אחת הסיבות שבשלן מתמטיקה מאתגרת אותנו במיוחד היא שזו שפה בפני עצמה, עם אוצר מילים ודקדוק משלה. לאורך שנות הלימוד, מהגן ועד ההשכלה הגבוהה, תלמידים לומדים את השפה הזו על מנת לפתח אוריינות מתמטית ברמות שונות. קשה ללמוד שפה זרה, קל וחומר כשמדובר בשפה שכמעט ולא משתמשים בה באופן יומיומי. זה אחד הגורמים העיקריים לכך שלא מעט תלמידים, הורים ומורים פשוט שונאים מתמטיקה. מבחינתם זו "סינית".
מתמטיקה שפה קשה
לא רק שהציבור הרחב מתקשה להבין מתמטיקה, המתמטיקאים בעצמם מתקשים להבין את מה שמחוץ לתחום ההתמחות הממוקד שלהם. כך טוענת המתמטיקאית האמריקנית אמילי ריהל (Riehl). במאמר דעה שפרסמה ריהל לאחרונה בכתב העת Science, היא קראה לשינוי הדרך שבה מתקשרים את המתמטיקה לקהל. המתמטיקה מסווגת כיום ל-63 תחומים ו-529 תתי תחומים, שכל אחד מהם פיתח שפה ייחודית שמשמשת אותו, כך שהתקשורת ביניהם כמעט בלתי אפשרית – וההבנה של מי שאינו מצוי בשפות האלו נחסמת.
עוד כתבות באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי:
חומר גנטי מהחלל
תאי CAR-T נגד מחלת אלצהיימר
מחלות ללא גבולות: חצבת בארץ ובעולם
אתגר התרגום הזה מוכר משפות מדוברות, שבהן הכללים אינם מוחלטים, כמעט לכל כלל יש יוצא מן הכלל, והפרשנות תלויית הקשר. לכאורה עבור המתמטיקה התרגום אמור להיות בעיה פשוטה בהרבה, שהרי היא שפה אוניברסלית עם כללים ברורים, קבועים ומדויקים, ועל כן ההבנה והתקשורת בין התחומים אמורה להיות פשוטה יחסית. השוו למשל את ה”משפט” המתמטי 1+1=2 למשפט בעברית “היא ציירה את הילד על הספסל”.
איזה מהם ברור יותר? את הניסוח המתמטי אפשר להגדיר באופן חד-משמעי, גם בעזרת האצבעות, אם כי בדרך צריך להגדיר מהי פעולת חיבור על מספרים ממשיים. את המשפט בעברית אפשר לפרש במספר אופנים: האם היא ישבה על ספסל וציירה ציור של ילד, או השתמשה בספסל כמשטח לציור וציירה עליו ילד? ומי זאת בכלל “היא”? והילד?
5 צפייה בגלריה
המתמטיקה מסווגת כיום ל-63 תחומים ו-529 תתי תחומים, שכל אחד מהם פיתח שפה ייחודית שמשמשת אותו. כתבי עת שונים למתמטיקה
(צילום: ליאת פלי בעזרת ג'מיני)
אז למה שפת המתמטיקה הפכה פחות ופחות מובנת, אפילו למתמטיקאים? למעשה הבעיה איננה פגמים בשפת המתמטיקה, אלא “דיוק יתר”. בתחומים רבים, סמלים מתמטיים קצרים מאוד מבטאים רעיונות מופשטים ומורכבים, שכדי להבין אותם נדרש ידע רב שנרכש לאורך זמן. לא צריך להרחיק לתחומים בשולי המתמטיקה: גם המשמעות של סימן האינטגרל (∫), שחלקנו אולי זוכרים משנות התיכון, לא פשוטה ומיידית להבנה. כשמדובר בתחומים מופשטים יותר ומוכרים פחות, בעיית הבנת השפה והסמלים שלה מתעצמת.
ריהל מתארת את ניסיונה האישי להסביר למתמטיקאי אחר מושג אחד מתחום המחקר שלה, תורת הקטגוריות – אתגר שדרש חצי שעה וצלח בקושי. מתמטיקאים מתבדחים שתורת הקטגוריות כל כך מופשטת, עד שמתמטיקאים מחוץ לתחום זקוקים לדוגמאות מקדימות כדי להתחיל להבין את הדוגמאות של התיאוריה.
אתגר התקשורת הזה מבודד תתי תחומים במתמטיקה, אזורי מחקר שמראש מונים חוקרים בודדים. ניסיונות קירוב התחומים נתקלים באתגרים משמעותיים. לפני כמעט שנתיים, קבוצת מתמטיקאים פרסמה הוכחה לאחת מבעיות לנגלנדס (Langlands), סדרת בעיות מתמטיות מורכבות שמטרתן לקרב בין תחומים מתמטיים מרוחקים לכאורה, ונודעו בשל כך כ”שטניות להבנה”. ההוכחה התפרסה על-פני חמישה מאמרים באורך כולל של יותר מאלף עמודים, אך הסיפוק מההישג המרשים דעך כשהחוקרים הבינו שאין כמעט מתמטיקאים בעולם שיכולים להבין אפילו חלק מההסבר.
האם מדענים מבינים מדע?
בעיית הבנת השפה המתמטית אינה מוגבלת רק למתמטיקה. כבר לפני כעשור פרסמה קבוצת חוקרים שוודים מחקר בכתב העת eLife, שהראה שמידת הקריאות של טקסטים בתחומי מדעי החיים ומדעי החברה יורדת עם הזמן. אלא שבמתמטיקה הבעיה חמורה הרבה יותר, בשל ריבוי המונחים המופשטים, והניתוק של המתמטיקה הטהורה מהיישומים שלה בחיי היומיום.
עוד מהמאה ה-18 השתרש הנוהג לכתוב מאמרים מדעיים בגוף ראשון רבים (“אנחנו”) ולא יחיד (“אני”). המוסכמה הזאת לא נועדה רק לשקף את העובדה שהמחקר הוא תוצר של מאמץ קולקטיבי, פרי עמלם של קבוצת חוקרים, או את העובדה שכל מחקר נבנה על בסיס מחקרים קודמים. ריהל מהדהדת את טענתו של המתמטיקאי האמריקאי-הונגרי פול הלמוס (Halmos), שטען שה”אנחנו” מתייחס לא רק לחוקרים אלא גם לקוראי המאמר, משום שכדי להבין את הטענות שבו על הקוראים לפרש אותן מחדש בראשם וכך לאמץ אותן לעצמם.
5 צפייה בגלריה
חתן מדליית פילדס אשקאי ונקטש יצא בקריאה להקטין את הפער בין "לעשות" מתמטיקה לבין להבין את המתמטיקה שאנחנו עושים. ונקטש בהרצאה
(צילום: ויקימדיה, Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS))
אז מה הפתרון?
ריהל מזכירה במאמרה את המתמטיקאי ויליאם ת’ורסטון (Thurston), שמציע להסיט את המאמצים בענפי המתמטיקה. במאמר דעה משנת 1994 ציין ת’ורסטון כי ראוי להשקיע בביסוס, הרחבה והבנה של הידע הקיים לפני שמזדרזים להמשיך הלאה לתגליות נוספות. לכאורה הקריאה הזו פוגעת בקדמה, אך מולה קיים החשש שללא בסיס הבנה רחב של המתמטיקה, כל פירמידת הידע המתמטי עלולה לקרוס.
ת’ורסטון וריהל לא בודדים במערכה. גם חתן מדליית פילדס אשקאי ונקטש (Venkatesh), שזכה בפרס על הישגיו במיזוג תחומי מתמטיקה נבדלים, יצא בקריאה להקטין את הפער בין “לעשות” מתמטיקה לבין להבין את המתמטיקה שאנחנו עושים. ונקטש היה מוטרד במיוחד מכך שעידן הבינה המלאכותית עלול להטות את הכף עוד יותר לכיוון הישגים מתמטיים (כמו הוכחת משפטים) על חשבון הבנתם. בעיני ריהל וונקטש, משפטים והוכחות מתמטיות הם אמצעי ולא מטרה בקידום ההבנה האנושית של המתמטיקה.
איך מממשים את זה בפועל? איך מתקשרים מתמטיקה בצורה טובה יותר, אפילו למתמטיקאים עצמם? הגישה המסורתית, שנהוגה בהשכלה הגבוהה ובמידה רבה גם בבתי הספר, היא ללמד את היסודות ולבנות את בניין הידע “לבנה אחר לבנה”, מהמסד ועד לטפחות. אפשר לדמות את זה ללימוד שפה זרה “לפי הספר”: אוצר מילים, דקדוק, סמנטיקה וכן הלאה. אולם יש דרכים נוספות ללמוד שפה, באופן חוויתי יותר ותובעני פחות: מתוך שיח והיטמעות בתרבות דוברת השפה, כפי שילדים רוכשים שפה עוד לפני שהם לומדים איך נראית למידה מסודרת, או כפי ששהות ארוכה בתאילנד היא דרך ללמוד תאית. בגישה זו אפשר “לחוות” את המתמטיקה דרך משחק, חשיבה, פתרון בעיות וחידות, למידה מדוגמאות ושיח חופשי עם מתמטיקאים, מבלי להיכנס לנוסחאות מדויקות. כך אפשר להפנים מושגים ורעיונות באופן אינטואיטיבי, גם בלי שהם מוגדרים בצורה מדויקת, באמצעות חוויה שלהם. שילוב של שתי הגישות עשוי להוביל להבנה עמוקה יותר של המתמטיקה.
מתמטיקה יצירתית
תחום הדעת שבו מתמטיקה נחווית באופנים הללו מכונה מתמטיקה יצירתית או חוויתית (recreational mathematics). למרבה הצער, הגישה הזו אינה נפוצה במוסדות כמו בתי ספר ואוניברסיטאות. למרות זאת, מתמטיקאים רבים וחשובים מעידים על התרומה הרבה שלה להפנמה והבנה של המתמטיקה, ביניהם הלוגיקן האמריקאי ריימונד סמאליאן (Smullyan), שחיבר ספרים לקהל הרחב ובהם חידות היגיון כדי להסביר לוגיקה, והמתמטיקאי והאמן האמריקני חיים גודמן-שטראוס (Goodman-Strauss), אחד החוקרים שגילו את “ריצוף הכובע“, שהשתמש באמנות כדי להסביר את השפה המתמטית של הסימטריה.
בסופו של דבר, לא ברור האם מספיק מתמטיקאים ייענו לקריאתם של ריהל, ונקטש ועמיתיהם להשקעה רבה יותר בהסברת המתמטיקה. גם לא ברור עד לאיזו רמה אפשר לקחת את הגישה של לימוד מתמטיקה דרך המתמטיקה היצירתית. אולם אפשר לעשות הרבה יותר, בקרב אוכלוסייה רחבה יותר בגילים שונים, מתמטיקאים והציבור הרחב כאחד – לא רק כדי להרחיב את הבנת המתמטיקה אלא גם, ואולי בעיקר, להפוך את המתמטיקה ממקצוע שנוא לידיד אהוב ונגיש.
ד"ר יוסי אלרן הוא מומחה למתמטיקה יצירתית-חוויתית (recreational math) במכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע
