יום אחד החליטו חיות החווה למרוד בעריצות האדם. הן התאחדו, גירשו בכוח את בעל החווה וייסדו חברה חופשית וצודקת. שבעת העקרונות המוסריים של חברתם נצבעו באותיות גדולות על קיר האסם, ובסופם גולת הכותרת: "כל בעלי החיים שווים".
האידיליה לא נמשכה זמן רב. גם חברה צודקת זקוקה להנהגה, ותחת שלטונו של החזיר נפוליאון החלו אט-אט החזירים לצבור עוד ועוד טובות הנאה על חשבון החיות האחרות, והנהיגו שלטון עריצות חדש. והנה בוקר אחד נוכחו החיות שגם המוטו השתנה. כעת הוא אמר "כל בעלי החיים שווים, אך יש כאלה ששווים יותר". העריצים התחלפו, אבל הדיכוי חזר.
זוהי תמצית העלילה של הספר "חוות החיות", פרי עטו של אחד מחשובי הסופרים הפוליטיים של המאה העשרים, ג'ורג' אורוול (Orwell). סיפורה של החווה היה משל נוקב על כישלונה של המהפכה הקומוניסטית בברית המועצות, שבחסות ערכים הומניסטיים של שוויון ואחווה בין אנשים שימשה בסיס למשטר עריצות. אך מעבר לכך, הספר גם העלה שאלה עקרונית חשובה: מהו שוויון?
עוד כתבות באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי:
כמה זמן נשאר לנו? תשאלו את השעון
בפעם הראשונה: טיסה מסלולית לסטארשיפ
ריר לכל מטרה
מה שווה למה?
2 = 1 + 1. האומנם? צד אחד במשוואה הזאת מסומן בצורה שונה מהצד האחר. אריתמטית, בחשבון שאנחנו רגילים אליו, שני אגפי המשוואה מייצגים את אותו ערך. מה עומד בפועל מאחורי המספרים? טל ורמי קוטפים תפוחים בבוסתן. רמי נמרץ וקוטף שלושה תפוחים, ואילו טל רק אחד. כדי שלא תתעורר יריבות, רמי בנדיבותו מעניק לטל תפוח משלו, וכעת לטל יש שני תפוחים וגם לרמי שניים. אבל רמי לא פראייר, הוא עמל קשה על הקטיף בזמן שטל התמהמהה, ולכן העניק לה את התפוח הקטן מהשלושה. האם המלאי של רמי שווה כעת למלאי של טל? מבחינת כמות התפוחים – כן, מבחינת המשקל של כל זוג תפוחים – לא.
בצורה כללית יותר, שוויון הוא יחס בין שני ביטויים שקובע אם הם מייצגים את אותו אובייקט במערכת מתמטית מסוימת. באריתמטיקה שמשתמשת במספרים טבעיים, הביטוי 1+1 והביטוי 3-1 נראים שונה מאוד זה מזה, עם ספרות אחרות וסימנים מתמטיים שונים, אבל שניהם מייצגים את המספר הטבעי החיובי השני, שאותו מייצגת גם הספרה 2, ולכן הם שווים.
בספרו הקלאסי של לואיס קרול "אליס בארץ הפלאות" טוענת אליס, "ארבע פעמים חמש זה שתים-עשרה, וארבע פעמים שש זה שלוש-עשרה". האם 4×5=12 ו-4×6=13? לכאורה ברור שלא: ארבע פעמים חמש שווים 20, ולא 12. זה לפחות המצב כשמייצגים את התוצאה בבסיס עשרוני, בסיס 10 הנפוץ שאנחנו משתמשים בו באופן יומיומי. אבל בל נשכח שיש בסיסים שימושיים נוספים, שחלקם אפילו קדמו לבסיס העשרוני בתרבויות עבר.
אליס פותרת חידות. ממהדורת 1907 של "אליס בארץ הפלאות"
(איור: צ'רלס רובינסון, ויקיפדיה)
החלפת בסיסים דורשת לכתוב את המספר בצורה אחרת, אך אינה משנה את המספר עצמו. קרול, שהיה לא רק סופר אלא גם מתמטיקאי, טמן בספריו שלל אי-גיונות – משפטי נונסנס – עם קריצות מתמטיות. קוראים נאמנים מייחסים לו משחק כזה בהחלפת בסיסים: ארבע פעמים חמש נכתבים כ-20 בבסיס 10, אבל בבסיס 18 הם נכתבים כ-12, כלומר פעם אחת 18 (הבסיס) ועוד 2 יחידות. מיד לאחר מכן אליס מדלגת לבסיס נוסף: ארבע פעמים שש הם 24 בבסיס 10; מזהים באיזה בסיס הם 13? (התשובה בסוף הכתבה).
למעשה, הביטוי 1 + 1 כולו הוא רק סימון פורמלי. אין לו משמעות אחת ויחידה, ויש הגדרות ושימושים לכל פרט בו. הספרה 1 יכולה לייצג את המספר הטבעי החיובי הקטן ביותר, והסימן + יכול לייצג את החיבור הרגיל והפשוט, כך שהביטוי 2 = 1 + 1 תקף במערכת החוקים הספציפית שלמדנו בבית הספר. אבל באלגברה בוליאנית משתמשים בשני ערכים בלבד, 0 ו־1. במערכת החוקים הבוליאנית מקובל ש-1 מסמל אמת ו־0 שקר. אז למה שווה הביטוי 1 + 1 בלוגיקה בוליאנית?
התשובה היא שתלוי מה מסמל הסימן "+". אפשר להגדיר את הפעולה שמאחורי סימן ה"+" כפעולת "או". אם כך מהם 1 + 1, כלומר "מהם אמת או אמת?". התשובה לזה היא אמת, ולכן בהגדרה הזאת 1 + 1 = 1. ואילו במערכות מחשבים, שמשתמשות בביטים 0 ו-1, נכנס לתמונה חשבון מודולרי, כך שאם משתמשים במודולו 2 על ביטים בינאריים, מתקיימת המשוואה 0 = 1 + 1.
מה שקול למה?
אם כן, סימנים שונים יכולים לייצג את אותם אובייקטים, וגם סימנים זהים יכולים לייצג אובייקטים שונים, תלוי במערכת הפורמלית, שהיא אוסף ההגדרות והחוקים שאנחנו משתמשים בהם. זה עלול להיות מבלבל, אבל המתמטיקה דואגת להגדיר את המרכיבים הנחוצים לשאלת ההשוואה: אילו אובייקטים מייצגים איברים בהשוואה שנעשה, אילו פעולות אפשר לבצע עליהם, וגם באילו תנאים ההשוואה עומדת.
שוויון הוא דוגמה ליחס שקילות, יחס מתמטי שיש לו כמה תכונות. ראשית, רפלקסיביות: כל עצם שווה לעצמו. שנית, סימטריה: אם א' שווה ל-ב' אז גם ההפך נכון ו-ב' שווה ל-א'. ולבסוף, טרנזיטיביות: אם א' שווה ל-ב', וגם ב' שווה ל-ג', אז א' שווה ל-ג'. כשאנחנו חושבים על השוויון שלמדנו להשתמש בו בשיעורי חשבון אלה תנאים טריוויאליים לכאורה, אבל שלל יחסי שקילות שמתאימים לענפים שונים ורחוקים עומדים בהם. באחד מהם אפילו נתקלנו בבית הספר: חפיפת משולשים. חפיפה היא יחס שקילות, אם נחליף בשלושת התנאים שמנינו את המילה "שווה" במילה "חופף" נראה שהוא עומד בכל התנאים. שני משולשים חופפים הם שני משולשים שאינטואיטיבית נכנה אותם "שווים" בעולם הגיאומטריה. יחסי שקילות שונים עוזרים לנו לתרגם את רעיון השוויון בהתאם לצרכי ההשוואה.
האם שני צידי המשוואה שווים?
(איור: Baloshi 786/Shutterstock)
בעזרת ניסוחים כאלה נוכל להתעמת עם שאלות קשות: האם שני תפוחים שקולים לשני תפוחים אחרים? האם שני תפוחים שקולים לשני תפוזים? באנגלית, מטבע הלשון "השוואה בין תפוזים לתפוחים" מתייחס לכשל הלוגי "שקילות כוזבת", שפירושו השוואה בין פריטים על סמך תכונות שאינן רלוונטיות להשוואה. עם זאת, אם נגדיר היטב אילו תכונות בדיוק עומדות למבחן, נוכל להכריע אם הפריטים בכל זאת שקולים.
נניח לדוגמה שבבחינות הבגרות שלו רמי בחר להרחיב פיזיקה וקיבל ציון מצטיין ואילו טל בחרה להרחיב דווקא כימיה וסיימה אף היא בהצטיינות. תעודות הבגרות של רמי וטל לא שוות – הן לא מכילות את אותם מקצועות הרחבה. אבל אם נגדיר יחס שקילות שלפיו שתי תעודות הן שקולות אם בשתיהן יש ציון מצטיין באחד ממקצועות המדעים, או שאין באף אחת מהן ציון מצטיין באחד ממקצועות המדעים, נוכל להשוות בין שתי התעודות בנחת ולקבוע שהן אומנם שונות, אך שקולות.
המתמטיקה הפורמלית מאפשרת להגדיר בצורה מדויקת ועקבית יחסי שקילות והשוואה תחת תנאים שונים. כפי שעוד נראה, למושג השוויון יש משמעויות חברתיות, ולכן הבחירה של יחס השקילות שנשתמש בו מהותית במיוחד: הוא מגדיר מהו אותו "שוויון" שהחברה שואפת אליו.
בחזרה לתעודות הבגרות: אם מוסד ללימודים גבוהים קובע קריטריון לקבלת מלגה, שמיועדת לכל המועמדים שתעודת הבגרות שלהם עומדת בקריטריון, חשוב מאוד מה יהיה הקריטריון הזה: האם רמי שמצטיין בפיזיקה וטל שמצטיינת בכימיה זכאים לאותה מלגה? ומה לגבי גלי, שמצטיינת בספרות? היא לא ראויה לאותה מלגה? האם הצטיינות במקצוע מדעי היא בהכרח התנאי הנכון להגדרת השקילות?
פעמון החירות – סמל העצמאות של ארצות הברית נשען על האמונה שכל בני האדם נבראו שווים
(צילום: William Zhung, ויקיפדיה)
"כל בני האדם נבראו שווים"
עקרון השוויון אינו מוגבל רק למתמטיקה וללוגיקה – הוא נוכח בבסיס הנאורות ומשמש אבן פינה במוסדות המשטרים הדמוקרטיים. הכרזת העצמאות של ארצות הברית, אחד המסמכים המכוננים של המחשבה הליברלית, מתייחסת לשוויון כבסיס לזכויות הטבעיות של בני האדם: "אנו סבורים ש[…] כל בני האדם נבראו שווים, ובוראם העניק להם זכויות שאין ליטול מהם, ביניהן: חיים, חירות וחתירה לאושר".
האם בני האדם אכן שווים? מהבחינה הפורמלית ברור שלא. כל אדם הוא עולם ומלואו, עם תכונות, מראה, אופי וסיפור חיים ייחודיים. אפילו תאומים זהים, שחולקים כמעט את כל ה-DNA שלהם, אינם שווים בכל הפרטים. כך שהטענה תלויה במודל שבעזרתו אנחנו מסתכלים על הדברים – בנקודת המבט. במערכת המוסכמות של החברה האנושית המודרנית יש מוסכמה כלשהי שקובעת שענת לוי מרמלה וסרחיו גונזלס מבואנוס איירס שקולים זה לזה.
מה המשמעות של שוויון מהבחינה הביולוגית? ענת וסרחיו שניהם בני אדם, שייכים למין הביולוגי הומו ספיינס (Homo sapiens). ברמה הגנטית סביר מאוד להניח שיש לשניהם 23 זוגות כרומוזומים – אם כי זה לא תמיד נכון, וכמעט כל החומר התורשתי שלהם זהה. מעריכים שבממוצע ההבדל הגנטי בין שני בני אדם עומד על 0.1 אחוז מה-DNA בלבד. לשם השוואה, ההבדל הגנטי בינינו לבין השימפנזים הוא כ-1.2 אחוז בממוצע, ואפילו הבננה חולקת איתנו כמחצית מהגֵנים שלה. השאלה אם אנחנו והבננה שווים זה לזה תלויה במערכת ההשוואה. אחרי הכול, שנינו אורגניזמים בעל-ממלכת האיקריוטיים, הכוללת את כל היצורים בעלי גרעין תא. בדיוק אותו דבר. וכמו השימפנזים אנחנו שייכים למשפחת ההומינידיים בסדרת הפרימטים. ממש קוֹפִּי של קופי אדם!
הומו ספיינס והאדם הניאנדרטלי. איפה עובר הגבול?
(צילום: כל הזכויות שמורות © Neanderthal Museum, Foto: Holger Neumann)
אז אם נחזור לאורוול, כל היצורים האיקריוטיים שווים, אבל יש כאלה ששווים יותר. והשוויון בולט במיוחד בינינו לבין בני אדם אחרים – בני מיננו. כבני אותו מין, אנחנו מסוגלים להביא צאצאים פוריים בתנאים טבעיים עם בני אדם אחרים, ואם נשווה פרט אנושי אחד לפרט אנושי אחר, הם יהיו דומים זה לזה יותר מאשר לכל אורגניזם אחר שנבחן.
אבל כל אלה הם רק כללי אצבע. הגבול המדויק של המין "אדם" אינו חד-משמעי. אחינו הניאנדרטלים, למשל, הביאו לעולם צאצאים פוריים עם אבות אבותינו והותירו ראיות לכך ב-DNA שלנו. זה אומנם הוביל חלק מהחוקרים להגדיר אותם כתת-מין של הומו ספיינס, אך הם עדיין נחשבים לאוכלוסייה נפרדת. ויש בינינו גם הבדלים מוחשיים, כמו מבנה השיניים או הבליטה שיש לנו בלסת התחתונה, שאנחנו קוראים לה סנטר. לניאנדרטלים לא הייתה כזאת.
בסוף המאה ה-19 ובמחצית הראשונה של המאה העשרים רווחו גם ניסיונות להחריג בני אדם מסוימים – למשל יהודים או שחורים – מהמין האנושי "האמיתי" משיקולים גזעניים. אך כל המאמצים למצוא סימוכין מדעיים להבחנות האלה, למשל באמצעות פרנולוגיה – פסאודו-מדע שהתיימר לאבחן הבדלים בין בני אדם על פי מבנה הגולגולת שלהם – התרסקו על קרקע המציאות. ההבדלים הגזעיים בין בני אדם הם שוליים לעומת המכנה המשותף של כולנו. תחת תנאי ההשוואה שמהותיים לחברה האנושית, כל בני האדם אכן שווים מהבחינה הביולוגית.
הכרזת העצמאות של ארצות הברית ממשיכה מכאן צעד משמעותי נוסף. לשוויון יש משמעות מוסרית: אם כל בני האדם נבראו שווים, אזי איש אינו חשוב יותר מאחרים; ואם איש אינו חשוב יותר מאחרים, איש אינו רשאי להחזיק בזכויות יתר. מנסחי ההכרזה אומנם ייחסו את קיומן של זכויות האדם לרצון האל, אך באותה מידה הן יכולות לנבוע מהסכמה חברתית – כן, אותן מוסכמות נתונות לשינוי שאפשרו לחלק ממנסחי המסמך הנאור הזה להחזיק בזמן החתימה עליו עבדים שחורים משוללי חירויות בסיסיות.
הצהרת זכויות האדם והאזרח: "בני האדם נולדים חופשיים ושווי זכויות"!
(צילום: ויקיפדיה, נחלת הכלל)
שוויון זכויות ועוד שוויונות
הקשר בין שוויון לזכויות אדם הוא דו-כיווני. האמונה בקיומן של זכויות אדם טבעיות נובעת מכך שבני האדם שווים, וכדי להבטיח את זכויות האדם נוצרו עקרונות של שוויון פוליטי. כמה מהחשובים שבהם יושמו לראשונה בעקבות המהפכה הצרפתית ב-1789, שהשוויון היה אחד משלושת העקרונות המכוננים שלה: "חופש, שוויון, אחווה".
חודש וחצי אחרי פרוץ המהפכה אימצה האספה הלאומית של צרפת את הצהרת זכויות האדם והאזרח. כבר בסעיף הראשון ההצהרה קבעה ש"בני האדם נולדים, ונשארים תמיד, חופשיים ושווי זכויות. לפיכך אפשר לבסס הבדלים חברתיים רק על תועלת הכלל". כלומר נקודת המוצא היא שכל בני האדם שווים בערכם מעצם היותם בני אדם. בהתרסה נגד החלוקה המעמדית שמשלה בצרפת המלוכנית, ההצהרה שללה את קיומם של הבדלים מולדים בין קבוצות של בני אדם וקבעה כי כולנו ראויים ליחס שווה. להיות שווים בין שווים.
יחס שווה פירושו שלכל אדם זכות שווה להשפיע על מבנה החברה. סעיף 6 קובע: "לכל האזרחים יש זכות להשתתף בחקיקה, אישית או באמצעות נציגיהם". מכאן נובע הכלל הבסיסי של הבחירות הדמוקרטיות: לכל אדם יש קול שווה. יתר על כן, הסעיף קובע כי “הכול שווים בפני החוק”, כלומר החובות והזכויות משותפים לכולם באותה מידה. ולבסוף, ההצהרה מבטיחה שוויון הזדמנויות מותנה בכישורים: "הכול זכאים במידה שווה למשרות שלטוניות, לכהונות ציבוריות ולתפקידים ציבוריים, איש איש לפי יכולתו ובלי שום אפליה בין הבריות מלבד סגולותיהם וכישרונותיהם". כל אחד זכאי להגיע לעמדות השפעה ולהחזיק בכוח, אך מימוש הזכות הזאת מכיר בשוני בין אדם אחד לאחר ונותן עדיפות למי שתכונותיהם המולדות (למשל אינטליגנציה) והנרכשות (למשל השכלה) מכשירות אותם לתפקיד יותר מאחרים.
הדרישה האחרונה אינה מניחה שכל האנשים שווים, אלא מדברת על שוויון הזדמנויות. כך אפשר, לפחות להלכה, להבטיח שהאנשים המתאימים ביותר ייבחרו לתפקידים המשפיעים, למען טובת הכלל, ושאדם יוכל להגיע למוקדי ההשפעה גם אם נולד וגדל הרחק מהם. השוויון הזה הוא אידיאלי, ובפועל קיימים בכל מערכת חברתית קיצורי דרך וחסמים שמקלים על אנשים מסוימים להגיע לעמדות השפעה ומפריעים לאחרים. למשל נשות צרפת לא נכללו מיד בשוויון הזכויות הזה, ונאלצו לחכות עוד 155 שנה כדי לממש את זכותן לבחור ולהיבחר, שנשללה מהן עד 1944.
ערכי המהפכה הצרפתית מלווים אותנו גם כיום: חופש, שוויון ואחווה. איור ביקורתי מאת ג'ון ליץ' (Leech) משנת 1848
(איור: המוזיאון ההיסטורי של מיזורי, ויקיפדיה)
בהשראת הפערים האלה נולדה במאה ה-19 תפיסה חדשה של שוויון חברתי ופוליטי – הסוציאליזם, ולצידו הקומוניזם. הוגים פוליטיים, ובראשם קרל מרקס, הצביעו על כך שמבנה החברה עצמו אינו שוויוני: מיעוט מחזיק בידיו את רוב המשאבים ואמצעי הייצור ומדכא את הרוב, הרחוק ממוקדי הכוח. הפתרון שהציעו היה מהפכני: צריך לקחת את המשאבים הכלכליים והפוליטיים ממי שמחזיקים בהם ולחלק אותם באופן שווה לציבור כולו.
לכאורה מדובר בשוויון מלא. הנכסים מתחלקים בין כולם, ללא אפליה. בפועל, כפי שהוצג ב"חוות החיות" של אורוול, אפשר לקחת את הכוח ממי שמחזיקים בו ולהעביר אותו לאחרים, אבל במוקדם או במאוחר מישהו חדש ישתלט על המשאבים וייקח אותם לעצמו, והופ! הלך השוויון. ההיסטוריה ראתה את זה מתרחש שוב ושוב לאורך המאה העשרים במדינות שאימצו את הקומוניזם: המהפכנים הלאימו את הרכוש הפרטי… ולא חילקו אותו בצורה שווה או הוגנת. באוקראינה לבדה מתו מיליוני איכרים מרעב בתחילת שנות ה-30, כשהממשלה הקומוניסטית של ברית המועצות כפתה עליהם מדיניות קולקטיביסטית שכללה גם החרמת יבולים, בלי לדאוג לספק את צורכיהם הבסיסיים.
גרסה מתוחכמת יותר להשגת שוויון הונהגה במידה משתנה של הצלחה בקולקטיבים, ובראשם הקיבוצים בישראל, עד להפרטתם. בהכללה, קולקטיבים בנויים כך שהרכוש כולו, או לפחות רובו, שייך לקולקטיב, וכך גם העבודה של חבריו. הקולקטיב עצמו שייך באופן שווה לכל חבריו, אולם החלוקה של הרכוש המשותף מתחשבת בהבדלים בין הפרטים. בהתאם לכך השוויון מושג לא בהקצבה זהה של המשאבים לכולם, אלא בדאגה שווה לרווחתם על פי הכלל “מכל אחד כפי יכולתו ולכל אחד לפי צרכיו”. כלומר השוויון מבוסס על הגינות ושיתוף פעולה ועל כבוד האדם. יש רמה בסיסית של קיום שכל אדם זכאי לה כדי לחיות בכבוד, לצד ציפייה שכל פרט יתרום את חלקו לקהילה למען טובת הכלל.
שוויון כאמת
השוויון המתמטי נוכח מאוד גם בתרבות העכשווית, כי בואו נודה באמת – אנחנו מאוד אוהבים להשוות דברים. כבר במגילת קהלת בתנ”ך הופיע אי-שוויון משמעותי: טובים השניים מן האחד, או בניסוח מתמטי: 1 < 2. המשפט מדויק מהבחינה הכמותית, אבל המשמעות העיקרית שלו היא חברתית: אפשר להשיג יותר אם משתפים פעולה. ויש עוד דוגמאות רבות, למשל המשוואה "(יותר) עמוק = (יותר) כחול", שמבטאת – לא בצורה מדויקת לחלוטין מבחינה פיזיקלית – את תופעת בליעת קרני האור במים עמוקים, וששלום חנוך ביסס עליה את שירו "מה שיותר עמוק יותר כחול".
אך השימוש היותר מעניין במשוואות בתרבות הוא כביטוי לאמת בלתי מעורערת. ראו למשל את “שיעור בחשבון” מאת תלמה אליגון-רוז – שיר ילדים שעוסק בלמידת עובדות בסיסיות:
שתיים ועוד שתיים הם ארבע
ארבע ועוד שתיים הם שש
אבא של אבא הוא סבא
ההיפך מאין זהו יש
אלף עצים זהו יער
חמש אצבעות יש ביד
ומי שרוצה זאת לדעת
ישיר את השיר וילמד.
השיר מתחיל בקביעת אמיתות מתמטיות חד-משמעיות, לפחות לפי התפיסה הפופולרית, ומרחיב מהן לעובדות נוספות שילדים צריכים לכאורה לדעת: מבנה המשפחה, מהות הקיום, מבנה העולם והגוף האנושי. לפי השיר, השוויונות המתמטיים הם הבסיס שעליו נשענות כל העובדות כולן.
(שיעור בחשבון בביצוע חיים יבין ודליה פרידלנד - גרסה שונה במקצת)
וכאן אנחנו חוזרים לג'ורג' אורוול. ספרו "1984" הוא דיסטופיה קודרת שהציגה את הדיכוי האולטימטיבי – משטרו העריץ של האח הגדול, ששואף לשלוט לא רק במעשיהם של הנתינים אלא גם במחשבותיהם. כשגיבור הספר וינסטון סמית' נלכד ונשלח לחקירה במיניסטריון האהבה, חוקריו לא מסתפקים בעינויים שיגרמו לו לבגוד בחבריו. הם דורשים שיודה שאין אמת פרט למה שהמפלגה הגדירה כאמת, ומודיעים לו ששתיים ועוד שתיים שווה חמש (5 = 2 + 2). והם לא מרפים עד שהוא מאמין ששתיים ועוד שתיים אכן שווה חמש – או כל סכום אחר שהאח הגדול יקבע.
התפיסה ש-"4 = 2 + 2″ שקול ל"אמת" נובעת מכך שהמתמטיקה שאנחנו מכירים היא עקבית. אם היו לנו שני תפוחים וקיבלנו עוד שני תפוחים, יש לנו עכשיו ארבעה תפוחים, וזה לא ישתנה כל עוד לא נעשה פעולה נוספת – למשל נאכל אחד מהם. שתיים ועוד שתיים תמיד יהיו שווים ארבע, כל עוד לא נשנה תנאי יסודי. המשוואה עקבית. ובבסיס 3 תוצאת החיבור 2+2 היא 11, ותמיד תהיה 11. כדברי המשורר אלכסנדר פן בשירו "וידוי", זה "ברור כמו שתיים ושתיים".
אותה תפיסה מאפשרת ליוצרים גם לחתור נגד ערך האמת. בראשית שנות השמונים שודרה בערוץ הראשון תוכנית הילדים "שלוש, ארבע, חמש וחצי", בכיכובן של הבובות צ’ומפי ואינשם. מדי שבוע, תמיד בשעה 5:30 לפנות ערב, המחיזו בה שחקנים סיפורים ומעשיות להנאת הצופים. שיר הנושא של התוכנית נפתח בשתי משוואות: "אחד ועוד אחד הם שניים / שניים ועוד אחת שלוש". עובדות מוצקות. אבל שתי המשוואות הבאות כבר לקחו את הצופים למחוזות הדמיון: "אך מנוף ועוד ענן ועוד צלחת / זה ייתן לי בדיוק הכול ביחד / שלוש, ארבע, חמש וחצי", ובבית הבא "אך חלון ועוד תפוז, נכפיל בדרך / זה יוצא לי בדיוק, אולי בערך: / שלוש, ארבע, חמש וחצי". זוהי אמירה ברורה: באנו לספר סיפורים, לא עובדות. המשוואות שלנו הן "בדיוק, אולי בערך". אל תחפשו בהן עקביות.
(שלוש, ארבע, חמש וחצי: שיר הנושא)
משוואת האהבה
במתמטיקה ובכלכלה, בתרבות ובחברה, רעיון השוויון מלווה אותנו כמעט בכל מקום. ב-1969, כשהקליטו את אלבומם האחרון Abbey road, בחרו ארבעת חברי להקת הביטלס להיפרד במשוואה. השיר האחרון במחרוזת השירים שחתמה את האלבום, "The end", כלל שורה אחת: "ובסופו של דבר, האהבה שאתם מקבלים שווה לאהבה שאתם נותנים" (And in the end the love you take is equal to the love you make). אקורד סיום הולם ללהקה שרוב שיריה עסקו באהבה, כי הרי מעטים הדברים בחיינו שמשתווים לאהבת אמת.
וכמובטח, התשובה לשאלה בתחילת הכתבה: ארבע פעמים שש ייכתבו כ-13 בבסיס 21. בבסיס 10 התוצאה היא כמובן 24, וכדי להמיר לבסיס 21, נבדוק כמה פעמים 21 נכנס ל-24. התשובה היא פעם אחת, עם שארית שלוש – ולכן ספרת העשרות (שבבסיס הזה היא ספרת ה-21) היא 1, וספרת האחדות 3.
רמי שלהבת וטל סוקולוב, מכון דוידסון לחינוך מדעי, הזרוע החינוכית של מכון ויצמן למדע
