאגלס (Douglas), שהיה אחד משני הזוכים הראשונים במדליית פילדס היוקרתי ונקרא להעביר קורס בתורת הווריאציות; המתמטיקאי והרב ליאון אהרנפרייס (Ehrenpreis); הפיזיקאי ג'ואל ליבוביץ' (Lebowitz), מחשובי החוקרים בתחום הסטטיסטיקה הפיזיקלית; והרמן גולדסטיין (Goldstine), מתמטיקאי ואיש מדעי המחשב, חוקר באוניברסיטת פרינסטון ומבכירי חברת המחשבים IBM, שהיה שותף בבניית המחשבים הראשונים בעולם.
רמת הקורסים הייתה גבוהה מספיק כדי שווייס לא יזדקק לשום הכנות לקראת מבחני הכניסה ללימודי דוקטורט באוניברסיטת פרינסטון. הוא התקבל בקלות וכתב את עבודת הדוקטורט בהנחיית ויליאם פלר (Feller), שהיה מחשובי החוקרים בתחום תורת ההסתברות. ב-1965 הוא סיים את התואר השלישי והתקבל לעבודה ב-IBM. כעבור שנתיים עלה לארץ והצטרף לסגל האוניברסיטה העברית בירושלים.
במשך השנים התארח כחוקר גם באוניברסיטת סטנפורד, בחטיבת המחקר של IBM ומכון סיימון לאופר למדעי המתמטיקה. מחקריו התפרסו על פני תחומים רבים ומגוונים, כגון תורת המידע, תורת המידה, מערכות דינמיות, התורה הארגודית ותורת ההסתברות. במשך השנים הוא פרסם יותר מ-220 פרסומים מקצועיים, שזכו לציטוטים רבים בעבודות של עמיתים. הוא נבחר לחבר כבוד באקדמיה האמריקאית לאמנויות ולמדעים, היה חתן פרס רוטשילד ושימש יועץ מקצועי למערכת הביטחון. עם תלמידיו המפורסמים נמנים המתמטיקאי אילון לינדנשטראוס מהאוניברסיטה העברית ומפרינסטון, זוכה מדליית פילדס לשנת 2010, ואיתי בנימיני העומד בראש המחלקה למתמטיקה ומדעי המחשב במכון ויצמן למדע.
10 צפייה בגלריה
את הצלחתו במתמטיקה הוא זוקף בין השאר לחזונם של בכירי המתמטיקאים שלימדו בתקופתו בישיבה יוניברסיטי. אחד ממבני האוניברסיטה
(צילום: ויקימדיה, Scaligera)
חתן פרס ישראל
בהודעה על זכייתו בפרס ישראל כתבו חברי ועדת הבחירה כי וייס הוא "מגדולי החוקרים בתחום הדינמיקה, מעמודי התווך של הקהילה המתמטית, ועיצב דורות של חוקרים בארץ ובעולם. מחקריו המעמיקים, המשתרעים על פני למעלה משישים שנות פעילות ולמעלה ממאתיים מאמרים, הגדירו מחדש את ההבנה המתמטית של תופעת האקראיות במערכות דטרמיניסטיות".
בנוסף הזכירה ההודעה את עבודתו עם דונלד אורנשטיין (Ornstein) על פיתוח התורה הארגודית של חבורות אמנביליות, את עבודתו המשותפת עם חתן פרס ישראל למתמטיקה הלל פירסטנברג, שקישרה בין הדינמיקה והקומבינטוריקה, עבודות יסוד שכתב בתחום הדינמיקה הסימבולית ואת הגדרת חבורות סופיק (Sofic groups) שהפכה ל"אחד הנושאים הפעילים והחדשניים במתמטיקה המודרנית".
תרומתו של וייס לחקר המתמטיקה היא יוצאת דופן בעומקה ובפריסתה הנרחבת, המשלבת תחומים רבים, במיוחד בתחומי הדינמיקה והסטטיסטיקה. "בנג'י וייס הוא דמות מאוד מאוד מרכזית. כל מי שעושה משהו בתחום, או קרוב בתחום, בא לדבר איתו", מספר עמיתו יאיר הרטמן מאוניברסיטת בן גוריון בנגב.
10 צפייה בגלריה
"כל מי שעושה משהו בתחום, או קרוב בתחום, בא לדבר איתו". אילון לינדנשטראוס, זוכה מדלית פילדס ואחד מתלמידיו של וייס (משמאל), ודונלד אורנשטיין מאוניברסיטת סטנפורד, שעבד איתו
(צילום: ויקימדיה, Konrad Jacobs, Oberwolfach Photo Collection)
מה מעניין בהטלת מטבע?
אחד המחקרים המשפיעים ביותר של וייס מופיע במאמר שלו משנת 1972 על תהליכים אקראיים, פרי עבודתו המשותפת עם דונלד אורנשטיין מאוניברסיטת סטנפורד.
בשנת 1970 גילה אורנשטיין שאם לשני תהליכים אקראיים פשוטים כמו הטלת מטבע (תהליכי ברנולי) יש אותה רמה של אקראיות, אז גם אם הם נראים שונים מאוד, אפשר לתאר אותם כך שיתנהגו באותו אופן מבחינה סטטיסטית. קחו למשל הטלת מטבע. אם נטיל מטבע שוב ושוב נקבל סדרה אקראית של תוצאות. למשל: "עץ, פלי, עץ, עץ, עץ, פלי, עץ, פלי, פלי, עץ", וכן הלאה. לכאורה, בכל הטלת מטבע אנו יכולים לדעת מה תהיה התוצאה בזכות חוקי הפיזיקה הניוטונית: כל מה שצריך הוא להכניס למשוואות את הערכים המדויקים של הכוח שאנחנו מפעילים על המטבע, זווית ההטלה, המיקום של של המטבע על גבי היד שלנו ושאר המשתנים שמשפיעים על מסעו של המטבע באוויר, ונוכל לחזות על איזה צד הוא ייפול. אבל היות שתנאי ההתחלה רגישים מאוד, כלומר כל שינוי קטן באחד המשתנים יכול לשנות את התוצאה, מכל בחינה מעשית איננו יכולים לחזות אותה, והיא נראית לנו אקראית.
נעשה ניסוי נוסף. נבחר באקראי מספר בין 0 ל-1, נכפיל אותו ב-2 ואם הוא גדול מ-1 נפחית מהתוצאה 1. כעת ניקח את התוצאה ונחזור שוב על אותה פעולה בדיוק, כלומר נכפיל את המספר החדש שקיבלנו ב-2 ואם התוצאה גדולה מ-1 נפחית ממנה 1. אם נמשיך כך נקבל סדרה של מספרים, כולם בין 0 ל-1. אנחנו יכולים גם להחליט בכל צעד שאם התוצאה גדולה מחצי נרשום "פלי", ואם לא – נרשום "עץ". ככה נקבל סדרה של "עץ" ו"פלי" שנוצרה בצורה אחרת. הפעולה הזאת ידועה בכמה שמות, ביניהם: מיפוי ברנולי וטרנספורמציה דיאדית (Dyadic transformation).
לדוגמה, נבחר 0.731. נכפיל את המספר ב-2 נקבל 1.462. המספר הזה גדול מ-1 ולכן נפחית 1 ונקבל 0.462. בשלב הבא נכפיל 0.462 ב-2 ונקבל 0.924. נכפיל 0.924 ב-2 ונקבל 1.848. מאחר המספר גדול מ-1, נפחית ממנו 1 ונקבל 0.848. וכן הלאה. בטבלה אפשר לראות איך נראית הסדרה אחרי שישה סבבים, ואת תרגומה ל"עץ" ו"פלי".
התהליך הזה דטרמיניסטי, כלומר אנחנו יכולים לחשב מראש את כל התוצאות שנקבל. אך הוא גם כאוטי ורגיש לתנאי ההתחלה. אם נבחר להתחיל את המיפוי הברנולי במספר אחר, שקרוב מאוד למספר הראשון שבחרנו, הסדרה שנקבל תיראה דומה בהתחלה, אך עד מהרה תסטה מהדפוס המקורי ותתנהג באופן שונה לחלוטין.
מבחינה סטטיסטית אי אפשר להבחין בין הטלות מטבע אקראיות לבין יצירת סדרת ההטלות באמצעות מיפוי ברנולי. אף על פי שהטלת מטבע היא אקראית בכל הטלה, ואילו במיפוי ברנולי האקראיות נובעת מתנאי ההתחלה, כל עוד נקודת ההתחלה עצמה אקראית ההתנהגות הסטטיסטית של הסדרות זהה ואי אפשר להבדיל ביניהן. ולמה אנחנו מדברים על "התנהגות סטטיסטית"? כי אם מתחילים במספר רציונלי, כלומר מספר שאפשר לבטא אותו כשבר פשוט של שני מספרים שלמים, לא תיווצר סדרה אקראית לגמרי אלא סדרה מחזורית. לדוגמה, אם נתחיל ב-⅓ נקבל את הסדרה: ⅓, ⅔, ⅓, ⅔, ⅓, כלומר עץ, פלי, עץ, פלי, עץ וכן הלאה. למעשה, כל מספר רציונלי ייתן בסופו של דבר סדרה מחזורית, אבל היות שיש הרבה יותר מספרים אי-רציונליים מאשר מספרים רציונליים, הסיכוי לבחור מספר רציונלי בבחירה אקראית הוא אפסי.
במאמרים משותפים שפרסמו בשנות השבעים הרחיבו וייס ואורנשטיין את התופעה הזאת למערכות רבות נוספות. הם הראו שמערכות דטרמיניסטיות יכולות לשמש מודלים לתהליכים אקראיים, ופיתחו והרחיבו מאוד את הרעיונות והכלים המתמטיים שבהם משתמשים בתחום, באמצעות מושגים כמו אנטרופיה וחבורות אמנביליות.
10 צפייה בגלריה
וייס ואורנשטיין הראו שמערכות דטרמיניסטיות יכולות לשמש מודלים לתהליכים אקראיים. איש מטיל מטבע
(צילום: Shutterstock, ArmadilloPhotograp)
המעגל המסתובב
וייס חקר לעומק מערכות דינמיות, כלומר מערכות שמתארות מרחב של מצבים, עם חוק שקובע איך הם יתפתחו לאורך הזמן. מיפוי ברנולי המתואר בפסקה הקודמת הוא דוגמה אחת למערכת כזאת: המצבים ההתחלתיים שלה הם המספרים בין 0 ל-1, והחוק הוא "בכל צעד הכפל את המספר ב-2, ואם התוצאה גדולה מ-1 הפחת ממנה 1". כך, עם הזמן, נבנית סדרה של מספרים.
מערכת דינמית מוכרת נוספת עוסקת בנקודות על מעגל. דמיינו גלגל שמסתובב על ציר, למשל גלגל של אופניים. ציירו נקודה במקום כלשהו על היקף הגלגל וסובבו את הגלגל בזווית קבועה למשך כמה צעדים. אם נבחר לסובב את הגלגל בזווית קבועה של 180 מעלות, כלומר חצי סיבוב, המערכת תחזור למקומה המקורי בתום שני צעדים. אם נסובב אותה שני-שלישי סיבוב (זווית קבועה של 240 מעלות), היא תחזור למקומה אחרי שלושה צעדים, שבמהלכם היא ביקרה בשתי נקודות נוספות על היקף הגלגל. הנקודה תחזור למקומה תמיד אם ורק אם זווית הסיבוב שנבחר בוחר היא שבר רציונלי של סיבוב שלם. לעומת זאת, אם נבחר לסובב את הגלגל בזווית שאינה שבר רציונלי של סיבוב, הנקודה לעולם לא תחזור בדיוק לנקודת ההתחלה.
מתמטיקאים שואלים שאלות רבות על מערכות כאלה. למשל, אם נצייר שתי נקודות התחלתיות על ההיקף ונסובב את הגלגל בזווית קבועה שאינה רציונלית, מה יקרה אחרי שנעשה הרבה צעדים? איך ישתנה המרחק ביניהן? שאלות כאלה שייכות לתחום הדינמיקה הטופולוגית.
10 צפייה בגלריה
ציירו נקודה במקום כלשהו על היקף הגלגל וסובבו את הגלגל בזווית קבועה. אם נבחר לסובב את הגלגל בזווית קבועה של 180 מעלות, כלומר חצי סיבוב, המערכת תחזור למקומה המקורי בתום שני צעדים
(איור: Shutterstock, ליאת פלי)
אנו יכולים לשאול גם שאלות אחרות. לדוגמה, הבה נסתכל רק על אזור קטן של הגלגל. בגלגל של אופניים אפשר למשל להסתכל על האזור שבו הגלגל מוסתר מאחורי מגן הבוץ. כעת נשאל עבור נקודה כלשהי או קבוצה של נקודות, מהי תדירות הביקור שלה באותו אזור? שאלות כאלה מכונות שאלות ארגודיות.
וייס הוא אחד מאלה שהניחו את אבני הפינה של התורה הארגודית והדינמיקה הטופולוגית בגלגולן העכשווי. לצד הלל פורסטנברג, אלי גלזנר (Glasner) ואחרים הוא חקר לעומק את התחומים הללו, פיתח תיאוריות, הוכיח השערות ומצא קשרים מפתיעים בין התחומים – וגם בינם לבין תורת ההסתברות. לדבריו, התורה הארגודית ותורת ההסתברות הן שני פנים של אותו דבר.
מפתה לשאול מה ההשלכות המעשיות של עבודתו, אך לשאלה הזאת אין מקום כשעוסקים במתמטיקה טהורה. "כשאני מדבר עם לא-מתמטיקאים אני מסביר להם שהמתמטיקה היא בניין גדול מאוד שכל המדעים לוקחים ממנו מדי פעם איזו לבנה קטנה ועושים עם זה ניסים. לא פעם רואים את התוצאות הפיזיקליות של המחקר המתמטי רק אחרי מאה שנה ויותר", אומר וייס.
לדוגמה, מסביר וייס, בשנת 1917 פיתוח המתמטיקאי האוסטרי יוהן רדון (Radon) את טרנספורם רדון. עשרות שנים לאחר מכן השתמשו בכלי המתמטי הזה כדי לשחזר תמונה תלת-ממדית מהרבה צילומי רנטגן דו-ממדיים במכשיר ה-CT. דוגמה נוספת באה ממחקריו של וייס עצמו בתחום הנדסת המחשבים. הכלים המתמטיים שהוא פיתח בראשית עבודתו ב-IBM בשנות השבעים, לצד רוי אדלר, שימשו את מהנדסי החברה עשור מאוחר יותר לצורך פיתוח הדיסק המגנטי למחשב – פיתוח שהניב שורה של פטנטים משותפים לאדלר ולמהנדסים.
לא יהיה מוגזם לומר שעבודותיו העיוניות של וייס, שהיו אבני פינה בתיאוריות מתמטיות שפיתח, הניבו כעבור שנים יישומים משמעותיים בפיזיקה, מדעי המחשב ותורת המידע.
10 צפייה בגלריה
נסתכל על האזור שבו הגלגל מוסתר מאחורי מגן הבוץ. כעת נשאל עבור נקודה כלשהי: מהי תדירות הביקור שלה באותו אזור? אופניים עם מגן בוץ כתום
(צילום: Shutterstock, Veja)
חשיבה מתמטית, בינה מלאכותית וחינוך
וייס אוהב שאלות מאתגרות ועוד יותר מזה נהנה לפתור אותן. מנין מגיע בסוף הפתרון? "לא אני ולא אף אחד יודע", הוא משיב בכנות. "אני עובד כמו רבים אחרים. אני נוטה יותר לנסות לבדוק מקרים פרטיים ואז להכליל. כשאומרים לי תוכיח איקס, האינסטינקט הראשוני שלי הוא לא להאמין שזה נכון, ואז אני מחפש דוגמה נגדית. לפעמים יש גם תגובה אחרת. אומרים לי הוכח את זה, ואז אני אומר, אה, זה פשוט. ואז אני מנסה להוכיח את זה ורואה שזה לא כל כך פשוט. אבל הרבה תלוי בטיב השאלה. לאיתי בנימיני ממכון ויצמן יש כישרון מופלא לנסח שאלות", הוא מפרגן לתלמידו לשעבר.
מחקריו של וייס סייעו לעצב את הרעיונות המתמטיים של אקראיות, מידע ותבניות, שעומדים כיום בבסיס חלקים של טכנולוגיית הבינה המלאכותית המודרנית. וייס עצמו מתרשם מההתפתחות הרבה של התחום בשנים האחרונות, במיוחד מהיכולות של הבינה המלאכותית היוצרת. כבר 40 שנה הוא מלמד סדנה לפתרון בעיות עבור תלמידי תואר שני. מטרת הסדנה היא לפתח אצל הסטודנטים חשיבה עצמאית ולעודד אותם לנסות לפתור בעיות בלי לדעת מראש מהם הם הכלים המתמטיים הדרושים להם. הגישה הזאת הפוכה לזאת של קורסים מסורתיים, שבהם הסטודנטים לומדים כלים מתמטיים ורק אז מתרגלים פתרון בעיות באמצעות הכלים שלמדו.
כעת חושש וייס שמאחר שיש לסטודנטים גישה נוחה לכלי בינה מלאכותית, הם ייעזרו בהם באופן שיקשה עליהם לפתח חשיבה עצמאית. לאחרונה וייס בדק אם מודלי הבינה המלאכותית יודעים לפתור בעיות כאלה, וגילה להפתעתו שג'מיני, מודל השפה של חברת גוגל, הצליח לפתור את אחת הבעיות. אבל אז הוא גילה שג’מיני אומנם מצא את הפתרון הנכון אך ההוכחה שהציג הייתה שגויה. מתברר שהצ'אטבוט מצא את הפתרון במאמר שווייס לא הכיר, ואז הרכיב בעצמו הוכחה לפתרון. "ג'מיני לא הבין את ההוכחה”, מסביר וייס, “אבל הוא לא הבין שהוא לא מבין".
10 צפייה בגלריה
"ג'מיני לא הבין את ההוכחה, אבל הוא לא הבין שהוא לא מבין". רובוטים מלמדים מתמטיקה
(הדמיה: Shutterstock, Besjunior)
וייס נזהר מאוד מלחזות את עתידה של הבינה המלאכותית. לדבריו, כבר כעת מתמטיקאים נעזרים בבינה מלאכותית, והוא חושב שבעתיד יכול להיות שמודלי בינה מלאכותית יוכלו לכתוב מאמרים לא מאוד מקוריים. עם זאת, הוא לא מסוגל לדמיין מצב שבו הם יוכלו לפתח מושגים חדשניים ומהפכניים. הוא מדגיש שגם בעידן של עליונות טכנולוגית, הדחף האנושי לפתור בעיות אינו נעלם. "מה שמעניין הוא שאף על פי שיש היום תוכנות מחשב, למשל בתחום השחמט, שטובות יותר מאלופי העולם האנושיים, תחרויות שחמט בין אנשים ממשיכות להתקיים גם כעת".
לשאלתי "מה תלמידים צריכים כדי ללמוד מתמטיקה בצורה טובה?" יש לווייס תשובה ברורה. "כל מה שהם צריכים אלה מורים טובים והרבה סבלנות, כי במיוחד אצל תלמידים טובים, אי אפשר ללמוד מתמטיקה ברגע האחרון לפני המבחן, אלא צריכים לתרגל. במתמטיקה חשוב לדייק. גם אם הבנת את התרגיל וידעת איך לפתור אותו, די בטעות קטנה כדי להוביל אותך לפתרון שגוי. הכול תלוי במורים, לא בתוכניות לימודים אלה ואחרות. כל מה שאני יכול להגיד הוא שחייבים להשקיע במורים".
תודה לפרופ' בנימין וייס על זמנו ועל נכונותו להתראיין, ולפרופ' יאיר הרטמן על העצות וההסברים המועילים.
ד"ר יוסי אלרן, מכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע
